overzicht overview
Infinitum Actu Non Datur 
[ Was nun aber Ihren Beweis für (1) betrifft, ]
so protestire ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe
als einer Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das
Unendliche ist nur eine façon de parler, indem man eigentlich von Grenzen
spricht, denen gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will, während
andern ohne Einschränkung zu wachsen verstattet ist.
( C.F. Gauss [in a letter to Schumacher, 12 July 1831] )
I protest against the use of infinite magnitude as something completed, which
is never permissible in mathematics. Infinity is merely a way of speaking, the
true meaning being a limit which certain ratios approach indefinitely close,
while others are permitted to increase without restriction.
Johann Carl Friedrich Gauss
(30 April 1777 - 23 February 1855) was a German
mathematician and physical scientist who contributed significantly to many
fields, including number theory, statistics, analysis, differential geometry,
geodesy, geophysics, electrostatics, astronomy and optics. Gauss referred to
mathematics as "the queen of sciences", hence as a science.
Therefore the concept of Infinity shall be investigated within the framework of the Physical Sciences in general.
Infinity in Mathematics
Oneindig in de wiskunde
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor
(March 3 1845 – January 6, 1918) was
a German mathematician, best known as the inventor of set theory, which has
become a fundamental theory in mathematics. Cantor established the importance
of one-to-one correspondence between the members of two sets, defined infinite
and well-ordered sets, and proved that the real numbers are "more numerous"
than the natural numbers. In fact, Cantor's method of proof of this theorem
implies the existence of an "infinity of infinities". He defined the cardinal
and ordinal numbers and their arithmetic. In short,
Cantor actually defined the completed infinities, which, according to
Gauss, are never permissible in mathematics:- Axiom.
Completed infinity is not given (Infinitum Actu Non Datur)
Numerous attempts have been undertaken to avoid completed infinities
to be incorporated into the foundations of mathematics. Among the more serious
attempts, Constructivism and Intuitionism come into mind. But, despite of all
the effort spent, common mathematics, with all sorts of completed infinities
present in it, is still flourishing. While constructivism and its variants,
on the contrary, are still lacking a foundation handsome enough to make
"Cantorian mathematics" obsolete, for example with calculus. A historical
note is in place, though: Cantorian mathematics has been redundant before
it was ever invented. And calculus has been working fine without it.
Is this serious Mathematics?
That is the question.
Oneindig in de fysica 
The Physics of Infinity
Het is zeker beleefd om, in een wiskundeboek als dit, een wiskundige aan het
woord te laten, als het om kwesties gaat als het oneindigheidsbegrip [GG].
Echter wij hebben verkozen om in de eerste plaats te kijken naar wat de mensen
van het oneindige feitelijk, in de materiële werkelijkheid, kunnen waarnemen.
Niet wat zij ervan denken dus, maar wat zij ervan meten. Waarbij ervoor gewaakt
moet worden dat ons waarnemingsvermogen niet al bij voorbaat vertroebeld wordt
door het vooroordeel van mathematische theorievorming. De materiewetenschap
die ons bij uitstek iets te vertellen zou kunnen hebben, over het al dan niet
in de werkelijkheid voorkomen van dingen die oneindig zijn, is de natuurkunde.
In dit kader zijn uitspraken van natuurkundigen maatgevend. We citeren met
instemmimg Carl Friedrich von Weiszäcker :
"... daß ein Physiker überrasht sein sollte, wenn er Phänomene in
der Natur vorfände, in deren Beschreibung das Wort Unendlich nicht
durch das Wort sehr groß ersetzt werden dürfte." .
Oneindig is dus zeer groot. En wel zo groot dat "hoe groot precies" geen interessante
vraag is, althans niet voor een fysicus.