Realistische getallen

Abstraktie van een reëel getal leidt tot een eindig aantal decimalen.
Idealisatie van een reëel getal leidt tot een oneindig aantal decimalen.

Men ziet hoe wederom het oneindige opduikt, als gevolg van het proces van idealisatie. Dit is blijkbaar stelselmatig het geval.
Ook exakte Natuurwetten zijn niet meer dan een illusie, een idealisatie van de feiten. Het kan niet vaak genoeg worden herhaald:

De materiële werkelijkheid zelf is niet exakt / niet ideaal, in zekere zin zelfs "slordig". Overal zit speling in. De natuur bezit een intrinsieke "vrijheid" die nimmer in een strikte beschrijving te vangen zal zijn.

Mogelijk is "vrijheid" dus niet iets wat exclusief eigen is aan de mens. Indien we aannemen dat de mens een zekere vrijheid kent, maar tevens zien dat die mens voortgekomen is uit een organische evolutie van pure materie, dan zou in de stof zelf iets terug te vinden moeten zijn van een zekere spontaniëteit, hoe gering ook. De menselijke vrijheid is dan slechts een accumulatie van stukjes vrijheid die besloten liggen in elk onderdeel van zijn ingewikkelde stoffelijke konstruktie [Chardin]. Hoe het ook zij, we moeten gaan inzien dat deze vrijheid, de intrinsieke speling van de natuur, het vermogen van de werkelijkheid om niet star te zijn maar een beetje losjes in elkaar te steken, dat deze manier van swingen juist het wezen van het continuüm uitmaakt.

Degene die van de wiskundigen het dichtst in de buurt is gekomen van een vrije opvatting van de continuïteit is ongetwijfeld Brouwer. Het is immers Brouwer die het idee van de vrije keuzerijen heeft gelanceerd. Vrije keuzerijen zijn de konstruktieve manier bij uitstek om aan voldoende irrationale getallen te komen, nodig om het mathematische continuüm voldoende "dicht" te maken. De wetmatige getallen zoals $ \pi $ en $ \sqrt{2} $ zijn daartoe te gering in aantal. Kort gezegd komt het hierop neer dat, bij een vrije keuzerij, er geen vaste regel is voor het vinden van de volgende decimaal van een reëel getal. In het extreme geval kan men een dobbelsteen nemen, en iedere volgende decimaal door het toeval laten bepalen. Bij een binaire representatie (neem een muntstuk: kop $0$ of munt $1$) zou het resultaat, na een aantal worpen, er als volgt kunnen uitzien:

 10101111100101101101111101110100100100010011111101101111011

Een van de nauwkeurigste meetinstrumenten die de fysika heeft voortgebracht is de balans. Stelt u zich voor een volautomatische, binaire balans. De balans is voorzien van een serie gewichten. Ieder gewicht in de serie is precies twee keer zo zwaar als een ander. De balans is verder voorzien van een linker en een rechter schaal. Op de linker schaal kunnen we de onbekende massa plaatsen. Een sensor onder deze schaal vertelt aan de computer dat de balans dan niet meer in evenwicht is. Dit is de "te licht" sensor. Onder de rechter schaal bevindt zich een soortgelijke "te zwaar" sensor. Vervolgens zal onze computer gaan proberen door het rechts bijplaatsen van gewichten de balans in evenwicht te brengen. Begonnen wordt met het zwaarste gewicht. Is dit te zwaar, dan wordt het er weer afgenomen. Is het te licht dan laten we het staan. Vervolgens wordt het op een na zwaarste gewicht bijgeplaatst. Is dit te zwaar, dan wordt het er weer afgenomen. Is het te licht dan laten we het staan. Iedere keer vertellen de sensoren wat er moet gebeuren. Wanneer de linker sensor een signaal afgeeft, dan nemen we het gewicht er weer af, wanneer de rechter sensor een signaal afgeeft, dan laten we het staan. De signalen van de sensoren worden verwerkt en uitgeprint. Iedere keer als de "te zwaar" sensor reageert wordt er een $ 0 $ afgedrukt, immers het betreffende gewicht op de rechterschaal doet netto niet mee. Iedere keer als de "te licht" sensor reageert wordt er een $1$ afgedrukt, ten teken dat het betreffende gewicht blijft staan. De machine stopt als er evenwicht is ingetreden, dat wil zeggen: als geen van beide sensoren nog ergens op reageert. Dan is de rij van enen en nullen niet alleen een binaire (vaste komma) representatie voor het gewicht op de linker schaal, maar tevens een fysische konkretisering van een keuzerij volgens Brouwer. Hiermee zijn we echter niet klaar. Een fysisch experiment is pas een fysisch experiment als het herhaalbaar is. Nu doet zich iets vreemds voor. Het zal namelijk blijken dat, wanneer het experiment herhaald wordt, bij gelijkblijvend gewicht op de linker schaal, we niet slechts één reeks digitale cijfers vinden, maar een hele verzameling van die reeksen.

Laten we nog een ander voorbeeld nemen. Hoe zou men in een primitieve praktische meetkunde, bijvoorbeeld ten tijde van de Babyloniërs, het getal $\pi$ hebben bepaald? Mogelijk als volgt. Neem een flinke passer en teken daarmee een cirkel. Neem vervolgens een garen draad en prik die met behulp van spelden nauwkeurig vast langs de omtrek van de cirkel. Waar de twee eindjes elkaar ontmoeten de draad afknippen. Dan de draad losmaken en langs een meetlat leggen. Meet ook de diameter van de cirkel op. Deel nu de lengte van de draad door de diameter van de cirkel en noteer het resultaat. Het experiment wordt herhaald voor cirkels met verschillende diameters. Er komt een rijtje getallen, dat er als volgt uit zou kunnen zien: $$ 3.1415 \quad , \quad 3.1420 \quad , \quad 3.1409 \quad , \quad \dots $$ Met het team van experimenteerders de resultaten overziende, komen we tot een consensus, dat namelijk: $$ \pi \, = \, 3.1415 \pm 0.0007 $$

Onze "primitieve" waarde van $\pi$ bezit dus een eindig aantal decimalen. Daardoor kan ons getal "$\pi$" gemakkelijk (dat wil zeggen door middel van een eindig proces van inspektie) worden vergeleken met allerlei andere "reële" getallen. Bijvoorbeeld geldt dat: $ 3.1415 < 3.1420 $. Toch is daarmee iets merkwaardigs aan de hand. Immers, zowel $3.1415$ als $3.1420$ staan krachtens onze meting voor het getal $\pi$. De verklaring wordt gevonden in de toevoeging "$ \pm 0.0007 $". En iedere technicus weet wel wat dat is: de onvermijdelijke onnauwkeurigheid in de meetuitkomst. Deze "fout" betekent dat ieder getal in het interval $[\,3.1408\,\dots\,3.1422\,]$ min of meer gelijk is aan het trancendente getal $\pi$.

Wat formeler: er bestaat een getal $\delta$ zo dat, indien $|a - b| < \delta$ wij mogen zeggen dat $a$ en $b$ ongeveer gelijk zijn, ofwel dat $a \approx b$. Wanneer nu $\delta$ steeds kleiner wordt dan zal uiteindelijk zelfs $a$ "exakt" gelijk worden aan $b$, zodat we mogen schrijven $a=b$. Merk hierbij op dat de onnauwkeurigheid $\delta$ wordt uitgedrukt in hetzelfde aantal decimalen als $a$ en $b$ zelf. De schaal waarop al deze getallen worden geïdentificeerd is dus fijner verdeeld dan de mate waarin $a$ en $b$ aan elkaar gelijk worden. Genoemde identifikatie zal geschieden door een Identiteit $\equiv$ met een zeker Opzicht $I$ aan te wenden. Daar is niks mysterieus mee: men kijkt naar de decimalen (of naar de bits) en vergelijkt ze stuk voor stuk, op het oog. Wanneer toleranties $\epsilon$ en $\delta$ in een ongeveer-gelijkheid $\approx$ "naar nul gaan", dan krijgen we de klassieke (continue) gelijkheid terug. Ook het geval $\epsilon , \delta \rightarrow 0 $ is dus een klassieke limiet. Wij benoemen in het bijzonder de laatste limiet met de term "exaktheid".

In de klassieke analyse bestaat er een tegenstelling tussen de irrationale en de rationale getallen: een getal is of rationaal of irrationaal. Een uitsluitend-OF relatie die in een realistischer wiskundig bestel niet goed is vol te houden. Immers, op het numerieke niveau worden irrationale getallen gedefinieerd door een interval van eindig veel rationale getallen. Dat wil om te beginnen zeggen: op een schaal van rationale getallen. Alle getallen op die schaal zijn identificeerbaar, ze hebben een eindige identiteit, een gelijkheid met een eindig aspekt. Alle rationale getallen kunnen immers worden gerepresenteerd door een reeks van eindig veel decimalen (of binalen), of door een breuk (dat is een geordend paar) van twee natuurlijke getallen. (Van de laatste staat natuurlijkerwijs buiten kijf dat ze een eindige identiteit bezitten.) Zoals gezegd, op hun beurt worden irrationale getallen gedefinieerd door een interval van zulke identificeerbare rationale getallen. Dit betekent bijvoorbeeld ook dat er "meer" rationale dan irrationale getallen bestaan; zulks in schrille tegenstelling tot de klassieke opvatting. Het houdt verder in dat irrationale getallen niet goed van rationale getallen onderscheiden kunnen worden, zeker niet exclusief. Irrationale getallen zijn immers een konstruktie over de rationale getallen heen. Het enige wat men kan zeggen is het volgende: een irrationaal getal bezit, in tegenstelling tot een rationaal getal, geen éénduidige identiteit. Bekend is met name dat een irrationaal getal niet ondubbelzinnig als een breuk kan worden geschreven.

De reële getallen zijn uiteindelijk drijvende komma getallen ("floating point numbers") geworden in de computers van tegenwoordig. Het volgende BASIC programmaatje is voorbeeld van een toepassing, waarbij aan een leerling gevraagd wordt om korrekt in faktoren te ontbinden:

10 REM *** Ontbinden in factoren ***
20 A=RND : B=RND : C=RND : D=RND : E=RND
25 F=RND : G=RND : H=RND : I=RND : J=RND
30 K=RND : L=RND : M=RND : N=RND : O=RND
35 P=RND : Q=RND : R=RND : S=RND : T=RND
40 U=RND : V=RND : W=RND : X=RND : Y=RND : Z=RND
45 REM Tot zover het minder intelligente gedeelte.
50 REM
55 INPUT "Vraag van de leraar: ",Q$
60 INPUT "Antwoord van de leerling: ",A$
65 REM
66 REM COMX-35 Basic Formule eVALuatie funktie:
70 Q1=FVAL(Q$) : A1=FVAL(A$)
76 REM Is een extensie; zit niet op een IBM-PC.
80 REM
85 IF ABS(Q1-A1)<.0007 THEN PRINT "Goed!" : GOTO 50
90 REM Omdat vraag en antwoord uitkomsten geven die
92 REM lichtelijk van elkaar kunnen verschillen !!!
95 REM
100 PRINT "Jammer!" : GOTO 60

Vraag van de leraar: X^2 - 1
Antwoord van de leerling: (X+1)*(X-1)
Goed!

85 IF Q1=A1 THEN PRINT "Goed!" : GOTO 50