Sinds omstreeks 1970 bestaan er duidelijke theoretische uitspraken over de grenzen van voorspelbaarheid in de atmosferische circulatie. Het blijkt principieel onmogelijk te zijn om het weer meer dan ongeveer veertien dagen vooruit te voorspellen. Deze konklusie is gebaseerd op studies van de foutengroei in het stelsel van wiskundige formules waarmee de atmosfeer wordt beschreven. De gevoeligheid voor kleine fouten in de waarneming en diagnose van de begintoestand is zó groot dat binnen twee weken de oplossing grondig wordt bedorven. De beperkte voorspelbaarheid van het weer is een principieel natuurwetenschappelijk probleem. Het weer is naar zijn essentie 'wisselvallig' en 'onbestendig'.
Omdat dit een konklusie is die zeer ingrijpende konsekwenties kan hebben voor het beeld dat velen zich van wetenschappelijke en technische vooruitgang hebben gemaakt, wordt in het artikel nader ingegaan op de oorzaken en achtergronden van de beperkte voorspelbaarheid. Om te beginnen is er een ontwikkeling in de modelbouw: naarmate de computermodellen van de atmosfeer ingewikkelder worden en voor een betere representatie van de natuurkundige wetmatigheden zorgen, blijken ze steeds gevoeliger te worden voor storingen in de beginvoorwaarden. In simpele modellen duurt het ongeveer vijf dagen voordat kleine verschillen in de begintoestand twee keer zo groot zijn geworden. In het uiterst ingewikkelde model van het Europees Centrum duurt dat slechts drie dagen. De vermoedelijke verdubbelingstijd van storingen in een perfekt model van de atmosfeer is ongeveer twee dagen. Betere modellen leveren betere verwachtingen, maar hebben een grotere gevoeligheid voor kleine storingen. De atmosfeer - die in elk geval een perfekt model van zichzelf is - is gevoeliger dan welk computermodel ook.
De atmosferische circulatie is een voorbeeld van een dynamisch systeem waarvan alle eigenschappen in principe exakt bekend zijn. Als we van dit systeem de begintoestand exakt zouden kunnen vastleggen, dan zou het in principe mogelijk moeten zijn alle toekomstige toestanden exakt uit te rekenen. Maar wat gebeurt er wanneer de precisie niet oneindig groot is? Voor de atmosfeer, en voor vele andere dynamische systemen, geldt dat een willekeurig kleine fout in de begintoestand op den duur grote fouten in de berekeningen veroorzaakt. Tennekes zegt letterlijk: Zo komt de inhoud van het begrip 'exakt' op de helling te staan.
Sinds omstreeks 1960 bestuderen vele wiskundigen de theorie van systemen die, net als de atmosfeer, gevoelig zijn voor storingen in de begintoestand. Baanbrekend werk werd verricht door de in de meteorologie terechtgekomen wiskundige E.N. Lorenz. Het werk van Lorenz en anderen heeft geleid tot een uitgebreide litteratuur over het chaotische gedrag van deterministische systemen. Tot zover het betoog van Tennekes.
Iedereen heeft vandaag de dag wel kennis genomen van ideëen over "fractals" en "chaos", al was het alleen maar via de prachtige met de computer gegenereerde beelden die tegenwoordig gemeengoed zijn in reclame en speelfilms. Vertaald uit het Engels volgt hier een passage, afkomstig uit het boek van Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" [BBM]. (Terzijde wordt opgemerkt dat Benoit Mandelbrot een van de zeldzame wiskundigen is die grote zorg heeft besteed aan een goed woordgebruik binnen zijn theorie.) Genoemde passage is op haar beurt weer een vertaling vanuit het Frans, dus het is niet duidelijk wat er van de oorspronkelijke tekst is overgebleven. Aan het woord is de Nobelprijswinnaar Jean Perrin:
Beschouw bijvoorbeeld de manier waarop we de dichtheid van lucht in een gegeven punt en op een gegeven tijdstip definiëren. We denken ons rondom dat punt een bol met volume $ v $ en een massa $ m $. Het quotiënt $ m/v $ is de gemiddelde dichtheid binnen de bol, en met werkelijke dichtheid bedoelen we een of andere grenswaarde van dit quotiënt. Echter, dit begrip houdt in dat op een gegeven ogenblik de gemiddelde dichtheid praktisch konstant is voor bollen kleiner dan een zeker volume. Deze gemiddelde dichtheid kan waarneembaar verschillend zijn voor bollen die respectievelijk 1,000 kubieke meter en 1 kubieke centimeter bevatten, maar er mag verwacht worden dat zij maar 1 op de 1,000,000 varieert wanneer men 1 kubieke centimeter met een-duizendste van een kubieke millimeter vergelijkt.
Veronderstel nu dat het volume voortdurend kleiner wordt. In plaats van dat ze steeds minder belangrijk worden, beginnen deze fluctuaties weer aan te groeien. Voor schalen waarop de Brownse beweging grote activiteit vertoont, kunnen de fluctuaties een verhouding van 1 op 1,000 bereiken, en ze worden van de orde 1 op 5 wanneer de straal van het denkbeeldige bolletje in de buurt komt van een honderdste van een micron.
Een stap verder en de omvang van ons bolletje wordt van de orde van de straal van een molecuul. In een gas zal het zich in het algemeen in de intermoleculaire ruimte bevinden, waar de gemiddelde dichtheid ervan dientengevolge zal verdwijnen. In ons punt zal de werkelijke dichtheid eveneens verdwijnen. Maar eens in de duizend keer zal dat punt binnen een molecuul liggen, en de gemiddelde dichtheid zal duizend keer hoger zijn dan de waarde die we gewoonlijk aannemen voor de werkelijke dichtheid van het gas. Einde passage.
Uit wat Perrin erover zegt is duidelijk dat de wetten van de stromingsleer geen natuurwetten zijn in die zin dat ze universeel en "exakt" zouden opgaan. Het is zonneklaar dat deze wetten niet meer voorstellen dan een benadering. Immers, de "diepere werkelijkheid" onder de stromingsleer-wetten wordt uitgemaakt door een substraat van bewegende moleculen. En van die moleculen gaan er eerder veel dan weinig in een "infinitesimaal" volume (het bolletje). Dit "oneindig kleine" volume moet namelijk wel zo groot gekozen worden dat de door Perrin genoemde fluctuaties verwaarloosbaar blijven. Dit betekent bijvoorbeeld voor lucht dat we niet veel kleiner kunnen gaan dan ongeveer een micron. Binnen een straal van een micron verliezen de "natuurwetten" van de stromingsleer dan ook hun geldigheid, en moeten we overstappen op een andere beschrijvingswijze (bijvoorbeeld die van een "Knudsen gas").
Brengen we een en ander met elkaar in verband, dan is het duidelijk dat niet alleen de beginvoorwaarden verantwoordelijk zijn voor 'de weg naar chaos' die door de atmosfeer wordt afgelegd. Uit het betoog van Perrin blijkt dat ook in de stromingsvergelijkingen zélf "fluctuaties" verdiskonteerd moeten worden. Onnauwkeurigheid en inexaktheid zijn wat de stromingsleer betreft de "diepere" werkelijkheid, in alle opzichten, zowel wat de randvoorwaarden als wat de vergelijkingen betreft. De gladde analytische benadering die men om dat ruwe stramien heeft heengeplooid is niet meer dan een dunne, doorschijnende laag.
Wat geldt voor de stromingsleer, geldt wellicht algemener. Bekend is met name dat de wetten van het ektromagnetisme wat de vorm betreft identiek zijn aan de wetten die het gedrag van een wrijvingsloze stroming beschrijven. Een analogie die bij menig natuurkundige de nodige verwondering heeft opgewekt. Maar zou het niet zo kunnen zijn dat ook aan het elektromagnetisme een soort van moleculair substraat ten grondslag ligt, waaroverheen weer de analytische benadering ligt? Met andere woorden: is het niet zo dat ook de theorie van het elektromagnetisme tenslotte geen ijzeren stelsel natuurwetten is, maar slechts een exakt lijkende analytische benadering, analoog aan die in de stromingsleer.
De behandeling van de quantummechanika in deel III van de "Feynman Lectures on Physics" is een didaktische mijlpaal zonder weerga. Afgezien daarvan, Feynman zegt dat in dit boek de quantummechanika "achterstevoren" wordt gepresenteerd. In ieder geval gaat hij precies andersom te werk als gewoonlijk, en dat blijkt bij meer dan één gelegenheid nieuwe gezichtspunten op te leveren. Begonnen wordt met een volkomen diskrete beschrijving. Naderhand wordt de continuïteit in de tijd ingevoerd, als limietgeval van een eindig lang wachtproces (hoofdstuk 8). Men moet geduld hebben tot hoofdstuk 16 voordat iets soortgelijks gebeurt met de plaats: pas daar wordt de Schrödinger vergelijking "afgeleid", door de atoomafstanden van een hypothetisch diskreet kristalrooster tot nul te laten naderen. De moraal van dit verhaal zou kunnen zijn dat dus ook de Schrödinger vergelijking beschouwd dient te worden als een benadering, die over een in wezen diskreet substraat van ruimte en tijd wordt gezet.
Maar we wisten al dat de Schrödinger vergelijking een benadering is, slechts van toepassing namelijk op niet-relativistische omstandigheden. Hoe staat het dan met de Dirac vergelijking, die immers wel degelijk Lorenz-invariant is? Interessant is de zogenaamde Foldy-Wouthuysen representatie, een uitwerking van de Dirac vergelijking die allerlei merkwaardige fenomenen aan het licht brengt. Zoals de "Zitterbewegung": het elektron lijkt binnen een gebiedje ter grootte $\hbar/mc$ een zeer snelle beweging om zijn rustpositie uit te voeren.
Ook op grond van andere formules is er een sterke analogie tussen de existentie van een elektron in een kristalrooster en een elektron in vacuüm. Als $b$ de rooster-afstand is en $A$ de energie die nodig is om van het ene atoom naar het andere te komen, dan heeft het elektron in het kristalrooster een zogenaamde effektieve massa, die gelijk is aan: $$ m_{eff}=\frac{\hbar^2}{2 A b^2}$$ En de hiermee overeenkomende energie-niveaus zijn gelijk aan: $$E=E_0 \pm 2 A$$ Vergelijk dit met de situatie in vacuüm. Daar geldt voor de energie van een elektron en zijn anti-deeltje (positron): $$ E = 0 \pm m_0c^2 $$ Dus $E_0=0$ en $2A = m_0 c^2$. (Het is overigens nog maar de vraag of de energie van het vacuüm inderdaad nul is.) Neemt men verder aan dat het elektron inderdaad een "Zitterbewegung" uitvoert met sprongen ter grootte van $\hbar/m_0 c$. Dan kan de effektieve massa in vacuüm worden berekend. De uitkomst spreekt voor zich: $$ m_{eff} = \frac{\hbar^2}{m_0 c^2 (\hbar/m_0 c)^2} = m_0 $$ Het lijkt er dus op dat electromagnetische massa samenhangt met een onnauwkeurigheid in de leefruimte van het deeltje.