Brengen we in herinnering de uitspraak van
Carl Friedrich von Weiszäcker :
"... daß ein Physiker überrasht sein sollte, wenn er Phänomene in
der Natur vorfände, in deren Beschreibung das Wort Unendlich nicht
durch das Wort sehr groß ersetzt werden dürfte." .
Oneindig is dus zeer groot. En wel zo groot dat "hoe groot precies" geen interessante
vraag is, althans niet voor een fysicus.
In de gevestigde wiskunde "bestaan" echter
oneindige getallen. De kleinste daarvan wordt aangeduid met $\aleph_0$, dit is de cardinaliteit
(grootte / numerositeit / machtigheid) van de (aktueel oneindige) verzameling der natuurlijke getallen.
Uitgaande van ons axioma Infinitum Actu Non Datur
behoeft het geen betoog dat we in ieder geval niet zullen gaan kijken naar nog "hogere" oneindigheden in
de denkbeeldige wereld van Alef-getallen.
Hiervoor is nog een ander argument. In het
proefschrift met als titel
Over de grondslagen der wiskunde van Nederland's grootste wiskundige
L.E.J. Brouwer
lezen wij in het derde hoofdstuk -
III. WISKUNDE EN LOGICA -
het volgende: We hebben in het eerste hoofdstuk gezien, dat er geen andere verzamelingen
bestaan, dan eindige en aftelbaar oneindige, en continua. De machtigheid van het
aftelbaar oneindige is precies $\aleph_0$ en volgens Brouwer bestaat er geen machtigheid van
het continuüm. Als we instemmen met deze conclusies van het proefschrift dan is het dus
voldoende om van de Alef-getallen alleen $\aleph_0$ te beschouwen.
Een bekende eigenschap van een transfiniet getal
zoals $\aleph_0$ is de volgende, voor eindige $x$ :
$$
\aleph_0 + x = \aleph_0 \quad \Longrightarrow \quad \aleph_0 = \aleph_0 + 1 \quad ; \quad \aleph_0 = \aleph_0 - 1
$$
$\aleph_0$ is (aftelbaar) oneindig. We hebben al min of meer afgesproken dat dit het volgende betekent:
$\aleph_0$ is zo groot dat "hoe groot precies" in feite geen interessante vraag meer is. Omdat we hiermee het rijk
der exacte Ideeën verlaten - en om bestaande paradigma's geen onnodig geweld aan te doen - zullen we het gelijkteken
$=$ vervangen door een ander symbool: ongeveer gelijk $\approx$ . Maar we kiezen ervoor om $\aleph_0$ ongewijzigd te laten
als anduiding van een "oneindig" groot getal. Zodoende is:
$$
\aleph_0 \approx \aleph_0 + 1 \quad ; \quad \aleph_0 \approx \aleph_0 - 1
$$
Dit komt overeen met bovenstaande eigenschap voor transfiniete getallen: eentje meer of minder maakt geen enkel verschil.
Met andere woorden: deze eigenschap weerspiegelt de materialisatie van transfiniete getallen. We gaan vervolgens
niet flauw doen om met volledige inductie te willen konkluderen dat $\aleph_0 \approx \aleph_0 + x$ voor alle eindige $x$.
Nogmaals: we bevinden ons niet langer in het domein van de ideale wiskunde.
Nu we dit eenmaal weten, kunnen we een stapje verder gaan. Uitgaande van de natuurlijke getallen worden achtereenvolgens
gedefinieerd de negatieve getallen en de rationale getallen (breuken). Een eigen hernieuwde definitie van de negatieve
getallen zou geen nieuwe gezichtspunten opleveren. Een hernieuwde definitie van de rationale getallen doet dat echter wel.
Laten we vervolgens kijken naar breuken met een grote teller en een grote noemer, zo groot dat hoe groot geen zinvolle vraag
meer is. Neem als aanzet de kleine breuk $1/2$. We mogen teller en noemer altijd met hetzelfde (eventueel oneindig grote)
getal vermenigvuldigen zonder dat de waarde van de breuk verandert:
$$
\frac{1}{2} \approx \frac{1\times\aleph_0}{2\times\aleph_0}
$$
Echter vanwege de eentje meer of minder eigenschap van zeer grote getallen geldt het volgende:
$$
\frac{1\times\aleph_0}{2\times\aleph_0} \approx \frac{\aleph_0 + 1}{2\aleph_0 - 1} \quad ; \quad
\frac{1\times\aleph_0}{2\times\aleph_0} \approx \frac{\aleph_0 - 1}{2\aleph_0 + 1}
$$
Dus:
$$
\frac{1}{2} \approx \frac{\aleph_0 + 1}{2\aleph_0 - 1} \approx \frac{\aleph_0 - 1}{2\aleph_0 + 1}
$$
Neem om de gedachten te bepalen de Constante van Avogadro, dat is pas echt een groot natuurlijk getal :
$\aleph_0 = N_A = (6\,022\,140\,857 \pm 74) \times 10^{14}$ .
De breuk is dus (ongeveer) gelijk aan minstens twee andere rationale getallen die vlak in de buurt liggen.
En omdat de grootte van $\aleph_0$ niet vast ligt is de breuk zelfs (ongeveer) gelijk aan oneindig veel
rationale getallen die vlak in de buurt liggen. Veralgemeniseren
we dit voor willekeurige breuken, dan leidt het tot een paar uiterst belangrijke konklusies:
Rationale getallen hebben een dubbel karakter; discreet of continu, afhankelijk van de kontekst.
Het discrete karakter is (op details na) volledig in overeenstemming met de klassieke definitie.
Het continue karakter houdt in dat een rationaal getal niet te onderscheiden is van zijn direkte omgeving.
In deze direkte omgeving van een rationaal getal bevinden zich (oneindig) veel andere rationale getallen.
Dit weerspiegelt de onnauwkeurigheid van rationale getallen zodra ze deel uitmaken van een continuüm.
Op deze wijze worden de rationale getallen naadloos opgenomen in de reële getallen ('floating point' in computers).