Additieve functies

Conclusie van het vorige hoofdstuk:

In een continuüm is er in het geheel geen verschil tussen rationale en irrationale getallen.

Hoe belangrijk dit resultaat is zal worden gedemonstreerd aan de hand van de Hamel basis.
Gerelateerd hieraan is een vraag op het Mathematics Stack Exchange forum:

Additive functions and measure theory

Beschouw funkties met de eigenschap: $f(a+b)=f(a)+f(b)$ .
Beweerd wordt dat de enige reële funkties met deze eigenschap de volgende vorm hebben: $f(x)=c.x$. Hierin is $c$ een willekeurige reële konstante. Bewijs: $$ f(a)=f(\left[a-b\right]+b)=f(a-b)+f(b) \quad \Longrightarrow \quad f(a-b)=f(a)-f(b) \\ f(a-a)=f(a)-f(a) \quad \Longrightarrow \quad f(0)=0 \\ f(n.a)=f(a+a+ ... +a)=f(a)+f(a)+ ... +f(a) \quad \Longrightarrow \quad f(n.a)=n.f(a) \\ f(1)=f(n/n)=n.f(1/n) \quad \Longrightarrow \quad f(1/n)=1/n.f(1) \\ f(m/n)=m.f(1/n)=m/n.f(1) \quad \Longrightarrow \quad f(m/n)=m/n.f(1) \\ f(-m/n)=f(0)-m/n.f(1) \quad \Longrightarrow \quad f(-m/n)=-m/n.f(1) $$ Omdat de stelling dus geldt voor alle rationale getallen, positief zowel als negatief, daarom geldt de stelling op grond van het vorige hoofdstuk ook voor alle irrationale getallen. Dus geldt de stelling automatisch voor alle reële getallen. Merk verder op dat $\,c = f(1)$ .
Het volgende voorbeeld in een Wikipedia referentie is dus onzinnig, waarmee we bedoelen dat het geen equivalent heeft in de materiële wereld:
$ {\displaystyle \{1,{\sqrt {3}}\}} $ is een basis voor de vectorruimte $ {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})=\{q+r{\sqrt {3}}\mid q,r\in \mathbb {Q} \}}$ over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Immers de materialisatie van (over ${\displaystyle \mathbb {Q} }$) is dezelfde als die (over ${\displaystyle \mathbb {R} }$) .
Binnen de huidige wiskunde (2019) zijn niet-lineaire, pathologische, discontinue oplossingen mogelijk van de Cauchy vergelijking $\,f(x+y) = f(x)+f(y)$ . Deze zijn fysisch echter niet acceptabel. Bijvoorbeeld in de kinetische gastheorie zou men niet kunnen concluderen tot een Maxwell-Boltzmann verdeling als zulke functies mogelijk zouden zijn: zie onder.

Gevolgen

Beschouw funkties met de eigenschap: $f(a.b)=f(a)+f(b)$ .
De enige funkties met deze eigenschap zijn van de vorm: $f(x)=c.\ln(x)$.
Hierin is $c$ een willekeurige konstante en $ x > 0 $.
Bewijs: stel $\,f(x)=g(\ln(x)) $
dan is: $\,f(a.b)=g(\ln(a.b))=g(\ln(a)+\ln(b)) $, maar tegelijkertijd geldt:
$ f(a)+f(b)=g(\ln(a))+g(\ln(b)) $. Dus op grond van de vorige stelling:
$ g(x)=c.x \quad \Longrightarrow \quad f(x)=c.\ln(x) $ .

Beschouw funkties met de volgende eigenschap: $f(a.b)=f(a).f(b)$ .
De enige funkties met deze eigenschap zijn van de vorm: $f(x)=x^{\,c}$.
Hierin is $c$ een willekeurige konstante en $ x > 0 $.
Bewijs: $\,\ln(f(a.b))=\ln(f(a).f(b))=\ln(f(a))+\ln(f(b))$
Dus op grond van de vorige stelling:
$ \ln(f(x))=c.\ln(x) \quad \Longrightarrow \quad f(x) = \exp(c.\ln(x))=x^{\,c}$

Beschouw funkties met de volgende eigenschap: $f(a+b)=f(a).f(b)$ .
De enige funkties met deze eigenschap zijn van de vorm: $f(x)=\exp(c.x)$.
Hierin is $c$ een willekeurige positieve konstante.
Bewijs: $\,f(a+b)=f(a).f(b)$
Dan is: $\ln(f(a+b)) = \ln(f(a).f(b)) = \ln(f(a))+\ln(f(b))$
Dus op grond van de stelling over additieve functies:
$ \ln(f(x))=c.x \quad \Longrightarrow \quad f(x)=\exp(c.x) $ .

Deze laatste stelling wordt gebruikt om in de kinetische gastheorie de Maxwell-Boltzmann-verdeling voor de snelheden af te leiden.

De snelheid van een molecuul $\vec{v}$ is onafhankelijk van de plaats
Alle $\vec{v}$ zijn mogelijk maar niet alle $\vec{v}$ zijn even waarschijnlijk
De snelheidscomponenten $(v_x,v_y,v_z)$ zijn statistisch onafhankelijk
Er is geen voorkeur voor $\vec{v}$ in een bepaalde richting;
dus $\left|\vec{v}\right|^2$ is voor alle richtingen even waarschijnlijk

Voor de kansdichtheid functie kunnen we met bovenstaande punten het volgende concluderen: $$ f(\left|\vec{v}\right|^2) = f(v_x^2+v_y^2+v_z^2) = f(v_x^2).f(v_y^2).f(v_z^2) \\ \Longrightarrow \quad f(v_x^2+v_y^2+0) = f(v_x^2).f(v_y^2).f(0) \\ \Longrightarrow \quad f(u^2) = f(0).\exp(c.u^2) \quad \mbox{met} \; u=v_x,v_y,v_z $$ De constanten $f(0)$ en $c$ moeten vervolgens nog bepaald worden. Het voert te ver om dat hier te doen.