Singulariteiten

Op vrijdag 11 november 1994 was er in Delft een congres "Bruggen Slaan" met als thema "De oorsprong van kennis: wetenschap of mystiek?". Uitgenodigd waren de volgende sprekers: Frits Staal, Paul Davies [Davies] en Roger Penrose. Freek de Jonge zorgde voor de nodige ontspanning - dat moest nota bene in het Engels: "alsof je een hardloper vraagt om te gaan schaatsen" (of iets van die strekking) was zijn commentaar. Professor S.J. Doorman tenslotte praatte de boel aan elkaar.
Toevallig stond ik in de rij bij de koffie vlak naast Paul Davies. Ik moest wel van de zeldzame gelegenheid gebruik maken - daarvoor was ik eigenlijk naar het congres gekomen - en probeerde hem gericht een paar vragen te stellen. "Wat is volgens u de aard van de wiskunde: is het een kunst of is het een wetenschap?" Davies vertelde dat op de Engelse universiteiten de Wiskunde oorspronkelijk was ondergebracht bij de faculteiten voor Latijn en Grieks. Maar zijn eindkonklusie luidde toch dat de wiskunde een wetenschap is. Tweede vraag: "De wiskunde bevat sommige elementen die nooit door enig fysisch meetinstrument waargenomen kunnen worden, zoals het Oneindige. Opent het geen vat vol tegenstrijdigheden, wanneer dergelijke ideale elementen de theorie binnenkomen, om zich vervolgens, vermomd als fysische entiteiten, te manifesteren ?" Het antwoord van Paul Davies vind ik buitengewoon karakteristiek: "Vermoedelijk bent u een volgeling van Brouwer. Dat is niet zo gek voor iemand die uit Nederland komt". Vrijwel in de roos, maar geen antwoord op mijn vraag. Vervolgens verdween Davies naar de VIP room, waar de koffierijen veel minder lang zijn.

Misschien dat een consequent finitistische zienswijze een ander licht werpt op de oneindigheidscatastrofes die zowel de klassieke als de kwantummechanische elektrodynamica (QED) sinds jaar en dag teisteren [RPF]. Teken aan de wand is dat de hele prolematiek een direkt gevolg lijkt te zijn van de aanname dat het elektron een echte puntlading is, waarbij het begrip "punt" wordt begrepen, zeer zeker, in de klassieke mathematische betekenis: iets met oneindig kleine afmetingen.
De kwestie kan overigens ter plaatse worden gedemonstreerd aan de hand van een klassiek voorbeeld: bereken de veldenergie van het elektron. In het algemeen wordt de energiedichtheid in het elektrische veld van een puntlading gegeven door: $ \ w = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \ $ waarin de veldsterkte $E$ op een afstand $r$ is: $$ E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} $$ met $q$ voor de lading van het elektron en $\epsilon_0$ de elektrische doorlaatbaarheid van het vacuum. De totale energie in het veld wordt dus gegeven door de integraal: $$ U = \int_0^\infty\frac{1}{2}\epsilon_0 \left(\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \right)^2 4 \pi r^2 dr \ = $$ $$ \frac{q^2}{8 \pi \epsilon_0} \int_0^\infty \frac{dr}{r^2} = \infty $$ Er is dus een oneindige uitkomst voor de veldenergie van het elektron. Dit is een bijzonder ernstige zaak, omdat het wegens de equivalentie van energie en massa $ \ E = m c^2 \ $ bijvoorbeeld impliceert dat een elektron in het geheel niet kan bewegen, hetgeen in flagrante tegenspraak is met alle experimenten. Men zou nu kunnen denken dat dit probleem gemakkelijk op te lossen is door aan elektronen een eindige straal toe te kennen. Dan komt men echter bedrogen uit. Feynman behandelt de materie uitgebreid in [RPF], het boeiende hoofdstuk Electromagnetic Mass.

De fysicus David Bohm zegt er in [Bohm] het volgende van. Als men de bestaande quantumtheorie toepast op de electrodynamica van "elementaire" deeltjes (zoals elektronen, protonen, enz.), schijnen er inwendige tegenspraken in de theorie op te treden. Deze tegenspraken staan in verband met de voorspelling van oneindige waarden voor verscheidene fysische eigenschappen, zoals de massa en lading van een elektron. Al deze oneindigheden komen voort uit de extrapolatie van de huidige theorie naar onbeperkt kleine afstanden. Een van de belangrijkste onder de dingen, die zulk een extrapolatie noodzakelijk maken, is de veronderstelling - die een intrinsiek kenmerk schijnt te zijn van de tegenwoordige theorieën, dat "elementaire" deeltjes, zoals elektronen, wiskundige punten zijn, d.w.z. dat ze in het geheel geen ruimte innemen. Aan de andere kant heeft men, niettegenstaande vele jaren aktief zoeken door theoretische fysici van de gehele wereld, nog geen manier gevonden om de aanname, dat een elektron een beperkt deel van de ruimte inneemt, zonder tegenstrijdigheden aan de huidige quantumtheorie toe te voegen.
Voetnoot: De meeste moeilijkheden ontstaan wanneer men zo'n veronderstelling in overeenstemming tracht te brengen met de relativiteitstheorie.

Einde fragment [Bohm]. Bohm suggereert verder dat de moeilijkheden opgelost kunnen worden door een sub-quantummechanisch niveau aan te nemen waarvan de huidige theorie slechts een "linearisatie" is. De materie is ook bij Bohm een mathematisch continuüm , waarin deeltjes optreden als niet-lineaire verstoringen. Ons inziens is dat echter een verschuiven van het probleem. Desondanks geeft het citaat een goede samenvatting van de problematiek.

Nu zou het misverstand kunnen ontstaan alsof singulariteiten alleen maar voorkomen in de theoretische Electrodynamica. Niets is echter minder waar. Ook al in de wet van de zwaartekracht volgens Newton zit een singulariteit. Dit is eigenlijk meteen duidelijk, want de wet van Newton is van precies dezelfde vorm als de wet van Coulomb: $$ F = \frac{q\cdot Q}{4\pi\epsilon_0\, r^2} \quad \mbox{(Coulomb)} \quad \sim \quad F = G\cdot \frac{m\cdot M}{r^2} \quad \mbox{(Newton)} $$ Dus elektrische kracht wordt getransformeerd tot zwaartekracht - zuiver theoretisch althans - door middel van de volgende substituties: $$ m \leftarrow q \quad ; \quad M \leftarrow Q \quad ; \quad G \leftarrow \frac{1}{4\pi\epsilon_0} $$ Dit betekent dus niet alleen een probleem voor de veldenergie van oneindig kleine puntladingen, maar ook een - geheel analoog - probleem voor de veldenergie van oneindig kleine puntmassa's.