Een "foutieve" afleiding voor de afmetingen van een zwart gat, die niettemin tot
tot een juiste konklusie leidt, is oorspronkelijk bedacht door
Pierre Laplace.
Schwarzschild
heeft hiervoor later in de plaats een "korrekte" afleiding gezet
die (uiteraard) gebaseerd is op de Algemene RelativiteitsTheorie. Wij beperken
ons hier tot de heuristiek van Laplace, welke uitgaat van de Newtonse mechanika.
De ontsnappings-snelheid van een raket aan het oppervlak van een hemellichaam
is gelijk aan de potentiële energie ter plaatse:
$$ \frac{1}{2} m v^2 = G \frac{m M}{R} $$
Hierin is $v=$ ontsnappings-snelheid, $m=$ massa van de raket, $G=$ gravitatie
constante, $M=$ massa van het hemellichaam, $R=$ straal van het hemellichaam.
De grootst mogelijke ontsnappings-snelheid is volgens de relativiteits-theorie
de lichtssnelheid $c$. Substitueer $v=c$ in bovenstaande formule en doop $R$
om in $R_{Sch}$, de zogenaamde Schwarzschild radius. Dan geldt blijkbaar:
$$ R_{Sch} = \frac{2 G M}{c^2} $$
De fysische betekenis hiervan is dat vanaf het oppervlak van een hemellichaam,
waarvan de massa zodanig is samengeperst in een klein volume, dat de afmetingen
gelijk of kleiner zijn dan de Schwarzschild radius, geen enkel ding meer in de
ruimte kan ontsnappen, zelfs niet iets wat met de lichtsnelheid gaat, zelfs
geen licht dus. Een dergelijk hemellichaam, mits het zou bestaan, wordt daarom
een zwart gat genoemd.
Binnen de gevestigde wetenschap zijn er tegenwoordig weinig mensen meer die (openlijk) twijfelen aan het bestaan van zwarte gaten. Opgemerkt wordt dat binnen het kader van de mechanica van Newton er inderdaad geen wiskundige reden is om aan dit bestaan te twijfelen. In deze zin namelijk dat er in bovenstaande afleiding geen sprake is van welke Singulariteit dan ook. Als gevolg van de Bolschilstelling is er ook geen sprake van een singulariteit binnen in het Newtonse zwarte gat. Namelijk als volgt: Binnen een massieve bol met constante dichtheid verloopt de zwaartekracht evenredig met de afstand tot het middelpunt. In het middelpunt is de zwaartekracht nul. Maar zoals blijkt uit de eerdere Wikipedia pagina ligt dit helemaal anders bij de Algemene RelativiteitsTheorie. Als er dus een wiskundige reden is om te twijfelen aan het bestaan van zwarte gaten - namelijk de aanwezigheid van echte oneindigheden - dan gaat de verdenking in eerste instantie uit naar de Algemene RelativiteitsTheorie. Het is niet uitzonderlijk om vraagtekens te zetten bij de geldigheid van GR (General Relativity) in het algemeen. Léon Brillouin spreekt in ander verband over "een prachtig stuk wiskunde, gebouwd op drijfzand" [LB]. Inderdaad laat de Wikipedia pagina ettelijke malen het woord singulariteit vallen, zelfs is er sprake van Naakte singulariteiten. In een aantal formules van de theorie, zie [Shu], komt de volgende uitdrukking voor: $$ \frac{1}{ \sqrt{1 - R_{Sch}/r }} $$ Deze uitdrukking is bijvoorbeeld verantwoordelijk voor de letterlijk oneindige zwaartekracht in de buurt van een zwart gat. In [Shu] wordt dan ook gezegd dat geen enkele bekende kracht in de natuur in staat is om weerstand te bieden aan deze ineenstorting, tot een singulariteit met een oneindige dichtheid.
Voor stabiele sterren vindt men met behulp van de Algemene RelativiteitsTheorie trouwens een buitengewoon fraai en algemeen resultaat. Onafhankelijk van de toestandsvergelijking van de materie binnen de ster geldt namelijk dat de straal van de ster iets groter is dan de Schwarzschild straal. Om precies te zijn $9/8$ maal, volgens vergelijking (23.18) uit [HS] of met internet als bron: $$ r > \frac{9}{8} R_{Sch} $$ Een stabiele ster kan dus nooit een zwart gat opleveren. Een zwart gat moet om te beginnen permanent instabiel zijn. Ook een hemellichaam met een straal van $\;9/8\, R_{Sch}\;$ is overigens onvoorstelbaar compact, maar kennelijk is dat nog niet compact genoeg.
Tamelijk spekulatief worden de konklusies, wanneer we ze in verband brengen met
de afmetingen van elementaire deeltjes, die immers een onduidelijkheid in hun
eigen leefruimte hebben, in de orde van $\hbar/(mc)$:
$$ \frac{\hbar}{mc} > 2 \times \frac{2 G m}{c^2} \quad \Longrightarrow \quad
m < \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{\hbar c}{G} } $$
Wanneer het een en ander wordt uitgerekend, dan vinden we:
Aan de massa van elementaire deeltjes is een absolute bovengrens gesteld van
$ \frac{1}{2}\times$
de zogenaamde Planck-massa
$m_P = \sqrt{\hbar c / G}$. De numerieke waarde van
$m_P$ is vrij groot, en bedraagt 0.2177 mg (milligram). Het eitje van een
vlieg is ongeveer even zwaar.
Met de Planck-massa geassocieerd zijn de Planck-lengte $ x_P = \hbar / (m_P c)$
en de Planck-tijd $ t_P = \hbar / (m_P c^2)$. De bijbehorende numerieke waarden
zijn respektievelijk $x_P = 1.6156 \, 10^{-36}$ en $t_P = 0.5389 \, 10^{-44} $.
Absurd kleine waarden, die een absolute ondergrens stellen aan granulatie
van de (eigen) ruimte-tijd. Maar als zwarte gaten macroscopisch kunnen bestaan,
dan is er ook geen reden om microscopisch een dergelijke ondergrens te poneren.
Dan zou de ruimte-tijd dus toch nog "echt" continu kunnen zijn?