Natuurwetten

In 1989 hield Ad Lagendijk, tegenwoordig hoogleraar aan de Universiteit van Amsterdam, een geruchtmakende inaugurale rede, met als titel : De arrogantie van de fysicus . We zijn inmiddels dertig jaar verder, maar helaas is de toespraak nog steeds actueel, ja zelfs actueler dan ooit.
Het volgende citaat, afkomstig uit de rede, is van G.N. Lewis , een Amerikaans fysisch chemicus: Het was wetenschappelijke arrogantie die een wet van de natuurkunde een wet van de natuur noemde. Een natuurwet of een wet van de natuurkunde, dat is een subtiel maar wel een wezenlijk verschil. In het eerste geval kan men nog denken aan wetten die door Moeder Natuur, of zo men wil door God gegeven zijn. Maar in het tweede geval is een dergelijke suggestie ten enen male afwezig; immers natuurkunde is zonder enige twijfel het werk van mensenhanden. Door mensen gemaakte natuurwetten hebben dan ook geen eeuwigheidswaarde; ze zijn in principe onderhevig aan de waan van de dag. Natuurwetten kunnen dus worden vervangen of aangevuld door andere, zonder dat daarmee de Natuur zelf verandert.
We hebben dit kunnen zien begin vorige eeuw, toen relativiteitstheorie en kwantummechanica de plaats innamen van de tot dan toe onaantastbaar geachte mechanica van Newton. Waarbij meteen worden aangetekend dat van deze "vervanging" in veel alledaagse natuurkunde nauwelijks iets te merken is. Veeleer is er sprake van aanvullende natuurwetten, voor hoge snelheden en atomaire deeltjes, vooral het laatste.

Maar laten we konkreet worden en een aantal gebieden van de natuurkunde de revue laten passeren. De inhoudsopgave van een standaard Leerboek der natuurkunde door R. Kronig (1952) zou ons hierbij goed van pas kunnen komen, ware het niet dat een aantal belangrijke hoofdstukken van de natuurkunde in het boek ontbreken.

Om te beginnen de kosmologie, of de leer van het heelal. Een bekend probleem dat in verband staat met de uitgebreidheid van het heelal, in ruimte en tijd, is de zogenaamde paradox van Olbers. Stel dat het heelal oneindig is in ruimte en tijd; de wereld heeft een oneindig volume en bestaat van alle eeuwigheid. Dan is deze voorstelling al in tegenspraak met de ervaring dat het 's avonds donker wordt als de zon ondergaat. Immers, kijkt men een oneindig heelal in, dan kan men nooit op een donkere achtergrond stoten. Men zou uiteindelijk een ononderbroken muur van sterren moeten zien. Ook zou eventuele donkere materie, die het zicht zou kunnen verduisteren, in een oneindige tijd allang opgewarmd zijn tot de gemiddelde ster temperatuur. Al met al kan worden beredeneerd dat een oneindig heelal op zeer veel fronten in strijd is met de waarneming. Niet voor niets gaat de moderne kosmologie uit van een heelal dat in plaats hiervan eindig is, zowel in ruimte als in tijd. Een finitistische zienswijze die strikt genomen ook nog eens in overeenstemming had kunnen zijn met de beste religieuze tradities. De Big Bang "lijkt" op de Schepping. Wat betreft een letterlijk oneindig groot heelal in ruimte en tijd kan men dus vrij vlug tot een concensus komen, namelijk dat het in de materiële werkelijkheid onbestaanbaar is.

Wagen we de sprong van de kosmologie naar het andere uiterste, van het oneindig grote naar het oneindig kleine: de wereld van de quantummechanika. Paradoxaal genoeg zijn ook in die wereld het oneindig kleine sommige dingen oneindig groot. Vectorruimten van oneindig grote dimensie, zogenaamde Hilbert ruimten, worden vaak ingezet bij quantummechanische berekeningen. Deze vectorruimten hebben zonder uitzondering echter een volledige basis (van eigenvectoren). Hetgeen betekent dat ze zich wiskundig gedragen als limietgeval van vectorruimten met een zeer grote, doch eindige dimensie. Wij stellen dat deze quantummechanische ruimten in het geheel niet kunnen worden onderscheiden van zeer grote eindige vectorruimten, zoals iedere fysicus uit ervaring weet. Maar een tegenvoorbeeld zou theoretisch kunnen worden gekonstrueerd als volgt. Bedenk een model in de quantummechanika waar een oneindige vectorruimte in voorkomt welke geen Hilbert ruimte is, die dus geen mogelijk limietgeval is van een eindige ruimte. Anders gezegd: bedenk een quantummechanische vectorruimte die niet separabel is. Ik heb er alle vertrouwen in dat een dergelijk tegenvoorbeeld onmogelijk kan worden gevonden.

Als we vervolgens de inhoudsopgave van het Leerboek der natuurkunde opslaan, dan is er wat de klassieke mechanica betreft vooralsnog weinig dat aan oneindigheid in de natuurkunde doet denken. Als we tenminste geen aandacht schenken aan de in de theorie prominent aanwezige stoffelijke punten. Een stoffelijk punt is immers een massa van oneindig kleine afmetingen. Maar behalve dat ze massa hebben (in een oneindig klein volume) zijn stoffelijke punten vooralsnog niet verschillend van (masaloze) punten in de Euclidische meekunde. Wat betreft de mechanica zelf kunnen we bij binnenkomst (bewegingsleer of kinematica) platgetreden paden inslaan, zoals die van de paradoxen van Zeno. Maar we slaan dit aandachtsveld over. Dan is het eerste onderwerp in de lijst wat onze aandacht trekt: Gravitatie. Dit is de overbekende wet van Newton voor de zwaartekracht $\,F$ , geldig voor twee stoffelijke punten met massa's $m_1$ en $m_2$ die een onderlinge afstand $r$ hebben. $G$ is de gravitatieconstante. $$ F = G\cdot\frac{m_1\cdot m_2}{r^2} $$ Een probleem ontstaat wanneer de stoffelijke punten of puntmassa's elkaar oneindig dicht naderen ofwel een afstand nul tot elkaar hebben. Want dan zou de zwaartekracht letterlijk oneindig groot worden. In het kader van een Infinitum Actu Non Datur moeten we ervan uitgaan dat dit niet mogelijk is.
Een geheel analoge problematiek komt men tegen bij het statische elektrische veld van twee stoffelijke punten met ladingen $q_1$ en $q_2$ die een onderlinge afstand $r$ hebben. Volgens de wet van Coulomb (in vacuüm) geldt dan: $$ F = \frac{q_1\cdot q_2}{4\pi\epsilon_0\,r^2} $$ Ook hier ontstaat een probleem wanneer de stoffelijke punten of puntladingen elkaar oneindig dicht naderen ofwel een afstand nul tot elkaar hebben. Berucht is met name de oneindige uitkomst voor de veld-energie van een elektron, wanneer het deeltje wordt opgevat namelijk als een puntlading. Vooruitlopend op een beter gefundeerde aanpak (LATER) kan echter het volgende worden voorgesteld, al is het in zekere zin een zwaktebod. Neem aan dat in plaats van de omgekeerde kwadratenwet een iets andere wet opgeld doet, zodanig dat deze op grotere afstand van puntmassa's / puntladingen niet te onderscheiden is van het origineel. Een mijns inziens alleszins redelijke kandidaat is gepubliceerd op het Mathematics Stack Exchange forum : Cauchy distribution instead of Coulomb law? . En heeft daar, zoals te verwachten was, het nodige protest ontmoet.

Wij zijn inmiddels voorbij het hoofdstuk Trillingen en golven, maar een terugblik is op zijn plaats. Opgemerkt wordt namelijk dat longitudinale golven in het Leerboek der natuurkunde - en niet alleen daar - enigszins stiefmoederlijk worden behandeld. Zoals blijkt uit de volgende publicatie : How to construct longitudinal from transversal waves and vice versa?
Stelling: als $A$ de amplitude is van een longitudinale golf en $\lambda$ de golflengte dan geldt $\,A < \lambda/(2\pi)$ . Ik heb deze restrictie nergens anders kunnen vinden. Opgemerkt wordt dat discretisatie van het verschijnsel een rol speelt bij de afleiding van het resultaat.