Zo laat Einstein lichtstralen heen en weer zenden tussen een systeem $O$ en een systeem $O'$. Hij neemt daarbij aan dat er een gegeven snelheid $v$ bestaat van $O'$ ten opzichte van $O$. Terecht merkt Brillouin op dat deze "gegeven snelheid" dan eerst maar eens gemeten moet worden. Maar stel dat we dit doen met lichtstralen, dan zullen de fotonen, zodra zij worden teruggekaatst, het reflekterende objekt achteruit stoten (terugstoot effekt) en daarmee de snelheid ervan veranderen. Het is dus niet mogelijk om de snelheid van $O'$ ten opzichte van $O$ helemaal exakt te weten te komen. Zelfs in principe niet. Brillouin konkludeert terecht: De gegeven snelheid is slechts een mythe van onze verbeelding. Het is een traditionele blunder, die voortkomt uit de illusie dat 'kijken naar iets geen pijn doet'. En verder: Het ouderwetse relativiteits-beginsel is een droom; het vertegenwoordigt alleen een grensgeval, maar het mag bijvoorbeeld niet gebruikt worden, zonder de grootste zorgvuldigheid in acht te nemen, wanneer het aankomt op bewegende deeltjes met zeer kleine massa's.
De beperkte nauwkeurigheid van de rustpositie van een elektron stelt inderdaad grenzen aan de makroskopische theorie, waarvan tot op dit moment verondersteld kon worden dat zij onbeperkte geldigheid bezit: de relativiteitstheorie. Om een en ander beter in te zien moeten we enkele details lichten uit de gedachten-experimenten welke door Einstein worden gebruikt om zijn Lorenz-transformaties af te leiden.
Met name wordt aandacht gevraagd voor de "klokken" van de relativiteitstheorie. Deze klokken worden verondersteld extreem korte signalen te kunnen uitzenden. Bovendien zijn ze in staat om het tijdsinterval tussen een uitgezonden en een ontvangen signaal zeer nauwkeurig te meten. Met andere woorden, een Einsteinse klok is een radar systeem. Maar de eisen die aan een dergelijk systeem worden gesteld verschillen aanzienlijk van de eisen die men stelt aan een gewone klok, die in plaats van een systeem met scherpe pulsen een zo regelmatig mogelijke trilling is: een frequentie-standaard. Klokken die in dit opzicht het ideaal dicht benaderen zijn de moderne atoom-klokken. Een zwak punt in de redenering van Einstein is dat in het geheel niet duidelijk wordt hoe dergelijke moderne tijdmeters ingezet moeten worden.
Laat ons een experiment van Einstein overdoen, maar nu zonder al te veel zaken over het hoofd te zien. Wij gebruiken daarom een radarpuls van eindige breedte, en kiezen daarvoor funktie $sinc(2 \pi t / \tau)$, waarin $sinc(x)=\sin(x)/x$. De "spreiding" van deze puls is gelijk aan $\frac{1}{2}\tau$. We moduleren deze radarpuls op de draaggolf van een atoomklok, met precieze frequentie $\omega$. Het spektrum van dit signaal heeft de vorm van een blok, met een breedte van $2 \pi / \tau$ aan beide zijden van de hoofdfrequentie. Omdat frequenties altijd positief zijn geldt daarbij: $\omega > 2 \pi / \tau$ \ of \ $\frac{1}{2}\tau > \pi / \omega$ . Met behulp van dit radarsignaal probeert nu de waarnemer in het ene bewegende systeem zijn klok gelijk te zetten met de klok van de waarnemer in het andere bewegende systeem. Echter de wisselwerking met de materie van een spiegel gaat onherroepelijk gepaard met een Compton effekt: uiteindelijk zijn elektronen verantwoordelijk voor de terugkaatsing van licht. Dit Compton effekt verandert niets aan de breedte van de puls (omdat ook de breedte van het spektrum niet verandert). Wat wel verandert is de modulatie-frequentie van het signaal. Immers, de golflengte wordt $2 \pi c / \omega + 2 h / m c$ (: over 180 graden). Dit betekent dat de voorwaarde dat frequenties positief zijn verandert in: $\frac{1}{2} \tau > \pi / \omega + h / m c^2 $. Dus altijd geldt dat: $$ \frac{1}{2} \tau \gg h / m c^2 $$
De spreiding van een radarpuls moet dus (veel) groter zijn dan $h / m c^2$ wanneer men zijn klok gelijk wil zetten met die van een referentiesysteem. Er kan dus nooit worden nagegaan of twee klokken binnen deze nauwkeurigheid al dan niet "gelijk" lopen.
De Lorenz transformatie voor de tijd moet op grond van bovenstaand argument met een korrel zout worden genomen. Van deze natuurwet is niet aantoonbaar dat zij exakt geldt. Integendeel, hetzelfde gedachte-experiment waarmee de wetmatigheid werd afgeleid brengt bij preciezere uitvoering de fundamentele onnauwkeurigheid van de wet aan het licht.
Wat geldt voor de tijd, geldt analoog voor de plaats. Vanuit de QuantumElectroDynamica is bekend [QED] dat er een kleinst mogelijke nauwkeurigheid bestaat voor het meten van de positie van een elektron in rust. Deze nauwkeurigheid bedraagt: $$ \Delta x = \frac{h}{m c} $$ Hierin is: $x = $ positie ; $h = $ constante van Planck ; $m = $ elektronmassa; $c = $ lichtsnelheid. Wanneer men probeert om toch onder deze onnauwkeurigheid uit te komen, dan wordt desbetreffende poging onmiddelijk bestraft met de produktie van elektron-positron paren. Dat is geen meting meer, maar een ontploffing.
Een plausibele verklaring voor dit fenomeen van beperkte nauwkeurigheid wordt
wederom gevonden in het Compton effekt. Wanneer iemand probeert de positie
van het elektron vast te stellen, dan kan hij dit proberen te doen met behulp
van een lichtmikroskoop. We nemen in onze gedachte experimenten aan dat deze
mikroskoop er een is van een tamelijk universeel type: we hoeven ons niet te
beperken tot zichtbaar licht, maar kunnen bijvoorbeeld ook harde gammastraling
inzetten. Om het elektron te kunnen "zien" sturen we er een lichtpuls op af.
Zoals bekend bestaat alle licht uit fotonen. Wanneer een foton botst met het
elektron, dan zal om te beginnen het deeltje van zijn plaats worden geschopt.
Het weegt immers bijna niets. Maar ook de golflengte van het invallende foton
zal veranderen. Er geldt bij benadering: $\lambda '=\lambda + h/mc$ (: neem aan
dat de hoek van verstrooiing 90 graden is). Nu kunnen met een mikroskoop geen
details waargenomen worden waarvan de afmetingen kleiner zijn dan de golflengte
van het gebruikte licht. Er kunnen dus aleen lengtes $\Delta x$ worden gemeten
waarvoor geldt: $\Delta x > \lambda + h/mc$. Altijd is dus $\Delta x >> h/mc$.
Bij uiterst korte golflengtes wordt de (gamma)straling dermate energierijk dat
allerlei nieuwe deeltjes worden gecreëerd, waardoor het beoogde experiment
ontaardt in een volledig zinloze aangelegenheid.
De onnauwkeurigheid in een positie is bijgevolg altijd groter dan $ h / m c$.
Dit is tevens de onnauwkeurigheid in de Lorenz transformatie van de plaats.
Voor een uiteenzetting met meer wiskundige details wordt verwezen naar:
