10 REM *** Bereken de wortel uit 2 *** 20 A=1 : B=1 30 B=B/2 : K=A^2 40 IF K=2 THEN PRINT "Exakt!" : END 50 IF K>2 THEN A=A-B 60 IF K<2 THEN A=A+B 70 PRINT "Wortel uit 2 =";A;". Kwadraat = ";K 80 INPUT N : GOTO 30Draait men dit programma, dan zal men kunnen konstateren dat de exakte waarde in regel 40 nooit wordt gehaald. Dat was althans de ervaring op een IBM PS/2. Het resultaat is in feite machine-afhankelijk. Theoretisch kan er best wel een micro-computer bestaan met een zodanige drijvende komma representatie dat er toevallig een $A$ bestaat met $A^2=2$, maar dan faalt het experiment zodra men men voor $2$ andere getallen invult, zoals in $A^2=3$ of $A^2=5$. We kunnen met betrekking tot de nauwkeurigheid van het resultaat nog wel het een en ander beredeneren. Stel dat de volgende eis wordt gesteld: het kwadraat van $\sqrt{2}$ moet gelijk zijn aan $2$ met een nauwkeurigheid van $\epsilon < 10^{-9} $. Uit voorlopige berekeningen blijkt dat de wortel zelf kleiner is dan $1.5$. Dus geldt voor de nauwkeurigheid $ \delta \equiv | A-\sqrt{2} | $ van $A$ zelf: $ \epsilon \equiv | A^2-2 | \equiv | A+\sqrt{2} || A-\sqrt{2} | < 3 \delta $. Neem nu $\delta \equiv 0.3\,10^{-9}$ dan is de vereiste nauwkeurigheid $\epsilon$ in ieder geval verzekerd. Soortgelijke procedures komt men tegen bij de definitie van andere irrationale getallen. Bijvoorbeeld $e$, het getal van Euler, zou men kunnen definiëren als de waarde van $x$ waarvoor de natuurlijke logarithme $\log(x)$ de waarde $1$ aanneemt. De funktie $\log(x)$ is hierbij gedefinieerd als een integraal $ \int_1^x 1/t \, dt $ en kan louter op grond van elementaire bewerkingen numeriek worden berekend.
Epsilontiek, ofwel redeneren met $\delta$'s en $\epsilon$'s, zoals hierboven,
komt in de klassieke analyse buitengewoon veel voor. Het is zelfs zo dat veel
van de wetmatige irrationale getallen worden gedefinieerd door middel van deze
epsilontiek. Heel in het algemeen ziet de methode er uit als volgt:
Vind bij een willekeurige gegeven $\, \epsilon > 0 \,$ een nauwkeurigheid
$\, \delta(\epsilon) > 0 \,$ zodanig, dat uit $\; |x - a| < \delta \;$ volgt
dat $\; | f(x) - f(a) | < \epsilon \; $.
In het voorbeeld van $\sqrt{2}$ is $f(x) = x^2$ en $f(a)=2$. In het voorbeeld
van $e$ is $f(x)=\log(x)$ en $\log(e)=1$. De irrationale getallen konden op die
manier worden gedefinieerd omdat $f(a)$ aan de rechterkant gelijk is aan een
duidelijk (rationaal) getal zoals $2$ of $1$. Dat was het numerieke verhaal.
Analytisch is de definitie simpelweg als volgt:
$ x = \sqrt{2} \; $ dan en slechts dan als $\; x^2 = 2 \; $ ;
$ x = e \; $ dan en slechts dan als $ \; \log(x) = 1
\; $ met $ \; \log(x)= \int_1^x dt/t \; $ .
Numerieke en analytische formulering worden op een noemer gebracht door over te
gaan op de volgende definitie:
Een reële funktie van reële getallen heet duidelijk ter plaatse $a$ dan en slechts dan als: $$ x=a \quad \Longrightarrow \quad f(x)=f(a) $$ Hierin betekent $x=a$ hetzelfde als $ |x-a|<\delta $ en $f(x)=f(a)$ hetzelfde als $ |f(x)-f(a)|<\epsilon $, volgens de regels der epsilontiek (zie boven).
We hebben met opzet gekozen voor de term "duidelijk", omdat dit ten eerste een onderscheid oplevert met de klassieke analyse, en ten tweede hetzelfde betekent als het Duitse "eindeutig", waarvan "éénduidig" als Germanisme doorgedrongen is in de gebruikelijke wiskundige nomenclatuur. Overigens is het voor reële funkties geen absolute vereiste dat zij overal duidelijk zijn. We zullen straks voorbeelden tegenkomen van plaatselijk onduidelijke funkties.
Verder is het duidelijk dat bij de verwerking van reële getallen steeds de einduitkomst $f(x)$ bepalend is. Dit omzeilt een aantal inconsistenties waar we in [MatWsk] mee te kampen hadden. Bij het rekenen met benaderde, dat zijn echte reële getallen heeft men namelijk altijd last van zogenaamde fouten-voortplanting. Dit wreekt zich in de eind-uitkomst, die daardoor als regel "onnauwkeuriger" is dan de getallen waar men van uitgaat. Nu is deze eind-uitkomst uiteraard een funktie van genoemde getallen. Krachtens de methode van de epsilontiek is deze funktie verzekerd van een van te voren vastgestelde onnauwkeurigheid $\epsilon$. Daaruit rekent men terug, in de praktijk vaak met behulp van iteratie, welke onnauwkeurigheid de oorspronkelijke bestanddelen dan wel mogen bezitten.
Een iets ander voorbeeld. Stel dat drie reële getallen twee aan twee gelijk zijn aan elkaar: $a=b$ en $b=c$. Geldt dan ook dat $a=c$ ? Het bewijs gaat als volgt. Gegeven is dat $|a-b|<\delta_1$ en $|b-c|<\delta_2$. Daaruit volgt met de driehoeks-ongelijkheid: $|a-c| \equiv |a-b+b-c| \leq |a-b| + |b-c| < \delta_1 + \delta_2 < \epsilon $. Kies nu $\delta_1 \equiv \delta_2 \equiv \epsilon / 2 $. Dan blijft de einduitkomst binnen de perken. De konklusie luidt dat de transitieve eigenschap voor de gelijkheid blijft opgaan. Op soortgelijke manier kan men bewijzen dat allerlei andere rekenregels waar we aan gewend zijn geldig blijven. Bijvoorbeeld als $a=b$ en $c=d$, dan is nog steeds: $a+c=b+d \; , \; a-c=b-d \; , \; a.c=b.d \; , \; a/c=b/d \; $, het laatste uiteraard op voorwaarde dat $ \; c=d \neq 0 \; $.
Toch is er iets aan de hand met onze formulering van duidelijke funkties. Het is alsof de definitie al in een ander verband is gebezigd. En dat klopt natuurlijk. Hier staat namelijk letterlijk ... de klassieke definitie van een continue funktie:
Vind bij een willekeurige gegeven $\; \epsilon > 0 \;$
een nauwkeurigheid $\; \delta(\epsilon) > 0 \;$
zodanig, dat uit $ \; |x - a| < \delta \; $
volgt dat $\; | f(x) - f(a) | < \epsilon $.
Even wat zaken op een rijtje zetten. De gelijkheid van reële getallen hangt dus af van nauwkeurigheden $\delta$ en $\epsilon$, op exakt dezelfde manier als in de klassieke analyse een continue funktie is gedefinieerd. Maar dit betekent dat gelijkheid en continuïteit in de werkelijkheid door elkaar lopen. Ze zijn blijkbaar in het geheel niet van elkaar te onderscheiden. En dit is geheel en al wat ook door de grote Nederlandse wiskundige Brouwer, de grondlegger van het intuïtionisme, is ontdekt. Ons resultaat is, op details na, gelijkwaardig met de beroemde Stelling van Brouwer:
Iedere reële funktie die op een interval van reële getallen duidelijk is (een "echte" funktie dus), is tevens helemaal continu op dat interval.
We laten vervolgens een aantal signifikante voorbeelden de revue passeren.
De volgende funktie komt in de fysika geregeld op de proppen: $$ \operatorname{sinc}(x) \equiv \left\{ \begin{array}{lll} \sin(x)/x & \mbox{voor} & x < 0 \; , \; x > 0 \\ 1 & \mbox{voor} & x \equiv 0 \end{array} \right. $$ Het is natuurlijk niet toevallig dat $\operatorname{sinc}(x)$ in het punt $0$ uitgerekend $1$ moet zijn. Alleen op die manier is $\operatorname{sinc}(x)$ voor $x=0$ een continue funktie. In het licht van de stelling van Brouwer kunnen we zelfs stellen dat alleen op deze manier $\operatorname{sinc}(x)$ voor $x=0$ duidelijk (lees: éénduidig) is, en daar een funktie is in de ware zin des woords.
Beschouw de Heaviside of sprong-funktie: $$ f(x) \equiv \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{voor} \;\; x < 0 \\ 1 & \mbox{voor} \;\; x > 0 \\ \frac{1}{2} & \mbox{voor} \;\; x \equiv 0 \end{array} \right. $$ We zien onmiddelijk dat $f(x)$ voor $x=0$ niet duidelijk (OK: niet éénduidig) kan zijn, dus in $x=0$ wel onduidelijk moet zijn. De funktie maakt daar immers een sprong, dus is ter plaatse niet continu. Het is onmogelijk om voor $x=0$ duidelijkheid (: éénduidigheid) te forceren, ook niet door een los in de lucht hangende waarde $1/2$ op te geven. (Overigens kunnen wij er heel best mee leven wanneer een funktie hier en daar onduidelijk is.) Een en ander is volledig in overeenstemming met de fysische realiteit. Wanneer men Heaviside zichtbaar maakt op bijvoorbeeld een oscilloscoop, dan zal de elektronenstraal ter plaatse van de eigenlijke sprong geen tijd hebben om een spoor na te laten. Het is dus uitermate onduidelijk wat er in $x=0$ gebeurt. En zeer zeker is het niet zo dat de funktie in $x=0$ een voorkeur zou hebben voor de waarde $1/2$. Dit zou men op de volgende manier tot uitdrukking kunnen brengen: $$ f(x) \equiv \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{voor} \;\; x < 0 \\ 1 & \mbox{voor} \;\; x > 0 \\ \mbox{ongedefinieerd} & \mbox{voor} \;\; x \equiv 0 \end{array} \right. $$ In feite doet het er namelijk niet toe met welke waarde de funktie ter plaatse $x\equiv0$ wordt geïdentificeerd.
Beschouw de zogenaamde funktie van Dirichlet : $$ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{voor alle rationale getallen} \\ 0 & \mbox{voor alle irrationale getallen} \end{array} \right. $$ In het licht van de stelling van Brouwer zou de "funktie" van Dirichlet het toppunt van onduidelijkheid zijn: de funktiewaarde fluctueert binnen het gelijkheidsdomein van twee willekeurige reële getallen op onnaspeurbare wijze tussen $0$ en $1$. Niet alleen hier en daar, maar overal. Een dergelijke "funktie" kunnen zelfs wij, dus niet alleen de intuïtionisten, geen funktie meer noemen. Ze is nergens "éénduidig".
Beschouw tenslotte de afgeleide van de Heaviside funktie: de funktie van Dirac of delta-funktie. De delta-funktie is oneindig voor $x=0$ en nul voor $x\ne0$, zodanig dat de oppervlakte onder de "piek" niettemin gelijk is aan $1$. In de theorie van de "distributies" wordt de ene oneindigheid, de hoogte van de piek, vervangen door een andere: een klasse met daarin een oneindig aantal funkties. De delta-funktie zou echter, helemaal niet met behulp van "distributies", als volgt gedefinieerd kunnen worden: $$ D(x)=\left\{ \begin{array}{lll} 1/h & \mbox{voor alle} & - \frac{1}{2} h < x < + \frac{1}{2} h \\ 0 & \mbox{voor alle} & x < - \frac{1}{2} h \; , \; x > + \frac{1}{2} h \end{array} \right. $$ Hierin is $ \; h < \delta \; $ waarbj $\delta$ in verbondenheid met $\epsilon$ voldoet aan de vereisten der epsilontiek; verder is $h$ een identificeerbaar getal (evenals trouwens $\delta$ en $\epsilon$ dat zijn). Een één-regelige definitie is zeer wel mogelijk: $$ D(x) = \max(0,\min((h+x)/h^2,(h-x)/h^2)) $$ Merk op dat de definitie van een "oneigenlijke" funktie zoals $D(x)$ hoegenaamd geen problemen oplevert. Dit komt uiteindelijk omdat wij een klaar beeld hebben van de manier waarop idealisatie van numerieke naar analytische formulering in de technisch-wetenschappelijke praktijk plaatsvindt. Zolang men maar beseft dat de zaken waar men mee bezig is in wezen eindig zijn, een ruwe ondergrond die een continu aanzien verwerft, enkel doordat identifikaties bij wijze van spreken "verdrinken" in allerlei (on)nauwkeurigheden.
Het belang van een fysische interpretatie van de Stelling van Brouwer reikt veel verder dan deze ene konstatering. Hier wordt namelijk aangetoond dat, in het algemeen, intuïtionistische resultaten fysische relevantie kunnen bezitten. Dit betekent dat zaken die in intuïtionistisch opzicht anders liggen dan "normaal", een gerede kans maken ook fysisch anders te liggen. Wij kunnen zodoende, op grond van onderzoek vanuit het intuïtionisme, bepaalde resultaten uit de klassieke wiskunde, bij voorbaat, aanmerken als risicodragend voor toepassingen buiten de deur. Dit hoeft achteraf niet te verbazen: de fysika is in zekere zin ultra-intuïtionistisch, al was het alleen maar vanwege het gegeven dat het oneindige een grootheid is die ook fysisch niet kan worden waargenomen.