CHALMERS TECHNIKA HÖGSKOLA
GÖTEBORGS UNIVERSITET
Matematiska Institutionen
10 juli 1996
Beste Han,
Voor ik op vakantie ga, wil ik een aantal dingen afmaken, en de reaktie die ik op jouw boek beloofd had is daar een van. Ik was al eens eerder begonnen dingen op te schrijven, als een soort bespreking, en daarom in de derde persoon. Nu wil ik dat afmaken, maar ik blijk steeds minder van jouw boek te begrijpen. Wat wil je daar nu eigenlijk mee? Waarom is de wiskunde zo onwerkelijk. Het antwoord op deze vraag heb ik in het boek niet kunnen vinden.
Waar gaat het boek eigenlijk over? En waarom schrijf ik er een uitgebreide reaktie op? Mijn belangstelling werd gewekt door jouw eigenaardige reklame op $\mbox{ sci.math}$ . Ongeveer zoals het leuk is om met Mormonen en dat slag mensen te praten. Ik geloof niet in jouw Grote Overkoepelende Dilemma. Het is inderdaad grappig het boek te lezen. Maar dat het misschien zinvol is erop te reageren, lees ik uit het voorwoord waar je een gezonde dosis relativering tevoorschijn laat komen. Ik citeer: "Voor het overige moet het in goede banen leiden van verontwaardiging en spot, inherent aan mijn bemoeienis met het onderwerp, worden gezien als een opgave van het lastigste soort." Bovendien zie je jezelf niet als bedreiging. Toch ontwikkel je in het eerste hoofdstuk een soort "scheermes van Ockham" waarmee je bepaalde Ideeën te lijf wilt.
In het boek snij je veel onderwerpen aan, op verschillende niveaus. Vaak zijn dat interessante zaken, waarover het goed is na te denken. Bijvoorbeeld het feit dat jij valt over de begrippen funktie en equivalentie relatie bevestigt de onderwijservaring dat dit moeilijke concepten zijn; de vraag is hoe je ze op moet vatten en uit kunt leggen. Ik kom hier nog op terug, nu wil ik alleen zeggen dat je het goede probleem stelt, alleen verkeerde conclusies trekt.
Je boek heeft wel degelijk wat met wiskunde te maken. Als voorbeeld noem ik jouw plezier aan de insluitingsmethode voor $\pi$ ( p. 121 ). Overigens: het was Archimedes, niet Aristoteles. Het nadeel van jouw programmaatje is dat het vierkantswortels niet benadert. Ik verwijs naar Dijksterhuis' boek over Archimedes, waar uitgelegd wordt hoe de 96-hoek tot de bekende bovengrens $22/7$ voert; Archimedes rekende alleen met breuken. Dat wiskunde leuk is, is een van de minst bekende maar belangrijkste aspecten van het vak.
Spot wordt jouw deel als je niet kunt, of wilt begrijpen wat het verschil tussen $a$ en $\{a\}$ is. "Wordt $a$ misschien iets anders zodra hetzelfde ding wordt aangeduid met twee accolades eromheen?" Ja, eerst had ik een, nu drie symbolen. Een duidelijker voorbeeld van de omslag van kwantiteit in kwaliteit is er toch niet te vinden? Als je welgedefinieerde begrippen neemt en daar de betekenis van verandert zonder dat precies uit te leggen, dan kan niemand je meer volgen. Waar komt deze weerstand tegen de verzamelingenleer toch vandaan? Is het de maatschappelijke achtergrond van Cantor? Sommige mensen denken dat hij Joods was omdat hij de letter aleph als symbool gebruikte. Of zijn het de populaire verhandelingen over de "crisis" in de wiskunde in het begin van de eeuw? Ik neem niet aan dat zulke zaken in een ingenieursopleiding natuurkunde aan de orde kwamen, dus het betreft hier zelfstudie. Tussen twee haakjes, je boek getuigt wel van belezenheid; resultaat daarvan is een zeker eclecticisme. [ Kritiek ter harte genomen en hoofdstuk gemarkeerd als verouderd ]
Verontwaardiging of medelijden wordt opgewekt door de provocatieve retoriek.
Wat wil je met je boek bereiken? Tot wie richt het zich? Ik denk dat het meer een verslag is: de ontdekkingsreis van Han de Bruijn. Een doel is: kritiek op het vak wiskunde. Dat klinkt naar Kritiese Universiteit. Kritiek kan op verschillende punten aangrijpen, op de algemene werkwijze van de wiskunde, of onder aanvaarding daarvan op specifieke onderdelen. Ik reageer als wiskundige. Het belangrijkste thema van het boek is echter de natuurkunde, hoe daar wiskunde wordt gebruikt. Kernzinsneden zijn: de droom is uit ( p. 79 ), Voordat ik hier achter kwam, was er een essentieel verschil tussen de fundamentele en de toegepaste natuurkunde ( p. 78 ).
De relatie tussen wiskunde en natuurkunde is een waar veel over te zeggen valt. Laat mij volstaan met: het moet maar eens uit zijn met het idee dat alles wat een natuurkundige verzint zonder meer relevant is voor de wiskunde (en dan krijgt Witten ook nog de Fields medaille).
In populaire verhandelingen wordt vaak lang en diep over de grondslagenproblemen van de wiskunde gesproken, waarbij de conclusie getrokken wordt dat de wiskunde niet over de werkelijkheid handelt, en dan doet zich het probleem voor van de verbazingwekkende toepasbaarheid van de wiskunde. Wat dan de realiteit is, en hoe wij die kennen, wordt niet behandeld. Terwijl toch juist de wiskunde een deelgebied van de menselijke kennis is en we dus algemenere kentheoretische problemen moeten beschouwen.
Nu echter alleen aan afbakening: ik ga uit van het bestaan van een materiële wereld, die aanwezig is, onafhankelijk van het feit of ik hem waarneem of niet; trouwens ik maak er zelf deel van uit. Op basis van de huidige stand van de natuurwetenschappen zeg ik dat deze wereld een soep (quark?) van "atomen" is, een ongestructureerde chaos. Structuur ontstaat pas door waarneming en reflectie (nadenken).
1) Die Mathematik ist eine Wissenschaft. Ihr Ziel ist wie bei jeden anderen Wissenschaft die Erkenntnis der objektiven Realität, ihr Zweck ist wie bei jeden anderen wissenschaftlichen Theorie, eine rational begründeten gesellschaftliche Praxis zu ermöglichen.
Hier wil ik mij ervan afmaken door te zeggen dat wiskunde is wat wiskundigen doen. Dit lijkt een cirkeldefinitie, is het echter niet. Het gaat er ook niet om om een definitie te geven, maar om te beschrijven wat wiskunde is. Een "definitie" kan nooit gebruikt worden om te beslissen of iets wiskunde is of niet - niet alles hoeft in vakjes gestopt te worden. Maar in grote lijnen bestaat er overeenstemming (de kriteria variëren in plaats en tijd). Op Han's boek toegepast, ik zou het stuk over operatorenrekening als wiskunde kwalificeren, dat over verzamelingenleer niet (maar als wartaal). Dit is een op ervaring gebaseerd gevoelsmatig oordeel.
Kenmerkend voor de wiskunde is de axiomatische methode.
De anekdote over het college Elektrotechniek is typerend ( p. 25 ). Maar wat gebeurt hier. Het moge duidelijk zijn dat het veeg- en kraswerk niet als strenge afleiding van de vereenvoudigde formule kan gelden, maar wel als heuristische. Belangrijker echter is om te constateren dat de formule uit algemene principes werd afgeleid (deduktief) en niet als experimentele wet (induktief). Ik neem aan dat een expliciete toetsing aan de praktijk niet plaats vond (maar het is iedereen - met eventuele uitzondering van de studenten - duidelijk dat de formule nuttig is).
Het fundamentele verschil tussen wiskunde en de experimentele wetenschappen is dat in de laatsten het resultaat bepaalt wat juist is, de vergelijking met de praktijk. Voor de toepassing van de wiskunde is er daarmee een extra waarheidskriterium, dat er voor de wiskunde zelf niet is, en zelfs niet mag zijn. Een typisch voorbeeld is dat je niet positieve wortels van een vergelijking uit kunt sluiten "op fysische gronden". De wiskundige moet echter met alle wortels verder rekenen, of eventueel expliciete extra hypotheses invoeren.
In dit verband is het aangebracht een van Han's eisen aan de wiskunde expliciet te formuleren:
GEEN VERBORGEN AANNAMEN
Dit is een terechte eis en een loflijk streven; het probleem zit het hem de onbewuste aannamen: zolang ik niet door heb dat ik ergens gebruik van maak, kan ik niet aan de eis voldoen. Maar iemand anders kan mij erop wijzen. De exactheid van de wiskunde is nooit absoluut, maar blijft altijd een streven.
Wiskunde handelt over heel concrete dingen, meestal binnen gevestigde theorieën. Een typisch probleem is: hoeveel gewone dubbelpunten kunnen er maximaal liggen op een oppervlak van graad $d$ (in de 3-dimensionale ruimte). Voor $d = 4$ is dat $16$, al meer dan een eeuw bekend, $31$ voor $d = 5$ is recenter, terwijl $d = 6$ pas sinds kort bekend is $(65)$, en $d\ge 7$ is open. Hier is helemaal geen sprake dat je wel aan axiomasystemen kunt knoeien. Dat er niet meer dubbelpunten mogelijk zijn, moet je op de een of andere manier bewijzen, uit eerder bekende feiten. Als je de keten terug zou volgen, kom je tenslotte uit op axioma's. Het aantal onbewezen feiten wil je zo klein mogelijk houden. Dat is ook zo als je de theorie ontwikkelt hoe met tegenstroomschema's vergelijkingen op te lossen.
Iets anders is het formeel logische verband tussen uitspraken. Waar is wat logisch uit de axioma's volgt (via een bewijs), onafhankelijk van de interpretatie van de begrippen. De waargenomen werkelijkheid is hier irrelevant. Wiskunde dient wel degelijk om de werkelijkheid te beschrijven, en die is ook vaak bepalend voor wat je probeert te bewijzen - alleen, zoals gezegd, het is geen waarheidskriterium.
De ontdekking van de niet-euclidische meetkunde heeft tot de scheiding tussen wiskunde en werkelijkheid geleid. Gauss heeft nog geprobeerd de som van de hoeken in een grote driehoek te bepalen (een van de toppen was de Brocken, de bekende heksenberg in de Harz), maar de meetfout maakte het onmogelijk te zeggen of het $180^o$ was of niet.
Het klopt dat in de eerste helft van deze eeuw uitvoerig over de grondslagen van de wiskunde gedebatteerd is. (Al te relevant voor ons onderwerp is dat niet, de kritiek van De Bruijn richt zich voornamelijk tegen de negentiende eeuwse wiskunde.) Inmiddels is er echter nauwelijks een wiskundige die zich nog druk om maakt om de grondslagen (behalve degenen die niets anders doen). De vraag is wat de consequenties zijn van de resultaten van het grondslagenonderzoek (zoals Gödels stelling) voor de "gewone" wiskunde.
Maar laat mij eerst iets over de grondslagen zelf zeggen. Dat het grootste probleem in het gebruik van het oneindige ligt, is juist. Dat het oneindige in de materiële werkelijkheid niet bestaat, wordt ook door niemand bestreden. Het niet bestaan wordt door David Hilbert expliciet geformuleerd, in zijn zeer leesbare artikel "Über das Unendliche", Math. Ann. 95 (1926), 161-190. Niettemin komt het oneindige in de wiskunde voor. Beschouw met Hilbert een eenvoudige formule als $$ 1 + 2^2 + 3^2 + \cdots +n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $$ Het is eenvoudig deze te controleren voor $n = 1$, $n = 2$, en ook wel voor $n = 37$. Maar de formule geldt voor oneindig veel waarden van $n$, d.w.z. er is geen grootste $n$ aan te geven waarvoor zij geldt. Het is dus noodzakelijk het oneindige toe te laten in wiskundige redeneringen.
Het gebruik van het oneindige moet door axioma’s geregeld worden. Het bekendste systeem is ZF, waarover meer in het volgende hoofdstukje.
Het enige problematische axioma is het keuze-axioma, maar daar rept Han niet over
In een recent Duits leerboek (Königsberger, Analysis I) wordt een funktie gedefinieerd als een voorschrift dat aan ieder element op eenduidige wijze een element toevoegt. Dit is meer een uitleg dan een definitie, wat is nu weer een voorschrift? Van hetzelfde kaliber: een funktie als "black box": je stopt er een argument in en er komt een waarde uit. Deze opvatting is een logisch gevolg van de historische ontwikkeling. Ondanks al zijn retoriek geeft Han nergens aan wat de fatale gevolgen zijn van dit funktiebegrip.
Uit de mechanica ofwel het begin van differentiaal- en integraalrekening komt het idee dat een variabele afhangt van een andere (waarvoor meestal de tijd genomen wordt). Dat is nog steeds de basis van ons funktiebegrip (zoals het ook in 1.8, vierkante bellen gebruikt wordt). In de achttiende eeuw werd algemeen aangenomen dat je een funktie door een (analytische) formule kunt geven. De oplossingen van partiële differentiaalvergelijkingen waren echter vaak ‘willekeurige’ funkties. Of denk aan het probleem van de trillende snaar (zie ook F. Smithies, the background to Cauchy’s definition of the integral, in: From A to Z, Math. Centre Tracts 149), kan iedere functie ontwikkeld worden in een trigonometrische reeks, zoals Daniel Bernoulli beweerde, maar Euler niet geloofde? Dirichlets oplossing is een heel algemeen funktiebegrip, hij geeft het voorbeeld: $$ f(x) = \left\{ \begin{array}{llll} 1 &\mbox{als}& x & \mbox{rationaal} \\ 0 &\mbox{als}& x & \mbox{irrationaal} \end{array}\right. $$ Er is niemand die beweert dat dit een nuttige funktie is (behalve als voorbeeld in veel situaties, in deze rol is Dirichlets funktie zelfs uitermate nuttig in Han’s boek), maar het is ondoenlijk een preciese omschrijving van de klasse van nuttige of zinvolle funkties te geven. Beter om algemeen te blijven en voor bepaalde klassen van functies mooie eigenschappen aan te tonen.
Als Ackermans en Van Lint equivalentie relaties uitleggen als een generalisatie van gelijkheid, dan is dat terecht. Voordat je aan de hogere wiskunde begint weet je wat gelijkheid is, en equivalentierelatie is een begrip waar studenten ervaringsgewijs moeite mee hebben.
Leibniz heeft geprobeerd gelijkheid te definiëren, door te zeggen dat je steeds het ene door het andere mag vervangen. Mannoury geeft in zijn prachtige boekje Mathesis en Mystiek een voorbeeld dat twee maal twee niet vier is - Jantje op school die de tafel van twee op moet schrijven en $1 \times 2 = 1 \times 2$, $2 \times 2 = 2 \times 2$, enz., schrijft, maar de meester rekent het niet goed.
Strict formeel gesproken moet ieder gebruik van gelijkheid in een wiskundige theorie geregeld worden door de axioma’s. Ik beweer dat ZF dat voor de verzamelingenleer doet. Zelfs wiskunde studenten leren deze axioma’s i.h.a.. niet. Dat is niet erg, tenslotte is de precisie van de wiskunde altijd relatief. Belangrijk is alleen dat het in principe mogelijk is vanaf de axioma’s te beginnen, en dat die formaliseren want we al weten sinds de lagere school.
Een naieve interpretatie van $2 \times 2 = 4$ is dat je de uitkomst van een berekening hebt; je weet dat het resultaat van de bewerking $\times$ weer een getal is, en je kan aangeven welk getal dat is, nl. in dit geval $4$. Hier gebeurt hetzelfde als wanneer je algemeen een functie schrijft als $y = f(x)$.
Tot zover zijn er geen problemen. Nu kan je natuurlijk dieper gaan graven en allerlei dingen in twijfel trekken - wat is eigenlijk twee? Het uiteindelijke resultaat van zulke overwegingen moet echter in overeenstemming zijn met het dagelijkse gebruik. Aan deze eis voldoen Han’s conclusies niet. Hij wil het normale gelijkheidsbegrip afschaffen en eisen dat je altijd vermeldt in welk opzicht gelijkheid geldt. Hij is trouwens niet erg consequent hiermee, want op vele plaatsen in zijn boek gebruik hij het normale begrip. In essentie verschilt zijn oplossing echter niet van wat wiskundigen normaal doen: het equivalentie begrip wordt gebruikt als het nodig is het ‘opzicht’ expliciet te maken. Het voordeel van twee begrippen is echter dat gelijkheid, wat inderdaad als speciaal geval van equivalentie opgevat kan worden, beschikbaar blijft en overeenkomt met het naieve gelijkheidsbegrip, hoewel het formeel iets anders is, nl. precies dat wat door de axioma’s geregeld is.
- buurt ( p. 20 ). Ik neem aan dat hiermee het begrip omgeving bedoelt wordt. Ik snap niet hoe iemand die op Liegroepen afgestudeerd is en prat gaat op zijn moers taal zoiets kan schrijven (weliswaar spelt Han een beetje vreemd). Het gebruik van ‘manifold’ in het Nederlands komt vaak voor, maar ik blijf het verschrikkelijk vinden, en het is gewoon fout. De (gecorrigeerde) uitdrukking ‘topologie van een Liegroep op een vierdimensionale varieteit’ op p. 28 begrijp ik trouwens niet. Welke vierdimensionale groep wordt bedoeld? Ik dacht dat je toch op zijn minst de Lorentzgroep nodig had.
- p. 65 : gaat men uit van een eindige verzameling natuurlijke getallen, dan is het aantal even getallen hierin ongeveer de helft van het totaal. Kijk bijv. naar de verzameling priemgetallen kleiner dan een miljoen.
Later is vooral het oneindige de boosdoener. Ik citeer ( p. 81 ): Voorzover het aan de fysische werkelijkheid ligt, is een exacte wiskunde, die per definitie dan ook het oneindige bevat, in principe onnodig, en bovendien misleidend. Nu betwijfel ik ten zeerste of de fysische werkelijkheid een mening hierover heeft, en ik zie ook niet hoe daar achter te komen. De werkelijkheid is. Punt uit. En de werkelijkheid verandert niet, of ik nu wiskunde of een andere wetenschap bedrijf (behalve dat ik een deel van de werkelijkheid ben). Waar wiskunde een rol in speelt, is in de beschrijving van de werkelijkheid. Hier wil Han alleen als werkelijke elementen toelaten, wat als resultaat van een direkte meting voorkomt. Waarom deze beperking?
Een wiskunde die zich niet stoort aan deze ideologische voorschriften heet onwerkelijk. Maar waarom is de huidige wiskunde zo onwerkelijk?
Volgens Han is de situatie rampzalig. Maar wat zijn nu de rampen die dreigen? Wiskundige uitgangspunten zouden zich als fysische entiteiten kunnen manifesteren. Maar dat kan toch alleen in het kader van een natuurkundige theorie, maar niet in de praktijk: hoe kan iets onwerkelijks werkelijk worden? De ervaring is eerder dat wetenschappelijke theorieën misleidend zijn door te weinig in plaats van te veel wiskunde.
Pas door reflectie over de werkelijkheid wordt de vraag zinvol: we praten hier over ons beeld van de werkelijkheid. En daarmee zijn we terug bij de filosofie van het mathematische model.
Hoe staat het nu met de vaste verhouding? Wel, die is er, en dat is $\pi$. De vraag of dit getal $3,1428$ is (zoals de gepensioneerde Ottomar Zimmermann beweert, die regelmatig stencils uitdeelt in de hal van het wiskundegebouw in Hamburg) of niet, doet er niet toe: alle cirkels zijn gelijkvormig, en dit is evident - tenminste in de Euclidische meetkunde. Dat er andere meetkundes zijn, en dat de relativiteitstheorie leert dat de wereld niet euclidisch is, komt niet overeen met de dagelijkse waarneming van de werkelijkheid.
Han ontzegt irrationale getallen een eigen identiteit. Maar hierbij staart hij zich blind op de decimale of binaire representatie van getallen. Bovendien is hij niet consequent; als we werkelijk meten als criterium nemen, en dus slechts een paar posities achter de komma, dan kunnen we ook geen verschil tussen de rationale getallen $1/3$, $0,333333333$ en $0,3333$ maken. Sommige breuken hebben een repetente breuk. Op dezelfde manier kan je quadratische irrationaliteiten met een repetente kettingbreuk beschrijven. Algemener hebben algebraische getallen een eindige identiteit in de zin die Han beschrijft door middel van hun minimaalpolynoom.
In dit verband beweert stookt Han weer tegen Cantor, en zegt dat er meer rationale dan irrationale getallen zijn - maar dat volgt helemaal niet uit wat hij opschrijft.
Bekend is Kroneckers opvatting: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Uitgaande van de natuurlijke getallen kan je verschillende kanten op. Hier wil ik voornamelijk eindige lichamen noemen, die in een algorithme als FFT (fast Fourier transform) een belangrijke rol spelen. Maar goed, de klassieke, door Newton en Leibniz geschapen analyse gebruikt de reele en complexe getallen. Deze kunnen we representeren op de getallenlijn, resp. met het complexe vlak. Een constructie vergt moeilijke processen, zoals Dedekind-sneden, maar voor de analyse is het voldoende $\mathbb{R}$ te karakteriseren als volledig, archimedisch geordend lichaam.
Ook doemt de vraag op of hier niet slechts sprake is van oude wijn in nieuwe zakken. Op het eerste gezicht is er sprake van een halfslachtige doorvoering van de ideeën, op zo’n manier dat de hele klassieke analyse binnengehaald wordt. Dit gebeurt bijv. door het idee van een klassieke limiet, waarschijnlijk vergelijkbaar met de manier waarop de quantummechanica op de klassieke mechanica voortbouwt. Er is op dit gebied echter een fundamenteel verschil tussen wiskunde en natuurkunde. De geschiedenis van de wiskunde (de analyse is een goed voorbeeld) toont dat daar een nieuwe theorie in de plaats komt van de vorige, die vergeten en verdrongen wordt, of op zijn best opnieuw geinterpreteerd. Sommige uitweidingen, zoals de passage over het redden van de $\delta$-funktie, een favoriete hobby van fysici, wekken de indruk als Han’s analyse beter zou zijn dan de klassieke. Dan moeten deze voordelen ook objectief aantoonbaar zijn. Een argument als dat de benadering dichterbij de werkelijkheid staat, is in dit verband niet van gewicht, en overigens sowieso dubieus.
Maar goed, je kan tenslotte allerlei wiskunde ontwikkelen. Basisidee schijnt te zijn dat alleen getallen toegelaten worden die het resultaat van metingen zijn, en daardoor met een zekere onzekerheid komen. In het vervolg zal ik deze meetgetallen noemen, en de verzameling van deze getallen $\mathbb{B}$. Deze getallen corresponderen met drijvende komma getallen in rekenmachines.
Er bestaan ook andere getallen, nl. de telgetallen, die met getallen van het type integer in machines corresponderen. Deze hebben de gewone eigenschappen, qua. deelbaarheid etc., en ze vormen de ring $\mathbb{Z}$ der gehele getallen. Voor het lichaam van de reele getallen hebben we een inbedding $\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$, maar $\mathbb{Z}\subset \mathbb{B}$ geldt niet: ik kan geen verschil maken tussen de floating point representatie van $10^{10^{10}}$ en $10^{10^{10}} + 1$.
Daarom geldt $\mathbb{Q}\subset \mathbb{B}$ zeker niet. Maar dat klopt want de meeste rationale getallen ‘bestaan in werkelijkheid’ net zo min als klassieke reele getallen. Ieder meetresultaat is vaag.
De constructie van $\mathbb{B}$ is mij niet geheel duidelijk. Als ik lees dat twee getallen $a$ en $b$ gelijk zijn als voor een willekeurig gegeven $\epsilon$ geldt $|a - b| < \epsilon$ (wat zijn $a$ en $b$ hier en wat is $\epsilon$ voor een wezen; ik kan me wel iets in termen van een meetlat voorstellen, maar graag een preciese definitie), betekent dit dan: voor alle $\epsilon$, of niet. In het eerste geval mag ik de meetintervallen steeds kleiner nemen, en komen we tot de klassieke definitie van reele getallen (via een Intervallschachtelung, zoals dat in het Duits heet). Ofwel, de getallen in $\mathbb{B}$ zijn zo niet actueel dan toch potentieel gelijk aan hun klassieke limiet. Maar dan is er in wezen geen verschil met de klassieke opvattingen van de numerieke wiskunde: oude wijn in nieuwe zakken, en de zaken worden alleen maar moeilijker.
Ik krijg echter de indruk dat iets anders bedoeld wordt. Laat ons kijken naar het bewijs van de transitiviteit van de gelijkheid in $\mathbb{B}$: als ik weet dat $a = b$ en $b = c$, geldt dan $a = c$. Dit is niet waar in de betekenis van: als ik geconstateerd heb dat $a = b$ en $b = c$, dan mag ik concluderen dat $a = c$. Het bewijs geeft de interpretatie: om te weten of $a = c$, mag ik gaan kijken of $a = b$ en $b = c$ waar zijn. Met een vaste $\epsilon$ kom ik in de problemen, want: $|a — c| < \epsilon$ als $|a — b| < \delta_1$; en $|b — c| < \delta_2$ kan verschillende uitkomsten geven afhankelijk van wat de $\delta_i$ zijn, bijv. in het ene geval $\delta_1 = \delta_2 = \epsilon/2$ en in het andere $\delta_1 = \epsilon/4$, $\delta_2 = 3\epsilon/4$. Wat je kennelijk wil is dat je iets precieser kunt kijken, maar ongeveer in dezelfde orde van grootte.
Het is bekend dat aftrekken van ongeveer even grote getallen tot grote numerieke instabiliteit voert. Beschouw nu de algebraische regel $a = (a + b) - b$, geldig bijv. voor telgetallen. Is deze regel ook geldig in $\mathbb{B}$ ? Neem $a = 1$, $b = 10^{10^{10}}$, dan lijkt mij $b = a + b$. Geldt associativiteit van de optelling? Zo ja, dan impliceren de regels op pag. 125 dat $a = (a + b) - b$.
Wat is nu een functie? Dat lijkt mij iets uiterst discontinus, nl. de pixels in een grafiek van een funktie. In het algemeen hebben we een variabele $y$ die van een andere veranderlijke $x$ afhangt, schrijf $y = f(x)$, en we kunnen $x$ en $y$ meten. Een algebraisch voorschrift voor $f$ zal niet bekend zijn. Een bekende procedure is om door een eindig aantal meetpunten via de kleinste kwadraten methode een rechte lijn te leggen. Hier is duidelijk sprake van een idealisatie.
Hoe in het volgende hoofdstuk een functie van een variabele plotseling verandert in eentje van twee variabelen, en nog afhankelijk van gemaakte keuzes, gaat mijn pet te boven.
Een aanzet tot een grondige analyse van het rekenen met drijvende kommagetallen kan gevonden Worden in Donald Knuths boek The Art of Computer Programming Vol. II.
Misschien is het ook wel typisch voor een natuurkundige dat er zo’n nadruk op de analyse ligt, met zijn convergentie problemen. Van iemand die niet van oneindige processen houdt zou je toch meer gebruik van zuiver algebraische operaties verwachten.
Maar echte besluitvorming vindt plaats in benoemingscommissies en in gevechten over vakgroepsindelingen en dergelijke. In Leiden is er bijvoorbeeld een scherpe scheiding tussen zuivere en toegepaste wiskunde (‘boven’ en ‘beneden’: eerste en tweede verdieping). Nu zijn dat alleen maar traditionele etiketten voor bepaalde vakgebieden; wat toegepaste wiskunde heet kan bar weinig met toepassingen op hebben. De juistere categorie is die van toepasbare wiskunde; via bijv. de coderingstheorie valt daar heel wat getaltheorie onder.
Het hoofdstuk over numerieke perikelen bevestigt al mijn vooroordelen over de numerici.
De vraag waarom sommige stukken doodgewone wiskunde niet doordringen in de toepassingsgebieden waar ze broodnodig zijn, kan gedeeltelijk met de geborneerdheid van sommige toegepaste wiskundigen worden verklaard. Uit principe vermijden ze abstrakties. Anderen koketteren juist met overdreven formalisme.
Wiskunde bevindt zich natuurlijk in een continue proces van verandering. De grootste vraag is wat de uitwerking van het gebruik van computers is. Een standpunt als ‘de vraag is niet of het numerieke schema de Laplace vergelijking oplost. De vraag is of het numerieke schema het fysische verschijnsel diffusie afdoende beschrijft, en of er een onderling verband is tussen de verschillende benaderingen om dit te doen, inklusief de analytische’ is terecht, maar tegelijkertijd pas mogelijk sinds het numerieke schema effektief berekend kan worden. Ik heb op school nog leren omgaan met een rekenlineaal, en het is verbazend te zien hoe studenten niet zonder hun zakrekenmachine kunnen, terwijl ik die apparaten niet kan of weet te betrekken bij het onderwijs. Zulke vertragingseffekten zijn er ook bij andere technische revoluties voor hun invloed op de theorievorming.
De wiskunde ontwikkelt zich nu eenmaal langzaam, er zijn niet zulke modegolven als in de theoretische natuurkunde (is de ruimte nog steeds 10-dimensionaal, waarvan 6 opgekruld?). Ik geloof niet dat veel mensen het bewijs uit kunnen leggen dat iedere semi-stabiele elliptische kromme, gedefinieerd over $\mathbb{Q}$, modulair is - bekend onder de naam vermoeden van Shimura-Taniyama-Weil, of een deelverzameling van deze namen in willekeurige volgorde - het probleem data Andrew Wiles opgelost heeft. Volgens eerder werk van anderen volgt daaruit Fermat.