Laat $\psi$ een funktie zijn. Dan is de bewerking $(d/dx)$ in $ d\psi/dx $
een voorbeeld van een (differentiaal)operator.
Maar ook vermenigvuldiging met een (andere) funktie, bijvoorbeeld $f$, is een
operator. Zoals $(f)$ in $f\psi$. We hebben de volgende voor de hand liggende
definities voor gelijkheid, sommen en produkten van operatoren $ \alpha, \beta $
(en straks ook) $\gamma$, toegepast op willekeurige funkties $\psi$ en $\phi$ :
$$ [\, \alpha = \beta \,] \; \equiv \; [\, \alpha\psi = \beta\psi \,] \quad ;
\quad ( \alpha + \beta ) \psi \; \equiv \; \alpha\psi + \beta\psi \quad ;
\quad ( \alpha \beta ) \psi \; \equiv \; \alpha ( \beta \psi ) $$
Een operator heet lineair indien voldaan is aan de volgende twee eisen.
Hierin is $\lambda$ een scalair.
$$ \alpha ( \psi + \phi ) = \alpha \psi + \alpha \phi \quad ; \quad
\alpha ( \lambda \psi ) = \lambda ( \alpha \psi ) $$
De tweede eis kan op klassieke wijze uit de eerste worden afgeleid
als $\lambda$ een rationaal getal is:
$$
\alpha(\left[\psi-\phi\right]+\phi)=\alpha(\psi-\phi)+\alpha\phi
\quad \Longrightarrow \quad \alpha(\psi-\phi)=\alpha\psi-\alpha\phi \\
\alpha(\psi-\psi)=\alpha\psi-\alpha\psi \quad \Longrightarrow \quad \alpha\,0 = 0 \\
\alpha(n.\psi)=\alpha(\psi+\psi+ ... +\psi)=\alpha\psi+\alpha\psi+ ... +\alpha\psi
\quad \Longrightarrow \quad \alpha(n.\psi)=n.\alpha\psi \\
\alpha(n.\psi/n) = n.\alpha(\psi/n) \quad \Longrightarrow \quad
\alpha(\frac{1}{n}\psi) = \frac{1}{n}\alpha\psi \\
\alpha(m/n.\psi)=m.\alpha(1/n.\psi)=m.1/n.\alpha\psi \quad \Longrightarrow \quad
\alpha(\frac{m}{n}\psi) = \frac{m}{n}\alpha\psi \\
\alpha(0-m/n.\psi) = \alpha\,0-\alpha(m/n.\psi) = 0-m/n.\alpha\psi
\quad \Longrightarrow \quad \alpha(-\frac{m}{n}\psi) = -\frac{m}{n}\alpha\psi
$$
We hebben echter in een ander hoofdstuk gezien
dat $(\lambda \in \mathbb{Q}) \;\Leftrightarrow\;(\lambda \in \mathbb{R})$ .
Dus dit is in ieder geval geldig voor alle reële scalairen.
Wij beperken ons in het vervolg tot lineaire operatoren.
Eenvoudig te bewijzen zijn de volgende Rekenregels:
$$ \alpha + \beta = \beta + \alpha \quad ; \quad
( \alpha + \beta ) + \gamma = \alpha + ( \beta + \gamma ) $$
$$ ( \alpha \beta ) \gamma = \alpha ( \beta \gamma ) \quad ; \quad
( \alpha + \beta ) \gamma = \alpha \gamma + \beta \gamma $$
$$ \gamma ( \alpha + \beta ) = \gamma \alpha + \gamma \beta \quad ; \quad
\alpha \lambda = \lambda \alpha $$
De rekenregels voor lineaire operatoren lijken sprekend op die van getallen.
Op één enkele uitzondering na. En dat is eigenlijk het enige wat men van het
rekenen met (lineaire) operatoren, in de praktijk, dient te onthouden.
De commutatieve wet is NIET geldig: $$ \alpha\beta \neq \beta\alpha $$
Men definieert daarom de commutator van twee operatoren als:
$$ \left[ \alpha , \beta \right] = \alpha \beta - \beta \alpha $$
Deze commutator is in het algemeen dus niet nul.
Verder definiëren we nog een inverse en een menigmaal samengestelde funktie:
$$ [\, \beta = \alpha^{-1} \,] \; \equiv \; [\, \alpha \beta = 1 \,] \quad ;
\quad \alpha^n \; \equiv \; \alpha ... \alpha \; \mbox{(n termen)} $$
De produktregel voor het differentiëren luidt:
$ (f.\psi)' = f'.\psi + f.\psi' $.
Ofwel:
$$ \frac{d}{dx} (f.\psi) = (\frac{df}{dx}) \psi + (f.\frac{d}{dx}) \psi $$
Vervolgens wordt de (immers willekeurige) funktie $\psi$ weggelaten. Op grond
van bovenstaande operator-definities moet dat kunnen. Men kan namelijk altijd
uitkomen op een uitdrukking van de vorm $ \alpha \psi = \beta \psi $. Hierin
$\psi$ laten staan biedt geen enkele extra informatie. Toch is uitgerekend dit
het tere punt: een losse $ d/dx $ "betekent toch niks". De klassieke wiskunde
heeft dus moeite met een daadwerkelijke abstraktie, zoals deze:
$$ \frac{d}{dx}f = \frac{df}{dx} + f.\frac{d}{dx} $$
Hieruit leidt men vervolgens af de (niet-commutatieve) wet voor het samenstellen
van een differentiaal- en een produkt-operator:
$$ \left[ \frac{d}{dx} , f \right]
= \frac{d}{dx} f - f \frac{d}{dx} = \frac{df}{dx} $$
Na deling door $f$ kan de eerdere formule ook worden geschreven als volgt:
$$ f^{-1} \frac{d}{dx} f = \frac{d}{dx} + \frac{f'}{f} $$
De breuk $ f'/f $ doet denken aan de afgeleide van $ \log(f) $. Stellen we nu
$ f'/f = g $ dan is $ \log(f) = \int g \ dx $, dus $ f = \exp(\int g\,dx) $
Vervangen we tenslotte de naam $g$ weer door de naam $f$, en verwisselen we nog
even linker- en rechterlid, dan staat er:
$${\Large \boxed{\frac{d}{dx} + f = e^{-\int f \ dx}\,
\frac{d}{dx}\, e^{+\int f \ dx }} }$$
Van de lezer wordt verwacht dat hij deze formule in zijn geheugen prent. Het is
namelijk een uitermate bruikbaar resultaat, zoals we nu meteen aan de hand van
een aantal voorbeelden zullen laten zien.