Het eerste wat zou moeten gebeuren als men wiskunde gaat toepassen in een andere discipline, dat is kritisch nagaan welke vooronderstellingen aan de betreffende mathematische theorie ten grondslag liggen. De wiskunde blijft werkelijk niet boven alle verdenking verheven zodra het gaat over toepassing op materiële zaken.
Puur mathematische uitgangspunten zouden bij toepassing per ongeluk wel eens kunnen veranderen in puur fysische uitgangspunten.
Wanneer men bijvoorbeeld een stuk Euclidische meetkunde van toepassing acht op de fysische theorie betreffende elementaire deeltjes, dan wordt onderhuids meegenomen de veronderstelling dat "punten" geen ruimtelijke uitgebreidheid bezitten. Wie garandeert mij dat, aan het eind van de lopende band, niet zal blijken dat dit aanleiding heeft gegeven tot konklusies die fysisch niet juist zijn? Stel dat de mathematische veronderstelling inderdaad niet heeft gedeugd, doch op een gecompliceerde manier heeft doorgewerkt in de rest van de theorie. Het gaat bovendien om een theorie die op zichzelf al gespeend is van iedere mogelijkheid tot korrektie onderweg, middels een kontrole "op fysisch gevoel". Men moet blindvaren op een korrekte wiskunde, inclusief verborgen parameters. Van de laatste mag dan toch wel worden verwacht dat ze niet alleen wiskundig, doch ook fysisch helemaal in orde zijn.
Wanneer een wiskundige meent dat zijn hele wereld te herleiden is tot een brok verzamelingenleer, dan kan men toch niet serieus menen dat zoiets zonder meer, per definitie, van toepassing is op ieder ander wetenschappelijk wereldbeeld? Is het niet ongelofelijk dat niemand zelfs maar de moeite heeft genomen om de axioma's van de verzamelingenleer te toetsen aan de fysische werkelijkheid? Ongelofelijk maar waar. Zo blind is ons vertrouwen in de wiskunde. Men ziet vervolgens dat deze verzamelingenleer, bijvoorbeeld vermomd als de topologie van een Lie groep, maar nog steeds kompleet met alle ongeverifieerde vooronderstellingen, doodgemoedereerd wordt binnengedragen in een toch al ondoorzichtig en allesbehalve uitgekristalliseerd vak als de elementaire deeltjes fysica. Is er dan niemand die de ramp al ziet aankomen? De keten is toch zo zwak als de zwakste schakel? Hoe kan men verwachten korrekte konklusies te verkrijgen uit ondeugdelijke premissen, alle wiskundig vernuft ten spijt?
Niet verdacht zijn op verborgen veronderstellingen die via de wiskunde het vak kunnen binnensluipen. Dat zou voor bepaalde vakgebieden wel eens vergelijkbaar kunnen zijn met het binnenhalen van het paard van Troje. Wat dat betreft wordt menigmaal niet zo zorgvuldig te werk gegaan als ik grond van de kwalifikatie "wetenschappelijk" zou mogen aannemen. Met name in theoretische publikaties slaat men gemakshalve de inductieve fase maar over. Het kritisch bekijken en systematisch interpreteren van aanschouwelijk materiaal lijkt soms geheel tot het verleden te behoren. We hebben immers zo geweldig veel wiskunde tot onze beschikking. Ja, er is altijd wel een geprefabriceerd axiomastelsel te vinden met voldoende parameters, zodat er althans nog iets van lijkt te kloppen.
Overigens is het inderdaad merkwaardig dat mathematische theorieën altijd zo
letterlijk op de natuur van toepassing lijken. En dit ondanks het feit dat het
hele vakgebied ontsproten zou zijn aan een pure "kreativiteit van de geest".
Geen wonder dat de meest fantastische bespiegelingen de ronde doen. De wereld
zou zich gedragen "als een groot schaakspel, dat gespeeld wordt door de goden"
(The Feynman
Lectures on Physics:
"like a great chess game being played by the gods").
Dat de natuur "gehoorzaamt aan mathematische wetten" is een veel
gehoorde gemeenplaats. Een "bewijs" hiervan vindt men in de geschiedenis.
Niemand had immers ooit vermoed dat de leer der kegelsneden iets te maken had
met planeetbanen. Imaginaire getallen werden om zichzelf bedacht, maar konden
in de elektrotechniek konkreeet ten nutte worden gemaakt. De niet-Euclidische
meetkundes vonden een toepassing in Einstein's algemene relativiteitstheorie.
Groepentheorie een matrixrekening bleken van toepassing in de quantummechanika.
Bewijst dit alles nu werkelijk dat de natuur zich zonder meer zou storen aan
menselijke gedachtenspinsels? Ik ben zo vrij dat een irrationeel idee
te vinden, en ik wil een poging ondernemen om het omgekeerde te poneren:
Is het niet precies andersom? Toont de geschiedenis van het menselijk denken niet eerder aan dat er in de wiskunde een NATUURLIJKE en bovendien doelgerichte ontwikkeling is. De natuur gehoorzaamt niet aan wiskundige, doch de wiskunde gehoorzaamt aan natuurlijke wetten, natuurwetten namelijk die bepalen hoe een evolutie in zijn werk gaat.
Het feit dat de wiskunde zich, over het algemeen, organisch ontwikkelt is zeker bemoedigend. Het ontslaat ons echter nog niet van de verplichting om niettemin deze ontwikkeling kritisch gade te slaan. Het is volstrekt irrationeel te menen dat alles wat zich als wiskunde aandient zonder enige korrektie van toepassing is op processen die allesbehalve ideëel verlopen. Bovendien, wie zegt dat een gegeven ontwikkeling automatisch de "goede" kant uitgaat? Maken we ons dan niet schuldig aan de zoveelste metafysische veronderstelling? Dat het wel voor elkaar komt wanneer we de zaken ongekontroleerd op hun beloop laten. Jaja, waarom zou dat wél gelden voor de wiskunde, en niet voor andere dingen die de mensen doen.
Men heeft zich altijd verbaasd over de klaarblijkelijke toepasbaarheid van de wiskunde. Aan die toepasbaarheid ontleent de wiskunde trouwens grotendeels haar bestaansrecht, maar dat is een andere kwestie. Uit ons verhaal blijkt dat de toepasbaarheid van de wiskunde niet helemaal berust op toeval, op genialiteit, op goddelijke inspiratie, of welke metafysische reden men verder moge bedenken. De toepasbaarheid van de wiskunde, voorzover inderdaad aanwezig, komt voor een belangrijk deel hiervandaan dat nog al wat begrippen in de wiskunde de juiste idealisaties zijn van dingen in de materiële werkelijkheid. We hebben het nu over geëigende, goede idealisaties, die met enige zorg uit de werkelijkheid zijn gedestilleerd.
In het geval van de complexe getallen, om een voorbeeld te noemen, wordt zo'n zorgvuldige idealisatie (van de reële getallen namelijk) gevolgd door een generalisatie naar paren van reële getallen. Deze paren van getallen voldoen aan rekenregels die zo gekozen zijn dat zoveel mogelijk eigenschappen van de reële getallen ook voor de complexe getallen blijven opgaan. Het is alleszins verrassend dat zo'n veralgemenisering wederom van toepassing is op de praktijk, maar dit heeft absoluut niets te maken met een buitenaards mirakel. De werkelijke betekenis ervan is dat het een natuurlijke gang van zaken is om voort te borduren op een bepaald succesvol stramien. Ook in de biologie kan dit veelvuldig worden waargenomen. Het toepasbaar zijn van generalisaties is op deze manier op te vatten als een eigenschap van de wiskunde als levensvorm [Chardin]. Geen bovennatuurlijk wonder dus, maar wel degelijk een wonder: even wonderlijk namelijk als het leven op aarde zelf.
Echter, wiskunde is mensenwerk, en niets dan mensenwerk. Tegenover de goede en juiste idealisaties staan de slechte en onjuiste idealen, hersenspinsels welke onstaan zijn door onzorgvuldige observatie van de realiteit, gebrekkige en half afgemaakte afbeeldingen van materiële zaken. Of erger: ideëen die nergens op slaan, zaken die zomaar uit de lucht zijn gegrepen. Sommige daarvan hebben zich zelfs een vaste plaats binnen de wiskunde weten te verwerven. Dit zou een mogelijke verklaring kunnen zijn voor de geringe toepasbaarheid van sommige wiskundige disciplines. Enigzins vooruitlopend op het betoog willen we in dit verband alvast een vingerwijzing doen: naar de mathematische logika en de verzamelingenleer.
Uit doorgaans welingelichte bron (: dit is de plaats om Dik Groot te bedanken voor zijn bijdrage aan het boek) heb ik vernomen dat er een evolutieleer van de wetenschap bestaat die zegt dat Ideëen welke in strijd zijn met hun omgeving zullen uitsterven. Dit zal ik zeker niet willen ontkennen. Maar ik zou eraan willen toevoegen dat, indien wij niet bewust onze verantwoordelijkheid nemen, deze Ideëen misschien niet eerder uitsterven dan samen met ons, het mensenras dat ze tot leven wekte. Het is een kwestie van "Zien, of omkomen" [Chardin].