Om de bedoeling die achter deze opvatting steekt te illustreren, wordt in "Algebra en Analyse" [vanLint] gezegd: "dat iedere equivalentierelatie zoiets als een gelijkheid is, een gelijkheid in een zeker opzicht". Ogenschijnlijk is hier niets op aan te merken : equivalentie-relaties zijn blijkbaar bedoeld als generalisatie van het gelijkheids-begrip.
We gaan dus op zoek in de wiskundige litteratuur, waar ergens het begrip "gelijkheid" nader wordt gedefinieerd. Het gelijkteken $=$ is stellig het symbool dat in de wiskunde het meest van al wordt gebruikt. Het zou interessant zijn om het aantal gelijktekens in een wiskundige verhandeling eens te tellen! Het is dus uitermate belangrijk er een goed begrip van te hebben wat $a = b$ nu precies betekent.
En nu komt het vreemde: ons zoeken blijkt vruchteloos. Bijna niets hierover te vinden. En als er al een omschrijving wordt gegeven dan zijn het fraaie cirkel-definities, zoals: twee verzamelingen zijn gelijk wanneer ze beide dezelfde elementen hebben (: dit is het "axioma van uitgebreidheid"). Prachtig: wanneer zijn dan die elementen "hetzelfde" ?
Iets wat op een definitie lijkt, kwamen we voor het eerst tegen in de "Principia Mathematica" van Russell en Whitehead [Russell]. In het algemeen komt men trouwens terecht bij litteratuur over de mathematische logika, wanneer men iets over het gelijkheidsbegrip wil vinden, en wel speciaal bij de PredikatenLogika. In klassiek logische notatie luidt de definitie van Russell en Whitehead ten naaste bij als volgt: $$ ( a = b ) \Leftrightarrow ( \forall P : P(a) \Leftrightarrow P(b) ) $$ In gewoon Nederlands: $a$ is gelijk aan $b$, dan en dan alleen, als $a$ en $b$ elke eigenschap $P$ gemeen hebben [Tarski].
Akkoord: beschouw de beweringsvorm "$1 = 1$". Dan is de $1$ aan de linkerkant
van het gelijkteken ongelijk aan de $1$ aan de rechterkant van het gelijkteken.
Immers de eigenschap "aan de linkerkant van het gelijkteken staan" gaat niet op
voor de $1$ aan de rechterkant. We konkluderen tot een paradox: $1 \neq 1 $.
Een ons inziens juistere konklusie is dat de gelijkheid $=$ simpelweg niet goed
gedefinieerd is in een Logika boek als de Principia. Natuurlijk kan men meteen
tegenwerpen dat ik in bovenstaande redenering doelbewust een zelf-referentie,
en daarmee bij voorbaat een cirkelgang heb ingebouwd. Ik zal de laatste zijn
om te ontkennen dat hier inderdaad boos opzet in het spel was. Elke logicus van
enig formaat slaat mij dit wapen trouwens bij voorbaat uit handen
[Tarski].
Blijft overeind staan het argument dat de vereiste van "alle" eigenschappen een uitermate bedenkelijke konstruktie is. Een betere oplossing is ongetwijfeld om het begrip gelijkheid in plaats daarvan als grondbegrip te accepteren. Toch is de opvatting van Russell & Whitehead niet geheel en al onbruikbaar. Het enige probleem is immers de kwantifikatie met $\forall$ voor letterlijk "alle". Indien we wat bescheidener zijn, en dit "alle" beperken tot een zekere verzameling van eigenschappen, dat zijn ze dus niet "allemaal", dan komt de definitie er uit te zien als volgt: $$ ( a = b ) \Leftrightarrow ( \forall P \in I : P(a) \Leftrightarrow P(b) )$$ We beperken ons dus tot een (eindige) verzameling $I$ van eigenschappen, waarin volzinsfunkties $P(x)$ die tot tegenspraken aanleiding geven, zoals "x bevindt zich aan de linkerkant van het gelijkteken", eenvoudig niet voorkomen. Daarmee is het probleem, althans voorlopig, van de baan.
We hebben echter een ander probleem geschapen. Immers, voortaan kunnen twee dingen slechts gelijk verklaard worden op grond van eigenschappen die element zijn van een (eindige) verzameling $I$. Laten we deze verzameling noemen het opzicht van de gelijkheid in kwestie. Dingen kunnen dus voortaan alleen maar gelijk zijn "in een zeker opzicht $I$". Komen we nu terug op de uitspraak dat equivalentie-relaties een generalisatie zouden zijn van het "gewone" gelijkheidsbegrip, een gelijkheid namelijk in een zeker opzicht, dan bemerken we ogenblikkelijk dat er, alweer, iets niet in de haak lijkt.
Maar wat praten we nog? Wanneer de "gewone" gelijkheid gewoon niet behoorlijk gedefinieerd is, zoals we hierboven hebben gekonstateerd, dan valt er helemaal niets te generaliseren! Men hoeft bijgevolg alleen maar te ontkennen dat equivalentierelaties een "generalisatie" zijn van het gelijkheidsbegrip.
Een voorbeeld uit de groepentheorie moge verduidelijken dat het onderscheid
dat mathematen maken tussen gelijkheid en equivalentie, ofwel hun mechanisme
van "definitie door abstraktie" inderdaad een twijfelachtige status heeft.
Verschillende draaiingen, laten we zeggen om 45, 90, 180, 360 graden kunnen
worden samengenomen tot de klasse der algemene rotaties. Deze klasse gedraagt
zich ten opzichte van andere klassen van symmetrie elementen als één element.
Dit is een "definitie door abstraktie" welke voor de groepentheorie essentieel
is. Echter, zijn alle rotaties zelf niet reeds "gedefinieerd door abstraktie"?
Uitgevoerd in New York of in Eindhoven, uitgevoerd door mij of door iemand
anders. Wat is nu "abstrakter", het "element" of de "equivalentie klasse":
90 graden draaien in New York = 90 graden draaien in Eindhoven (: gelijk)
90 graden draaien = 360 graden draaien (: equivalentie klasse)
Equivalentierelaties kunnen wat ons betreft in het geheel niet onderscheiden worden van een "gewone" gelijkheid. Iedere gelijkheid is al bij voorbaat "in een zeker opzicht". Klassieke voorbeelden treft men aan in de meetkunde, waar men van oudsher kriteria kent voor voor het "congruent" en "gelijkvormig" zijn van driehoeken: $$ \bigtriangleup ABC \cong \bigtriangleup PQR \qquad ; \qquad \bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup PQR $$ Er is hoegenaamd niets op tegen om twee driehoeken gelijkvormig of congruent te blijven noemen. Het is echter waardevol te beseffen dat zulke driehoeken dan tevens in een zeker opzicht $I$ gewoon gelijk zijn.
De cirkel wordt gesloten door op te merken dat equivalentie-relaties gepaard gaan met een klasse-indeling, zoals gelijkheid gepaard ging met de elementen van een verzameling zelf. Er bestaat echter geen verschil meer tussen gelijk en equivalent, net zo min als er nog verschil bestaat tussen een partitie en een element. Het een brengt het ander onherroepelijk met zich mee. Hiermee is onze theorie rond. Bijvoorbeeld zijn twee verzamelingen inderdaad gelijk als ze dezelfde elementen hebben. Dat is echter geen axioma meer, maar een stelling.
Er bestaan in de wiskunde legio opvattingen die een intieme relatie hebben met het oneindigheidsbegrip. We hebben een tweetal van deze opvattingen hierboven trachten te ontzenuwen. Neem het klassieke begrip "element van een verzameling". Hiervan kunnen er a priori oneindig veel zijn, om reden dat zo'n element niet ergens deel van uitmaakt, en dus ook niet onderhevig is aan restrikties van het eerst moeten opdelen van een zaak. Het laatste verhindert een aktueel oneindig op effektieve wijze. Of neem het gelijkheidsbegrip in de klassieke betekenis. Het is gebleken dat, teneinde zo'n gelijkheid te realiseren, een verzameling van een oneindig aantal eigenschappen nodig is. Door eindigheid te forceren, worden gelijkheids-relaties automatisch identiek aan equivalentie-relaties.
Tot slot grijpen we nog even konkreet terug op het hoofdstuk "Materialisatie". Het eenvoudigst laat zich de terugweg van idealisatie beschrijven aan de hand van het gelijkheidsbegrip, tevens het belangrijkste geval trouwens. Wij hebben de klassieke diskrete gelijkheid gematerialiseerd tot een lijken op $\equiv$ in een opzicht $I$ van eindig veel eigenschappen. Deze aspektverzameling $I$ zal de klassieke kollektie van "alle" predikaten beter benaderen naarmate zij meer eigenschappen bevat. Wanneer het aantal predikaten in de aspektverzameling $I$ "naar oneindig gaat", dan krijgen we de klassieke diskrete gelijkheid weer (min of meer) terug. Wij noemen daarom het geval $|I| \rightarrow \infty$ een klassieke limiet.