Functiebegrip

Onder een "veranderlijk" of "variabel" punt op een rechte zal men een punt kunnen verstaan dat zich langs die rechte beweegt. Op ieder moment neemt het een bepaalde positie in en de beweging is bekend, wanneer men alle posities weet benevens de tijdstippen, waarop deze worden ingenomen. Doorgaans is het echter al voldoende te weten welke posities een punt kan innemen. Dan spelen "tijd" en "beweging" een ondergeschikte rol, alleen de verzameling der door het punt ingenomen posities is nog van belang.

Gemakshalve noemen de wiskundigen een dergelijke verzameling ook nog "variabel". Daarmee wordt van de in de omgangstaal gebruikelijke betekenis afgeweken. De oorspronkelijke bewegingsvoorstelling is op de achtergrond geschoven, het begrip is eenvoudiger geworden en heeft aan duidelijkheid gewonnen. Daar de punten op een rechte getallen kunnen representeren ligt de volgende definitie voor de hand:

Een variabele of veranderlijke is een verzameling van reële getallen.

Op grond van deze definitie wordt door het wiskundige spraakgebruik met een "veranderlijke" niet meer iets aangeduid, wat werkelijk verandert. Het boven omschreven wiskundige object is volkomen statisch en men moet zich voor een juiste begripsvorming van de door de bewegingsvoorstelling gewekte suggestie zien te bevrijden.

Nadat we ons met het begrip "variabele" voldoende vertrouwd hebben gemaakt, levert het begrijpen van de inhoud van het begrip "functie" weinig moeilijkheden op. De grondgedachte is, dat men op grond van een of ander voorschrift bij iedere waarde van een variabele $x$ een door die waarde bepaald getal aanwijst. Men kan bijvoorbeeld afspreken, dat bij iedere waarde van 2 een getal wordt aangewezen dat $5$ groter is. een dergelijk voorschrift doet uit de verzameling der waarden van $x$ een nieuwe verzameling ontstaan, die wederom een variabele is in de betekenis van no. 1.3. Deze nieuwe variabele kunnen we bijvoorbeeld $y$ noemen. [ voorbeelden overgeslagen ]

Het begrip functie bestaat uit de volgende drie delen.

1. Een variabele $x$, genoemd de onafhankelijke variabele.
2. Een variabele $y$, genoemd de afhankelijke variabele.
3. Een relatie $f$, de functierelatie, op grond waarvan bij iedere waarde van $x$ juist één waarde van $y$ behoort,
   met dien verstande, dat het voorschrift ook alle waarden van $y$ oplevert.

Men kan dit kort samenvatten door te zeggen:
Een functie bepaalt bij iedere waarde van een variabele $x$ één waarde van een variabele $y$.

Een afbeelding of "funktie" $F$ van een verzameling $A$ in een verzameling $B$ is een bepaalde deelverzameling van het Cartesische produkt $ F \subset A \times B $ dat wil zeggen een relatie tussen $A$ en $B$ met de eigenschap: $$ \forall_{\ a \in A}\ \exists!_{\ b \in B\ }[ \ (a,b) \in F \ ] $$ Bij iedere $a$ element van $A$ bestaat er precies één $b$ element van $B$, zodanig dat $(a,b)$ element is van $F$.

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$	$\dots$
$y$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$	$169$	$196$	$225$	$256$	$289$	$324$	$361$	$400$	$\dots$

En nu komt misschien het meest verbazingwekkende: deze tabel - ook al is ie oneindig - wordt in de theoretische wiskunde beschouwd als zijnde af, helemaal klaar, voltooid, finished. En dat is het dan. Met name een Paradox van Galilei is hiervan het gevolg.
Stellen we hier tegenover wat er werkelijk aan de hand is, vanuit de gedachtenwereld namelijk die kenmerkend is voor de praktische wiskunde, de informatica. We schrijven daartoe een klein programmaatje:

program effe;

procedure kwadraten;
var
  x,y : integer;
begin
  x := 0;
  while true do
  begin
    x := x + 1;
    y := x*x;
    Writeln(x:10,' | ',y:10);
  { Maak er een eind aan: }
    if y < 0 then Break;
  end;
end;

begin
  kwadraten;
end.

         1 |          1
         2 |          4
         3 |          9
         4 |         16
         5 |         25
         6 |         36
         7 |         49
         8 |         64
         9 |         81
.................................
     46339 | 2147302921
     46340 | 2147395600
     46341 | -2147479015

Nu we het hebben over een werkende processor, in mijn boekenkast staat van Tom Swan de Programmer's Guide to the 1802. Uit dit boekje de volgende kopie. Weliswaar in het engels, maar duidelijker kan het niet. Let op woorden als becomes, action, following.

Dit pijltje naar links komen we ook tegen in een hogere programmeertaal, Another Programming Language, APL. welke jammer genoeg aan een remmende voorsprong ten onder is gegaan. Men vindt in de Wikipedia onder de noemer Oneigenlijke functies (wel vreemd) de bewerking $\;\gets\;$ welke overeenkomt met Toekenning: Het linker argument is een variabele die de waarde krijgt van het rechter argument. We hebben eerder gesproken, in Paradoxen, over de verandering genaamd wordt $\;:=\;$ in een programmeertaal zoals Pascal. Dit drukt in wezen precies hetzelfde uit als de toekenning $\;\gets\;$ in APL.
In beschrijvingen van bijvoorbeeld de Turingmachine treffen we een pijltje naar rechts aan, wat dus de andere kant uitwijst: $\;\mapsto\;$. Dit komt eigenlijk beter overeen met onze beschrijving van het arbeidsproces met de formule $\,M-A-M\,$. Maar hiermee zijn we bezig het paard achter de wagen te spannen. Immers het pijltje naar rechts hebben al ontmoet in het hoofdstuk over De arbeid; denk aan een chemische reactie als $$ 2 H_2 + O_2 \ \rightarrow \ 2 H_2 O + 138\,kcal $$ Laten we dus voortaan de $\;-A-\;$ in $\,M-A-M\,$ vervangen door $\;\rightarrow\;$. Dan krijgen we voor het arbeidsproces, alle werking, iedere verandering, in zijn algemeenheid eenvoudig: $\;M\rightarrow M\;$.
Het $\;\rightarrow\;$ symbool is iets wat typisch is voor de informatica. Zulke pijltjes komen in de hele theoretische wiskunde niet voor, om de simpele reden dat men in de theoretische wiskunde het hele idee verandering stelselmatig buiten de deur probeert te houden. Zonder succes overigens. In tegenstelling tot wat in alle wiskunde boeken en op internet wordt gesuggereerd en "bewezen", zijn met name paradoxen van Zeno nooit echt opgelost. Lees op de Wikipedia vooral ook het gedeelte Gekwantificeerde oplossing onderaan de pagina. De pijl van Zeno vliegt nog steeds niet.
Wat voegt onze theorie dan toe? Precies dit: $\;\rightarrow\;$. Maar wat is dat dan? We zullen de zaak kortsluiten. De pijl $\;\rightarrow\;$ kan niet materieel zijn, want het materiële ligt al besloten in de twee uiteinden van het proces $\;M\rightarrow M\;$. Maar dan blijft er eigenlijk maar één andere mogelijkheid over. De pijl $\;\rightarrow\;$ moet aanduiding zijn van iets wat immaterieel is. We kunnen zeggen dat het "zuivere arbeid" is. Maar we kunnen ook beluiten om het beestje eindelijk bij de naam noemen. Want iets wat immaterieel, is, wat kan dat anders zijn dan iets .. geestelijks? Dit zou ons tot de volgende enigszins beschamende conclusie kunnen brengen.

De geest is alleen maar weg omdat wij als scientific community in onze theorieën daarvoor gekozen hebben.
Een geest en een ziel komen in onze materialistische opvattingen niet van pas en zijn dus weg geabstraheerd.