Paradoxen

Ook de mathematische logika kent haar grijze circuïts. Een hoogst merkwaardig werkje is "Laws of Form" ("Idee Wetten") van George Spencer Brown [Brown]. In dit boek wordt de logika equivalent verklaard met een rekenkunde van "ideëen". Voor de elementaire "idee" gebruikt Spencer Brown een geheimzinnig teken, dat ook de omslag van zijn boek siert: ${\Large \lceil}$.
Gemakkelijk is echter in te zien dat deze "idee" vervangen kan worden door een paar haakjes: een linker plus een rechter haakje. Formules in de zin van Spencer Brown bestaan dan uit (gepaarde) haakjes of uit niets (: de "leegte"). Bijvoorbeeld $\;(()(()()(())(()))\;$ is zo'n formule. De enige rekenregels in het systeem van Spencer Brown zijn: $$ (()) = \qquad ()() = () $$ Interessant is de meetkundige interpretatie hiervan: een blindemannetje dat "grenzen" van gebieden in het platte vlak oversteekt. Twee keer de grens over is geen grens over (: regel 1); en er is geen verschil waarneembaar tussen de binnenkant van het ene of van het andere gebied (: regel 2). De auteur laat vervolgens zien hoe de gehele klassieke propositielogika vanuit deze "idee wetten" kan worden opgebouwd.

Vele malen boeiender zijn Spencer Brown's vingerwijzingen naar een logika die in plaats hiervan dynamisch zou zijn. Echter, op dit punt aangekomen wordt de tekst buitengewoon duister. In feite houdt het op. In een privé korrespondentie via Internet (het wereldwijde electronische netwerk dat vele computers met elkaar verbindt) ben ik er in geslaagd ietsje meer duidelijkheid te krijgen, maar voor het overige valt de oogst tegen. Ik doel hier op zinnen in de logika die een referentie naar zichzelf bevatten, zoals: "De kapper in het dorp scheert uitsluitend degenen die zichzelf niet scheren". De vraag is: "Scheert deze kapper zichzelf?". Nee, want als hij zichzelf scheert dan hoort hij niet bij degenen die zichzelf niet scheren, dus scheert de kapper hem, en dat is hijzelf, niet. Ja, want als hij zichzelf niet scheert, dan scheert de kapper hem, en dat is hijzelf, wel. Welles, nietes, welles, nietes. Uitspraken als deze gaan als het ware op en neer, ze oscilleren tussen wel en niet.

Volgens de school van Spencer Brown (en ook volgens mijzelf) kan deze aard van paradoxen worden toegelicht aan de hand van een fysisch paradigma, namelijk de oscillator. Prototype van een dergelijke oscillator is de ouderwetse deurbel. Doordat de stroomkring gesloten is, wordt klepel naar de magneet toegetrokken. Daardoor wordt echter de stroomkring verbroken, waardoor de klepel terugveert. Daardoor wordt de stroomkring weer gesloten, waardoor de klepel weer naar de magneet (en naar de bel) wordt toegetrokken, enzovoort.

     plus + ___________
                      O kontakt
     :::------------=====-------------O
       | veer       ______           _
       |      spoel ////  |        /   \
       |            \\\\  |       |  o  | bel
       |____________////  |        \ _ /
                         min -

 Deurbel (plaatje afkomstig uit elektronische post)

Wat duidelijker, uit een natuurkundeboek zoals ze dat tegenwoordig niet meer maken. En uit een Prisma Technica pocket zoals ze die tegenwoordig ook niet meer maken.
Klik op de afbeeldingen om te kijken hoe het apparaat er in werkelijkheid uit zou kunnen zien.

Zodra de stroomkring gesloten is, wordt ze verbroken. Maar zodra ze verbroken is, wordt ze weer gesloten. Doordat het ja is, wordt het nee. Maar doordat het nee is, wordt het weer ja.
Dat een dergelijke paradox niettemin in de techniek kan bestaan, is te danken aan het feit dat ja en nee weliswaar gelden, maar niet tegelijkertijd. Ja en nee zijn niet gelijktijdig maar beurtelings waar. Verantwoordelijk voor het oplossen van de paradox is dus het fenomeen tijd. Tegenstrijdigheden worden opgelost in de tijd. Maar ook omgekeerd. Oscillatoren analoog aan de deurbel worden ingezet om tijd te meten, misschien kunnen we zelfs zeggen: om de tijd te definiëren. Het hart van een computer is de klok, een oscillator, zelf dus een toonbeeld van tegenstrijdigheid. Wie zei er ook alweer dat in een wiskundige machinerie geen paradoxen kunnen bestaan?

Typerend voor een programmeertaal als Basic (en ook Fortran, "C", niet Pascal) zijn programmaregels van de vorm:

      i=i+1

Ook hier staat eigenlijk een onmogelijkheid. Trekken we aan beide zijden van deze "gelijkheid" de waarde van $ i $ af, dan komt er iets te staan wat nog veel absurder aandoet:

0=1

Enig nadenken leert dat deze "paradoxen" in Basic van soortgelijke aard zijn als het trillen van een oscillator. Evenals bij de laaste, wordt de paradox van $i=i+1$ opgelost in de tijd. Dit wordt nog duidelijker indien we de programmaregel vervangen door een soortgelijke uitdrukking, met in plaats van een geheeltallige een logische variabele:

      BOOLE = NOT BOOLE

Basic programmeurs zullen dit allemaal kinderachtig vinden. Iedereen weet toch dat het "gelijkteken" in Basic of C niet statisch, maar dynamisch bedoeld is. Het duidt op een verandering, van $ i $ in een waarde die $ 1 $ meer is. Andere programmeertalen (Maple, Pascal) gebruiken hiervoor dan ook een enigzins ander symbool: $i := i+1$ , met daarin $ := $ uit te spreken als "wordt". Basic programmeurs vinden dit niet zo nodig. In feite huldigen zij hiermee een dynamische in plaats van een statische opvatting van gelijkheid. Sprak niet een oude Griekse wijsgeer (Heraclitus) reeds uit de woorden: "alles stroomt en niets blijft" ? ($\pi\alpha\nu\tau\alpha\;\rho\epsilon\iota\; \kappa\alpha\iota \; o\upsilon\delta\epsilon\nu\;\mu\epsilon\nu\epsilon\iota$).