Dat door Plato's idealistische opvattingen de wiskunde meer los is komen te staan van de praktijk, is niet zonder meer "logisch", maar wel begrijpelijk.
Niettemin kan men vaststellen dat deze scheiding, historisch bezien, groot nut heeft gehad. Men moet erkennen dat de wiskunde zonder een idealistische periode niet veel verder gekomen zou zijn. Het biedt werkelijk grote voordelen wanneer men in een tijd van primitieve praktische technieken niet van de realiteit behoeft uit te gaan. Een "wiskunde gebaseerd op de materiële werkelijkheid" zou ten tijde van de Grieken al helemaal niets voorgesteld hebben, eenvoudig omdat geen kennis van belang omtrent die materiële werkelijkheid voorhanden was. Dat men, bij gebrek aan behoorlijk ontwikkelde instrumentele technieken, uitgaat van de geestelijke aktiviteit van de mens is dus alleen maar zinvol.
Oorspronkelijk dachten de mensen materialistisch. Zij waren immers met handen en voeten aan de werkelijkheid gebonden. Wij noemen dit eerste stadium van het menselijk denken naief materialisme. Wetenschap en maatschappij zouden nooit tot hun huidige peil van ontwikkeling zijn uitgegroeid wanneer de mensen in dit naieve materialisme waren blijven steken. Het idealisme van Plato moet daarom ook gezien worden als een noodzakelijke fase in de ontwikkeling van het menselijk denken. Alleen dank zij de bevrijdende werking van een idealistische filosofie hebben met name de wiskunde en de natuurwetenschappen een zo grootse ontwikkeling kunnen doormaken. Om met de realiteit te leren leven is het soms nodig zich ervan te ontdoen. Dit is een ervaringsfeit van veel mensen, en het blijkt dus ook op te gaan in een wijder historisch perspektief.
Intussen leven we echter lang niet meer in een maatschappij als die van Plato. Dat wiskunde zich voornamelijk bezig houdt met ideale dingen, dat zal iemand die met het vak onbekend is dan ook enigzins merkwaardig in de oren klinken. Men kan de persoon in kwestie daarom geen gebrek aan intelligentie verwijten. Tegelijk met het vak brengt men immers een stuk idealistische filosofie over, en waarom zou van onze leerlingen mogen worden verwacht dat zij deze ideologie uit lang vervlogen tijden vanzelfsprekend en kritiekloos in zich opnemen? Het idealisme van de klassieke mathematicus is namelijk in onze tijd al lang geen vanzelfsprekende levenshouding meer. We hoeven maar om ons heen te kijken om in te zien dat mensen tegenwoordig zeer wel in staat zijn om wetenschap te bedrijven met andere middelen dan louter geestelijke. Wij zouden ons dus echt niet meer schuldig maken aan naief materialisme wanneer we aan de huidige materiële realiteit meer voorrang wensen te geven. Sterker nog, wij vinden dat de stoffelijke werkelijkheid zonder meer tot de aandachtsgebieden van de theoretische wiskunde behoort.
Er is altijd wel een weg te vinden om een dreigende diskrepantie tussen theorie en praktijk te voorkomen. Als er al veldwerkers waren die geneigd waren tot een kritische houding jegens de theorie, dan heeft dat zich in ieder geval nooit geuit in een aanpassing van hun mathematische gereedschap. Misschien heeft men zich niet de onwelwillendheid van de wiskundigen op de hals willen halen, had men schrik om in dat vakgebied echt in te grijpen, gunde men zich de tijd niet. Of misschien ook is iedere poging in die richting gewoon spaak gelopen. Hoe het ook zij, in ieder geval werd een ingenieuze uitweg bedacht die alle partijen kon bevredigen: het zogenaamde mathematische model. Enerzijds erkende men dat de wiskunde niet in staat was om de werkelijkheid afdoende te beschrijven. Anderzijds ontnam men haar niet het recht om, op de geheel eigen manier, een exakte wetenschap te zijn, en te blijven.
De filosofie van het mathematische model is DE manier bij uitstek om te ontkomen aan een mogelijk konflikt tussen de theoretische wiskunde en de praktische toepassing.
Uit ons enthousiaste verhaal over de "vierkante bellen" moge blijken dat deze bewering niet uitsluitend in negatieve zin is bedoeld. De feiten gebieden ons te benadrukken dat aan de filosofie van het mathematische model, uitgedrukt op zijn allerzachtst, heel wat positieve aspekten zitten.
Het belangrijkste positieve aspekt van de model-filosofie is werkelijkheidszin. Wanneer wetenschappers een denkkader bouwen dat zij als een mathematisch model betitelen, dan weten zij dat daarin de werkelijkheid slechts onvolledig en bij benadering is vervat. Dit staat in schrille tegenstelling met het geloof in absolute natuurwetten, dat met name nog opgeld doet in bepaalde delen van de fundamentele theoretische natuurkunde. Bescheidenheid siert de geleerde: al wat wij mathematisch kunnen beschrijven is slechts een Vorm, een "model", de naam zegt het reeds. Sporadisch komt men echter een andere opvatting tegen. Zoals het verhaal van iemand die beweerde dat hij een mathematisch model van de hersenen had ontwikkeld. Wanneer zo iemand naar mij toe was gekomen, dan had ik hem willen antwoorden: "zeker een model van jouw hersenen".
De filosofie van het mathematische model is een uitweg die mede bedoeld is om het eigenaardige idealistische karakter van de huidige wiskunde geen geweld aan te doen. Hier zit een positief en een negatief aspekt aan. Negatief in zoverre er louter sprake is van weglopen voor een probleem. Men laat de theoretische wiskunde zijn gang gaan, en neemt de resultaten kritiekloos over, alsof zoiets geen impact kan hebben op zijn vakgebied. Positief omdat er wel degelijk sprake is van een echte oplossing, van het dilemma namelijk dat de wiskunde een ideale wereld beschrijft, terwijl de wereld dat in werkelijkheid niet is, en toch moet er koste wat kost een brug geslagen worden.
In 1973, meer dan 20 jaar geleden nu, schreef ik met jeugdige overmoed een als afstudeerverslag bedoeld werkstuk, getiteld: "Grondslagen voor een Materialistische Wiskunde" [MatWsk]. Plaats was de toenmalige Technische Hogeschool Eindhoven (de tegenwoordige TUE), onderzoeksgroep der Theoretische Natuurkunde. Een program van aktie zoals dat werd aangekondigd in [MatWsk] moet worden bestempeld als hopeloos. Wat betreft een echte "materialistische wiskunde", dat zou een wiskunde zijn die geen ideale elementen toelaat, valt geen enkele eer te behalen. Zo'n wiskunde zou, met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid, neerkomen op het terugzetten van de klok. In alle gevallen die ik heb gezien, is gebleken dat pogingen om het proces van idealisatie te omzeilen neerkomen op een benadering die niet te onderscheiden is van naief materialisme.
Er is nog een ander argument. Een consequent "materialistische wiskunde" zou neerkomen op een standpunt wat zo mogelijk nog stringenter is dan dat van de intuïtionisten. Nu dient men voor de stroming van het intuïtionisme binnen de moderne wiskunde het nodige respekt op te brengen. Maar één ding kan men deze richting zeker niet nageven, dat is dat ze praktisch bruikbaar en handig zou wezen. Met name waar het de analyse betreft is dat zeker niet het geval. Dit is dus ook wat eventuele "grondslagen voor een materialistische wiskunde" aangaat een teken aan de wand. Er is een mathemaat - eerder een logicus - geweest die hier verstandige dingen over heeft gezegd, en die we nog uitgebreid aan het woord zullen laten: Gerhard Gentzen.
Op geen enkel moment in mijn loopbaan heb ik aanleiding gevonden om wat betreft de wiskunde anders te handelen dan op de gebruikelijke wijze: door het gericht toepassen van idealisatie, middels de filosofie van het mathematische model. Blijft als een paal boven water dat men aan de moderne mens dient uit te leggen welke de plaats is die aan het fenomeen "idealisatie" binnen de exakte wetenschappen dient te worden toegewezen. We hebben alvast het volgende vastgesteld. Feit is dat idealisatie "werkt". Maar het houdt ook gevaren in, en het verhaal daarover is veel minder wervend. Hopelijk is iedereen, na lezing van dit boek, oplettend genoeg om zich nog niet een keer door de schittering der volmaakte Ideëen op het verkeerde been te laten zetten.