Materialisatie

Complexe getallen en multi-dimensionale vectorruimten zouden waarschijnlijk nooit ontdekt zijn indien men was uitgegaan van de materiële werkelijkheid en anders niet. Het zou daarom bepaald te betreuren zijn wanneer in de toekomst verbeeldingskracht en fantasie binnen het vak wiskunde geen kans meer kregen, en wanneer men zich iedere keer zou moeten storen aan het direkt praktisch nut. Mijn kritiek op de idealistische denkwijze is dan ook niet bedoeld om haar het recht van spreken te ontzeggen. Het is echter wel degelijk mijn bedoeling om de idealistische denkwijze weer de plaats toe te kennen die haar toekomt. Het moet met name afgelopen zijn met de metafysische Idee dat alles wat een wiskundige verzint zonder meer "nuttig" is, in de zin van toepasbaar anders dan binnen de wiskunde zelf.

De toestand is enigzins vergelijkbaar met de verhouding tussen de klassieke mechanika en de quantummechanika. De quantummechanika kent het zogenaamde correspondentie-beginsel, dat is een verbinding richting klassieke mechanika die het mogelijk maakt dat de nieuwe theorie in voorkomende gevallen van de oude theorie resultaten kan "lenen". Dat kan niet zonder meer. Men heeft een soort van vertaalslag ontwikkeld waar het klassieke resultaat eerst doorheen moet. Zo'n correspondentie beginsel is verstandig. Het is tijdverspilling om alles wat gedaan is eerst weg te gooien, om daarna weer alles opnieuw te moeten opbouwen. Temeer omdat het nieuwe gebouw ongetwijfeld grote gelijkenis zal vertonen met het oude. Immers, ook de klassieke mechanika was, en is, bepaald niet gespeend van realiteitsgehalte. Verreweg de meeste praktische toepassingen komen trouwens nog altijd op rekening van de klassieke natuurkunde.

Ook wij willen niet het kind met het badwater weggooien. De klassieke wiskunde bevat, in idealistische verpakking, zeer veel aspekten die duidelijk afkomstig zijn uit de praktijk van het leven, dat wil zeggen: materiële elementen met een idealistisch jasje aan. Daarom zijn de klassieke theorieën een onmisbare voedingsbodem. Laat ons zien hoe we van deze bodem op efficiënte wijze ons voedsel kunnen betrekken. We denken daarbij aan een zelfde principe als in de quantum mechanika, een soort vertaalslag dus, vanuit de Ideale Wereld, richting materiële werkelijkheid. Ik wil er even vanaf zijn of het hier de materiële werkelijkheid zelf betreft of de allereerste Abstrakties ervan.

De eerste stap is wat wij zullen noemen: materialisatie. Dat is precies het tegenovergestelde van idealisatie. Dat wil zeggen: we gaan de klassieke theorie proberen te vertalen in termen van de praktijk. Wegens de abstraktheid van veel mathematische theorieën moet daarbij een grote voorzichtigheid in acht worden genomen. (Denk aan kind en badwater!) Anderzijds moet men ook weer niet al te benauwd zijn. Sommige stukken wiskunde zullen onder praktische kritiek gewoon bezwijken, en dat is omdat ze, in een toepassingsgerichte visie, toch al niet zoveel voorstelden.

Kort en goed: ontdoe de klassieke theorie van zijn idealistische bemonstering en probeer de materiële kern bloot te leggen. Wanneer het mogelijk is om op die manier vanuit de klassieke wiskunde weer met de beide benen op de grond te komen, dan is het natuurlijk ook mogelijk om de omgekeerde weg te bewandelen. Men hoeft slechts de door materialisatie verkregen praktische kern "terug" te idealiseren, om zo weer een stuk van de klassieke theorie terug te krijgen. En nu doet zich iets opmerkelijks voor. In veel gevallen zal men namelijk slechts een stuk, inderdaad, van de klassieke theorie terugkrijgen. Reeds in de titel van dit boek staat de stelling dat "de wiskunde zo onwerkelijk" is. Dit kunnen we nu nauwkeuriger formuleren. Doordat de kreativiteit van de menselijke geest, lees van de onafhankelijk wiskundige, aan het werk is geweest, daardoor is de wiskunde "verrijkt" met elementen die bij het proces van materialisatie spoorloos verdwijnen. Zulke zaken kunnen daarom niet terugvertaald worden naar dingen in de geïdealiseerde wereld. Dit soort idealen kan niet opnieuw tot leven worden gewekt.

Een program van aktie zou nu kunnen bestaan uit het volgende. Zou het mogelijk zijn om met behulp van bepaalde technieken de praktische onbruikbaarheid van sommige mathematische theorieën te bewijzen? Wat minder rigoureus: zou het mogelijk zijn om na te gaan welke stukken van een theorie niet erg toepasselijk zijn voor de praktijk? Wel, op grond van het bovenstaande denk ik dat het antwoord hierop bevestigend moet zijn. Immers, hoe zal het stuk van de theorie heten dat na materialisatie en terug idealiseren weer in de wiskunde is beland? Dat is dan toch het bruikbare stuk. Echter, alles wat buiten dit gedeelte valt moet, althans wat de materiële werkelijkheid aangaat, toch als zijnde onbruikbaar worden bestempeld? Laat het goed tot u doordringen:

Wij denken dat sommige stukken van de wiskunde voor eeuwig tot onbruikbaarheid zijn gedoemd, en wij geloven dat het zeer wel mogelijk is om er achter te komen welke stukken dat precies zijn.

De stukken namelijk die, in de betekenis van hierboven, helemaal geen werkbare representatie hebben in een terug-geïdealiseerde wiskunde.
Waarbij voorzichtigheidshalve weer moet worden opgemerkt dat de kaders van de huidige toegepaste wiskunde wel eens te eng zouden kunnen zijn. Ook kan het incidenteel gebeuren dat toepasselijke idealen niet als zodanig worden herkend, vanwege de omstandigheid dat onze technieken daartoe onvoldoende zijn ontwikkeld. We moeten deze bezorgdheid echter ook weer niet overdrijven: de Ideale Wereld blijft ook zonder technisch-wetenschappelijke toepassingen nog wel even voortbestaan. Het overleven van de sterkste Idealen wordt in een proces van evolutie beslecht, en zal zodoende nog wel de nodige tijd in beslag nemen. Nog afgezien van de vraag of de invloed van dit persoontje dusdanig is dat een en ander kan worden bewerkstelligd.

Toegepaste wiskunde, dat is een sleutelwoord. Het proces van materialisatie van een stuk ideale wiskunde is bepaald niet iets wat we zelf nog moeten bedenken. In de oude tijd al niet. De einduitkomst van een algebraische berekening is een serie afgeronde getallen, en de wetenschap die met zulke getallen omgaat heet de rekenkunde. Dat is nooit anders geweest. Zo ook wordt een konkrete weergave van meetkundige zaken al generaties lang aangetroffen in het werktuigbouwkundig tekenen, dat is op het tekenbord van een konstrukteur.

Echter, pas sinds de jaren 60 heeft de materiële tak van de wiskunde zich ontwikkeld tot een echt vakgebied. Dit is vrijwel uitsluitend te danken aan één faktor: de opkomst van de computer. Eerst dank zij de komst van digitale machines kon de wiskunde serieus gaan denken, eindelijk, aan de ontwikkeling van een praktijk. Men kan zelfs met enige overdrijving stellen dat pas in onze moderne tijd de wiskunde geworden is tot een echte wetenschap, voorzien namelijk van de geëigende experimentele middelen, precies zoals dat in de natuurkunde het geval is. De "experimentele" tak van de wiskunde staat heden ten dage bekend onder de naam Informatica of Toegepaste Wiskunde. Inmiddels wordt ons dus een handige term aangereikt om het gematerialiseerde deel, van een stuk ideale wiskunde, van een algemene aanduiding te voorzien. We noemen dat deel voortaan, ook al is het soms niet de gewoonte: "toegepast".

Het verst ontwikkeld is ongetwijfeld de toegepaste algebra. Reeds in de jaren 60 vond de toegepaste algebra een onnavolgbare, sindsdien dus vaak nagevolgde uitdrukking in FORmulaTRANslator, ofwel de programmeertaal Fortran. In één klap werden een groot aantal praktische problemen opgelost, zoals het rekenen met gehele (integer) en drijvende komma (floating point) representaties van getallen, het adresseren van abstrakte variabelen, het omzetten van formules (infix naar postfix). Provisorischer waren de voorzieningen die de struktuur van het programma als geheel bepalen: (conditionele) sprongen en herhalingen (loops). Toen ik voor het eerst machinetaal bestudeerde (de "1802" processor), viel het me op, of beter: viel het me tegen, hoe weinig de globale strukturen in de zogenaamde hogere programmeertalen feitelijk afweken van de primitieve machinetaal.
Maar dat was allemaal in 1995. Met de opkomst van OOP (Object Oriented Programming) is de situatie dramatisch veranderd. De huidige technologie, zoals toegepast in bijvoorbeeld mobiele telefoons, is ondenkbaar zonder de modernere manieren om software te ontwikkelen.

Inmiddels heeft ook de klassieke meetkunde zich gematerialiseerd in Informatica toepassingen die zeer ver ontwikkeld zijn: dat is het vakgebied van de Computer Grafiek (Computer Graphics). Ik ben dank zij mijn werk bij het Rekencentrum van de T.U. Delft in de gelegenheid geweest om uitgebreid kennis te nemen van veel vordering op dit gebied. In dit verband wordt volstaan met een enkel voorbeeld.
Klassiek, en eigenlijk al wat ouderwets, is het "clipping" probleem. Dit is het verschijnsel dat een lijn in de ideale meetkunde wel oneindig lang kan wezen, maar bij weergave op een blad papier of op een beeldscherm vanzelfsprekend moet vallen binnen de kaders van het medium in kwestie. "Afknippen" van meetkundige figuren op de rand blijkt nu een niet-triviaal probleem op te leveren waar in de oertijd van de ComputerGrafiek het nodige over te doen is geweest.
Problemen doen zich ook voor bij het weergeven van "rechte" lijnen op plotters waarvan de motor slechts in een beperkt aantal richtingen stappen kan nemen, of op beeldschermen, die nu eenmaal voorzien zijn van een eindig aantal "pixels" (beeld-elementen of "picture-elements").
Overigens heeft het vakgebied van de ComputerGrafiek zich ontwikkeld tot een wetenschap waarin een stevige consensus is bereikt, van een zodanig hoog niveau dat iemand als ik daar nauwelijks meer dan een incidentele bijdrage aan kan toevoegen.

In de moderne tijd vinden er honderden processen van "materialisatie" tegelijk plaats. Bijvoorbeeld ook als er een computerprogramma moet worden geschreven, aan de hand van een mathematisch model. Het vakgebied wat zich, wat de analyse betreft, met dergelijke materialisaties bezig houdt maakt eveneens integraal deel uit van de (Toegepaste) Wiskunde: het is de Numerieke Wiskunde, ook wel Toegepaste Analyse genoemd.
Wisten we niets wezenlijks bij te dragen aan de ComputerGrafiek, over de (veel oudere) Numerieke Wiskunde, en het verband met de klassieke analyse, komen we nog uitgebreid te spreken.