De waarde van de axiomatische methode voor de verdere ontwikkeling van het vak kan moeilijk worden overschat. Men moet zich echter goed realiseren dat axioma's in feite uitgevonden zijn omdat de Ideëenleer van Plato een aanschouwelijke voorstelling van zaken verbood. Met de axiomatisering van de meetkunde kreeg de wiskunde in wezen al het abstrakte karakter, waar we heden ten dage zo vertrouwd mee zijn. Nu we echter weten dat axioma-systemen oorspronkelijk zijn bedacht ter wille van een idealistische filosofie, past het een kritische kanttekening te plaatsen.
Een aanschouwelijke voorstelling van meetkundige zaken kan slechts op grond van een zeer bepaalde filosofische overtuiging als minderwaardig of misleidend worden aangemerkt.
Dat men bijvoorbeeld een lijn principieel niet zou kunnen tekenen, is alleen waar binnen het raamwerk van een Platonisch geöriënteerde, idealistische filosofie. Met de woorden van Isaac Newton (uit de "Principia" als ik me niet vergis): "Inderdaad is echter de meetkunde slechts een tak van de mechanika. Immers behoort de daad van het trekken van een rechte of van een cirkel tot de mechanika; op het trekken van die lijnen echter rust de meetkunde" [Isaac Newton Quotes].
Zoals gezegd kan de Euclidische meetkunde gelden als het prototype van een exakte mathematische theorie. Kenmerkend voor deze exaktheid zijn uitspraken als "door twee punten gaat één en slechts één rechte". Wij laten nu zien hoe deze idealisatie van de meetkunde andere wortels van het mathematische denken indringend heeft beinvloed. Ik denk hier met name aan de elementaire algebra.
Dat algebra en meetkunde hand in hand gingen, is een gegeven dat ons vanuit de oudste geschriften bekend is. Van een akker is inderdaad niet zozeer de vorm, dan wel de oppervlakte belangrijk. Immers deze is een maat voor de hoeveelheid graan die erop verbouwd kan worden. Berekeningen van oppervlakte en inhoud komen dus van oudsher veelvuldig voor. Een uitermate eigenaardig aspekt van praktische meetkundige berekeningen moeten we hier even nader belichten. Men kan namelijk de lengte van een gespannen koord of de oppervlakte van een stuk land nooit met volkomen precisie bepalen. Altijd en onvermijdelijk zit er in de uitkomsten een zekere onnauwkeurigheid, een "fout". En aan fouten kan men zich storen. Echter, onder andere uit de berekeningen der Babyloniërs blijkt zonneklaar dat men met deze "onvolmaaktheid" van de praktische meetkunde en de bijbehorende rekenkunde niet zo erg in zijn maag zat. Bijkomend feit is dat de algebra die heel vroeger werd bedreven, met name door de Babyloniërs, louter numeriek van opzet was. Het is duidelijk dat een dergelijke algebra geen aanleiding geeft tot andere dan rationale getalwaarden; men kan steeds volstaan met voldoend nauwkeurige afrondingen en benaderingen. In de tabellen der Babylonische rekenaars treft men dan ook niet anders aan, en niets wijst er op dat men ooit behoefte had aan meer exaktheid [BL].
Men heeft de intrinsieke onnauwkeurigheid van praktische meet- en rekenkunde aanvankelijk niet als een onvolkomenheid opgevat.
Inderdaad gaf, en geeft een zekere "speling" in de praktijk geen aanleiding tot onoverkomelijke moeilijkheden. Deze conclusie is belangrijk.
De onnauwkeurigheid die zo karakteristiek is voor de landmeetkunde, verdwijnt echter als bij toverslag zodra zij vertaald wordt in de Euclidische versie. Duidelijk is dat het geïdealiseerde karakter van de laatste hiervoor verantwoordelijk moet worden gesteld. Nu was bij de Grieken de meetkunde hoofdzaak. Zij reduceerden een algebraisch probleem liefst tot een meetkundig vraagstuk. Toen dan ook de exakte Euclidische meetkunde werd geboren, kon een idealisering van de bijbehorende algebra niet uitblijven. De lengte van een ideaal lijnstuk kan niet anders dan een exakt bepaald getal zijn. Het numerieke rekenen met zijn afrondings- en verwaarlozingspraktijken moest zodoende plaats maken voor een algebra die net zo "foutloos" was als haar zuster, de meetkunde.
Dat de Babyloniërs nooit gekomen zijn tot een exakte algebra, ligt aan hun geheel andere manier van werken. In tegenstelling tot de Grieken, was bij hun de algebra hoofdzaak. Hun meetkunde was een algebraische meetkunde. Meetkundige problemen werden ogenblikkelijk vertaald in, en ondergeschikt gemaakt aan een serie numerieke berekeningen. Zoals gezegd geeft het numerieke rekenen van nature geen aanleiding tot idealisaties, zodat de Babylonische wiskunde niet tot een zo verregaande graad van exaktheid kwam als de Griekse.
De algebra dankt haar huidige exakte karakter grotendeels aan de idealisatie die van de meetkunde is uitgegaan. Het numerieke rekenen zou op zich geen aanleiding hebben gegeven tot een dergelijke absolute nauwkeurigheid.
Toch liep de weg naar het Rijk der Ideëen niet langer over rozen. Het exakt maken van de rekenkunde heeft geleid tot problemen die tot op heden behoren tot de fundamenteelste van de gehele wiskunde. Ik hoef slechts te wijzen op het eeuwenoude dilemma van de irrationale getallen.
Laten we vooropstellen het volgende. De irrationale getallen zijn in eerste instantie afkomstig van lengteberekeningen uitgevoerd in een ideale meetkunde, men denke aan $\sqrt{2}$ en $\pi$. Plato zelf was er zich scherp van bewust dat juist daar alle narigheid vandaan kwam. In een praktische meetkunde treden geen onmeetbare getallen op, per definitie niet. Een getal als $\sqrt{2}$ wordt immers pas onmeetbaar wanneeer men uitgaat van een ideale gelijkbenig-rechthoekige driehoek, met zijden bestaande uit oneindig dunne lijnstukken. Bij een konkreet getekende driehoek is de verhouding tussen de schuine en de rechthoekszijde eenvoudig 1.4 of 1.4142 , dat hangt af van de nauwkeurigheid van de constructie. (N.B. Overal in het boek wordt de Engelse notatie aangehouden, met een decimale punt in plaats van een komma).
Moeilijkheden met irrationale getallen kunnen niet optreden in een primitieve praktische meetkunde. Zij zijn louter het gevolg van een idealistische opvatting van deze meetkunde en de onvermijdelijke doorwerking daarvan in de bijbehorende algebra.
Wie zou willen beweren dat deze problematiek uit de Griekse wiskunde in onze tijd niet meer speelt, hem/haar zou ik er op willen wijzen dat de moeilijkheden rond een exakte fundering van "oneigenlijke funkties" van geheel analoge aard zijn. Dat wij tegenwoordig gewend zijn geraakt aan het bestaan van "onmeetbare" getallen betekent nog niet dat zij geen enkel probleem meer vormen. Hun "nette" definitie vergt in het huidige mathematische bestel omzichtige en allesbehalve gemakkelijke limietprocedures, en gaat vergezeld van problematische kwesties als het aktuele of potentiële oneindigheidsbegrip. Wij komen hier in latere hoofdstukken uitgebreid op terug.
Misschien begint de lezer er nu iets van te begrijpen, wanneer ik stel dat de veelgeroemde exaktheid van de huidige theoretische wiskunde niet vanzelfsprekend is. Ik wil nog iets verder gaan en beweren dat een buitensporige precisie van de wiskunde tevens haar zwakke kant is, de Achilleshiel van het vak. Als gevolg hiervan zijn de exakte wetenschappen niet onkwetsbaar.