Zeker is in ieder geval dat de oer-wiskunde lang niet het abstrakte en exakte karakter droeg dat het huidige vakgebied kenmerkt. Ongetwijfeld had zij niet zozeer een theoretische, veeleer een louter praktische, eventueel religieuze betekenis. Een herder wil 's avonds weten of hij al zijn schapen nog bij elkaar heeft. De eerste meetkundigen waren "koordspanners" die stukken land afbakenden. Een Egyptische ambtenaar moest konkreet kunnen berekenen hoeveel bakstenen er nodig waren voor een oprit van "730 ellen lang en 55 ellen breed" [BL]. Dat algebra en meetkunde aanvankelijk allesbehalve abstrakt van opzet waren, blijkt ook uit de rekentafels die door de Babyloniërs werden gebruikt. Men had geen behoefte aan "exakte" waarden; benaderingen werden veelvuldig toegepast. Inderdaad kan men zich moeilijk indenken dat de wiskunde ontstaan zou zijn uit een pure "creativiteit van de menselijke geest" (: Brouwer) [LEJ]. De primitieve mens had wel wat anders aan zijn hoofd.
Wiskunde is niet ontsproten aan een "creatieve oer-intüitie", maar in eerste instantie voortgekomen uit praktische maatschappelijke behoeften en omstandigheden.
Eerst door toedoen van de Griekse beschaving, dus veel later, ging de "geest" van de mens een hoofdrol spelen in de verdere ontwikkeling van de wiskunde. De Griekse wiskunde onderscheidt zich dan ook wezenlijk van de "wiskunde der barbaren", waarin de praktijk primair was. We zien voor het eerst de zo karakteristieke opeenvolging van stelling en bewijs verschijnen in het werk van de Griekse wijsgeer Thales. Om de geschiedenis verder te kunnen volgen is enige kennis van de Griekse wijsbegeerte onontbeerlijk. Vooral de figuur van Plato treedt hierbij naar voren: de invloed van zijn "Akademie" op de ontwikkeling van de exakte wetenschappen is enorm geweest. Laten we daarom enige aandacht besteden aan deze wijsgeer, en zijn "Leer der Ideëen".
De Ideëenleer van Plato houdt ongeveer het volgende in. Plato gaat ervan uit dat alles wat de mens om hem heen waarneemt wezenlijk "onvolmaakt" is. Als hij een boom ziet, dan is dat nooit een volmaakte boom. De stam vertoont rare knobbels, er zijn takken afgebroken. Als hij in een landschap lijnen ontwaart, dan zijn dat nooit volmaakte lijnen. Kortom, de wereld is zeer onvolmaakt. En de mens kan daar geen vrede mee hebben, volgens Plato. Toch hebben alle bomen iets gemeen, hoe onvolmaakt ze ook zijn, namelijk datgene wat kenmerkend is voor een boom, het wezen van wat een boom is, het "bomige". Van het bestaan van dit "bomige" zijn we ons vaag bewust, we kunnen immers een boom herkennen en zeggen "Dat is een boom". Hoe is dat mogelijk? Wel, zegt Plato, onze geest herkent blijkbaar in al die gebrekkige bomen toch iets van "de Boom", ziet een afspiegeling van de volmaakte Boom in al die bomen. En zo is het met alle dingen op deze wereld: ze vormen slechts een onvolmaakte afspiegeling van Dingen die existeren in een Wereld waarin alles volmaakt is. Deze Ideale Wereld is de werkelijke wereld. De wereld waarin wij ons stoffelijk bestaan slijten is maar schijn, is slechts een "verschijnsel".
In "De Staat" ("Politeia") van Plato staat de beroemde gelijkenis van de grot, waarin de mensen de afschaduwingen zien van de Ideëen. Ik heb, dank zij mijn gymnasium achtergrond, zelf de gelegenheid gehad om deze passage in het oorspronkelijk Grieks te lezen, en wil u een enkel fragment niet onthouden. Echter meer weergegeven naar de inhoud dan naar de vorm, een vrije vertaling. Een vollediger bloemlezing is te vinden in [Plato].
Stel je voor: een onderaardse grot, met daarin een aantal mensen. Ze zijn vanaf hun prille jeugd in die grot opgesloten, geboeid aan handen en voeten, zodat ze niet van hun plaats kunnen komen. Ook zijn ze vastgeketend aan hun hals, zodat ze alleen recht voor zich uit kunnen kijken, en zich niet om kunnen draaien.
Achter hun rug, hoog en ver boven hen, brandt een vuur. Tussen het vuur en de gevangenen loopt in de hoogte een weg. Langs de hele weg staat een schutting, ongeveer zoals bij een poppenkast een wand staat tussen publiek en spelers, waarboven de poppen worden vertoond. Stel je nu voor dat er mensen achter die schutting lopen die allerlei voorwerpen omhoog houden, zodat ze er juist boven uit steken: beelden van mensen en andere wezens, gemaakt van steen en van hout en van allerlei ander materiaal. Sommigen van de mensen die de dingen dragen lopen te praten, anderen zwijgen.
Die mensen in de grot kunnen van elkaar en van zichzelf niets anders zien dan de schaduwen die door het vuur geworpen worden op de rotswand tegenover hen, en dit geldt ook voor de voorwerpen die boven de schutting voorbijgedragen worden. Ze zijn immers gedwongen om hun hele leven lang alleen die kant op te kijken. Als die mensen nu met elkaar kunnen praten, dan kunnen ze het over niets anders hebben dan de schaduwen die ze op de rotswand zien. Ze zullen erover praten als over de Werkelijkheid. Stel dat er in de grot ook een echo is, die terugkaatst van de rotswand wanneer een van voorbijgangers spreekt. Dan moeten die mensen toch wel denken dat het een voorbijtrekkende schaduw is die geluid maakt ?
Stel je nu eens voor wat de bevrijding uit die gevangenis van onwetendheid voor één van die mensen zou betekenen. Stel dat er één wordt losgemaakt en gedwongen wordt op te staan, zijn hoofd om te draaien, te lopen en tegen het licht op te kijken. Al die handelingen zouden hem pijn doen en hij zou door de schittering onmogelijk de dingen kunnen zien, waarvan hij zojuist nog de schaduwen goed kon onderscheiden. Hoe zou hij reageren, wanneer men hem zou vertellen dat alles wat hij tot nu toe heeft gezien allemaal grote onzin is, en dat hij nu dichter bij de werkelijkheid is gekomen; dat hij nu een juistere kijk heeft op de dingen, omdat zijn blik nu gericht is op echte voorwerpen ? Stel dat men hem bovendien elk voorwerp dat langskomt zou aanwijzen en hem zou dwingen om vragen erover te beantwoorden. Zou die mens dan niet met zijn mond vol tanden staan, en geloven dat de wereld van de schaduwen veel echter is dan wat men hem nu aanwijst ? Einde fragment.
Het doel van de wijsgeer is nu om de werkelijke wereld, dat is de Wereld der volmaakte Ideëen, en daarmee het wezen der dingen te leren kennen. Uiteraard kan hij dit niet bereiken door waarneming, want onze waarneming is gebrekkig, en ziet slechts een onvolmaakte wereld. Nee, we kunnen de werkelijkheid der Ideëen slechts aanschouwen met de ogen van de geest. Alleen met onze geest kunnen wij langzaam maar zeker doordringen tot het Wezen der Dingen.
Van welke middelen kan onze geest daarbij gebruik maken? Plato laat ook daar geen misverstand over bestaan: de Wiskunde, bedreven als een zuiver geestelijke bezigheid, en dus bevrijd van alle stoffelijke bijzaken, leent er zich bij uitstek voor om de pure Vormen in het Rijk der Ideëen te leren kennen. Alleen de abstrakte wiskunde immers is in staat om een definitie te geven van de volmaakt rechte lijn, de volmaakt ronde cirkel, de volmaakte kubus. Menig wetenschapper zal dit alles allerminst verwerpelijk in de oren klinken.