ABSTRAHEREN. Teneinde een graskant enigzins rechtlijnig af te steken, gebruikt men een koord dat strakgespannen wordt tussen twee paaltjes. Van het gebruikte koord is in dit praktijkgeval alleen de "rechtheid" en "langheid" interessant. Daarom lijkt het zinvol om deze twee eigenschappen van het koord te abstraheren. Dat wil zeggen, we trekken de eigenschappen "lang" en "recht" van het koord af, en brengen alleen deze twee in rekening. Dit "eruit lichten van hoofdzaken" kan als een positieve vorm van abstraheren worden opgevat.
Men kan ook abstraheren in negatieve zin, namelijk abstraheren van bijzaken. Zoals gezegd zijn van het koord alleen de eigenschappen "recht" en "lang" voor ons doel belangrijk. We gaan dus abstraheren, dat wil zeggen we gaan alle andere eigenschappen die het koord bezit "ervan af trekken" en vervolgens ... weggooien. Omdat we alleen rechtheid en langheid belangrijk wensen te vinden, verwaarlozen we kleur, dikte, gewicht van het koord. Door niet ter zake doende eigenschappen over het hoofd te zien, blijft er alleen datgene over wat aan het koord op dat moment voor ons doel wezenlijk is. Dit kan worden opgevat als een negatieve vorm van abstraheren.
Positieve en negatieve abstraktie komen in wezen op hetzelfde neer. In beide gevallen houdt men alleen zaken over waar het in de gegeven situatie om gaat. Een belangrijke karakteristiek van het abstraktieproces, zoals wij dat willen opvatten, is dat we werkelijk naar het ding zelf blijven kijken. We verliezen de materiële werkelijkheid geen moment uit het oog. Abstraheren vindt dan ook niet zozeer plaats met "de ogen van de geest" dan wel met de ogen van het lichaam. Welliswaar speelt een verstandelijke beoordeling van wat we zien hierbij een belangrijke rol. Het "zien" gebeurt immers voornamelijk in de hersenen, zo is gebleken uit onderzoek.
IDEALISEREN. Wanneer men de eigenschappen "lang" en "recht" eenmaal apart heeft genomen, dan is de verleiding groot om een stap verder te gaan. We nemen alleen de eigenschappen "lang" en "recht" in ons op. We gaan ons dus iets voorstellen wat louter recht en lang is: we denken ons louter de pure "vorm" van het koord. Omdat men de dikte van het koord niet "meeneemt", verdwijnt deze dikte bij de beeldvorming in de geest spoorloos. Een puur lange en rechte lijn is inderdaad alleen maar denkbeeldig, is een idee, de gezuiverde "afdruk" in onze geest van het ding. We spreken van idealisatie. Wanneer men verder gaat nadenken over het aldus gevormde idee "lijn", en ook andere lijnen in zijn beschouwingen betrekt, dat kan er een "abstrakte" theorie onstaan. Zo'n theorie noemen wij echter niet abstrakt, maar "ideaal" of "idealistisch".
En degene die van idealisaties of idealen uitgaat noemen wij een "idealist". Het standaardvoorbeeld van een idealistische theorie is, zoals eerder betoogd, de Euklidische meetkunde. Zij nog opgemerkt dat ik de termen "idealistisch" en "idealist" wens te gebruiken in een strikt zakelijke betekenis, zonder daarmee enig waarde-oordeel uit te spreken.
Wij willen voorts verdedigen dat een abstraktie in eerste instantie niet zo ver behoeft te gaan dat er van idealisatie sprake is. De schilder praat over lijnen in een landschap. De sportvisser zet een lijntje uit. De scheidsrechter fluit als de bal over de lijn gaat. Ongetwijfeld worden al deze lijnen gekenmerkt doordat ze lang, dun en recht zijn. Het blijkt echter dat de omgangstaal uiterst flexibel is in het hanteren van normen voor hoe lang, hoe dun en hoe recht een lijn precies behoort te zijn. Zeker heeft men hier met vormen van abstraktie te maken, maar ik geloof dat men moeilijk van idealisatie kan spreken. Zo is niet in te zien dat het begrip "lijn" abstrakter zou zijn dan het begrip "koe". Beide woorden hebben in het gewone spraakgebruik betrekking op konkrete dingen: "koe" slaat op iets wat je in de wei tegenkomt, "lijn" slaat op iets wat dun, recht en lang is. Wat is nu het wezenlijke verschil in het niveau van abstraktie? Of is het alleen maar omdat de wiskunde vaker over lijnen gaat dan over koeien?
Bij abstraktie ziet men de realiteit zoals die is onder ogen, maar men poogt in die realiteit hoofdzaken van bijzaken te onderscheiden. En alleen de hoofdzaken worden expliciet in rekening gebracht, terwijl de bijzaken worden verwaarloosd. Idealisatie gaat een wezenlijke stap verder. De geabstraheerde hoofdzaken nemen vervolgens een louter denkbeeldige Vorm aan. Men koncentreert zich niet langer op de stoffelijke werkelijkheid, maar op zekere ideëen in de gedachtenwereld. De gevormde begrippen krijgen daardoor een min of meer absoluut karakter. Zo is een ideale lijn oneindig lang, geheel zonder dikte en helemaal precies recht. En hoe vergaat het de bijzaken? Slecht, bijzonder slecht. Bijzaken worden door de idealist gezien als storend, als foutief. Ze kunnen eigenlijk helemaal niet worden getolereerd in zijn "modellen".
Maar als ik nu de stelling zou verdedigen dat in de gewone omgang tussen mensen in het geheel geen vormen van idealisme worden gepraktiseerd, dan is het heel gemakkelijk om mij daarop aan te vallen. Om te beginnen is er het argument dat je eerst ergens een idee van moet hebben, alvorens je dingen in de werkelijkheid naar dat idee kunt benoemen. Maar er is meer. Mensen zijn kennelijk in staat om zaken in te richten naar ideëen die ze in hun hoofd hebben; ze zijn in staat om de werkelijkheid overeenkomstig hun ideëen te veranderen!
Een uitvinding doen is een idee hebben van iets dat er nog niet is, om vervolgens de werkelijkheid naar die Vorm gebogen te krijgen. Ik zal het dus moeilijk krijgen als ik het denkbeeld zou willen handhaven, dat het krijgen van een idee per se vooraf gegaan wordt door het maken van een abstraktie. Een mogelijke opvatting is ook dat het idee "lijn" eerder een soort van mal is, een vorm waar zaken uit de werkelijkheid "in worden gelegd", een blauwdruk a priori waarmee de dingen om ons heen worden vergeleken, bijvoorbeeld om uit te maken of wij ze al dan niet "lijnen" zullen noemen.
Wat is primair? Het idee of de ervaring? Dat is de vraag waar het hier om gaat. Komen de ideëen, als geïdealiseerde abstrakties, uit de ervaring voort? Of komt de ervaring uit de ideëen voort, kunnen wij alleen maar ervaren dank zij onze ideëen? Is de wiskunde een ontdekking of een uitvinding? Zijn het Abstrakties van de werkelijkheid, of zijn het oorspronkelijke Ideëen die bepalend zijn voor ons (mathematisch) denken en doen?
Wanneer deze wijsgerige kontroverse, die teruggaat op een konflikt tussen de Griekse filosofen Plato en Aristoteles, op grond van filosofische argumenten kon worden beslecht, dan was dat zeker in de klassieke oudheid al gebeurd. Er moet dus naar andere argumenten worden gezocht, argumenten namelijk die alleen in de moderne tijd kunnen worden aangetroffen, en waar de wijsgeren uit de klassieke oudheid ten enen male nog niet over konden beschikken.
Ik wil het volgende hoofdstuk wijden aan de vraag of abstrakties en ideëen onlosmakelijk met elkaar verbonden zouden zijn, of er dus alleen maar ideale abstrakties kunnen bestaan. Goede voorbeelden van louter abstraktie worden ons wellicht niet aan de hand gedaan, zolang we ons uitsluitend inlaten met de aktiviteiten van mensen. De wiskunde lijkt ons daarentegen te laten zien dat abstrakties en idealen in het geheel niet van elkaar zijn los te koppelen.