vorige   overzicht   volgende

De analyse

In dit en het volgende hoofdstuk zal ik nader onderzoeken de verschillen tussen de actualistische interpretatie en de constructivistische interpretatie van de analyse. De analyse is de belangrijkste tak van de praktische wiskunde. In dit hoofdstuk zal ik in het bijzonder tegenover elkaar stellen de twee benaderingen tot de definitie van reële getallen en reële funkties. Verder zal ik, in het volgende hoofdstuk, een voorstel doen om de onderscheiden gezichtspunten mogelijk met elkaar te verzoenen.

Het begrip van een irrationaal getal kan, zoals bekend, ruwweg als volgt worden verkregen: Het interval van 0 tot 1 wordt verdeeld in twee stukken, ieder stuk weer in twee stukken, enzovoort; op deze wijze worden opdelingen verkregen die alsmaar fijner worden. Een reeks van zulke intervallen, waarin iedere term deel uitmaakt van de eraan voorafgaande term, heeft de neiging steeds meer samen te trekken tot een punt naarmate het proces wordt voortgezet. Dit is de plek waar de actualisten de sprong wagen in de klasse der voltooide oneindigheden, door te verklaren dat een oneindig lange reeks van deze soort een "reëel getal" is.

Deze interpretatie leidt tot een paar ongewone konsekwenties. Afgezien van de algemene betwistbaarheid van de actualistische interpretatie welke voortkomt uit de paradoxen, zouden die naar voren gebracht kunnen worden als aanvullende argumenten tegen deze zienswijze: Aan de ene kant kan op de gebruikelijke wijze bewezen worden dat deze reële getallen een onaftelbare verzameling vormen. Aan de andere kant is het echter zo dat alle stellingen, alle definities en alle bewijzen die ooit kunnen worden geformuleerd of uitgevoerd aftelbaar zijn; ze kunnen immers altijd worden gekenmerkt door eindig veel symbolen. Dit leidt tot de konklusie dat er reële getallen zijn die op geen enkele manier afzonderlijk gedefinieerd kunnen worden, dat er geldige stellingen zijn die niet uitgesproken kunnen worden en die niemand ooit zal kunnen bewijzen. Als er een beroep wordt gedaan op de relativiteits-stelling van Skolem, dan volgt verder dat de gehele conventionele analyse in al zijn geledingen geldig blijft wanneer zij wordt geïnterpreteerd in een zeker aftelbaar model.

Op dit punt zouden we best in de verleiding kunnen komen om te zeggen: Als 'het onaftelbare continuüm' er op deze manier in slaagt om ons begrip volkomen te boven te gaan, heeft het dan hoe dan ook nut om erover te spreken als iets wat "reëel" is ? Op het laatst zal ik laten zien hoe, in een beperkte betekenis, wij niettemin deze vraag bevestigend kunnen beantwoorden.

Allereerst zal worden onderzocht wat de constructivistische zienswijze te bieden heeft als vervanging voor het actualistische begrip van irrationale getallen.

De reeks van in stukken verdelen van intervallen kan begonnen worden als eerst. Het besef van de voltooide reeks van intervallen moet echter worden verworpen als zijnde zonder betekenis. Het oneindige dient tenslotte te worden beschouwd slechts als een mogelijkheid, als een uitdrukking voor de onbegrensdheid van het eindige. We kunnen daarom in alle redelijkheid zeggen: Het is mogelijk om deze opdeling alsmaar verder door te zetten. Echter, op deze manier wordt geen irrationaal getal verkregen; in iedere fase van de opdeling blijven we zitten met een kollektie van eventueel tamelijk naburige, doch rationale getallen. Het is in deze zin dat Leopold Kronecker volhield: 'er zijn helemaal geen irrationale getallen'. Zelfs een constructivist behoeft echter niet zo bekrompen van geest te zijn; er bestaan mogelijkheden om verder te gaan. Een irrationaal getal kan tenslotte beschouwd worden als zijnde gegeven wanneer er een regel beschikbaar is die toelaat dat de berekening van een reeks intervallen van genoemde soort willekeurig ver wordt voortgezet.

Een dergelijke regel kan gemakkelijk worden opgesteld, bijvoorbeeld voor $ \sqrt{2} $, in het algemeen voor $\sqrt[n]{m}$, maar ook voor trancendente getallen zoals $ \pi $ en $ e $ , in feite heel algemeen voor praktisch alle getallen die in de analyse nodig zijn als afzonderlijk gedefinieerde getallen; te weten in alle gevallen waarin het betreffende getal werkelijk kan worden berekend met iedere gewenste graad van nauwkeurigheid.

Teneinde trouw te blijven aan de constructivistische zienswijze echter, moeten de 'getallen' die op deze manier zijn gedefinieerd met zorg worden gehanteerd. Er moet aan de verleiding worden weerstaan om zo'n getal te beschouwen als een voltooide oneindig lange tweetallige breuk. Wat gegeven is in deze betekenis is niet echt het getal als geheel, maar slechts de regel om het steeds verder te verwezenlijken. De regel zelf is eindig en louter een geschikte voorstelling, in een bepaald zinsverband, van een oneindig lang getal, waarvan gezegd kan worden, nu meer dan ooit, dat het in werkelijkheid niet echt bestaat.

In zijn artikel getiteld 'Das Kontinuum' heeft Weyl getracht een analyse op te bouwen op basis van dit soort van getalbegrip. (In zijn artikel heeft Weyl niet volledig uitgebuit al wat volgt uit de constructivistische houding tegenover de natuurlijke getallenreeks, maar dit werd later door hem verbeterd.) Een van de moeilijkheden die rijzen in verband hiermee is te beslissen wat voor technieken toegestaan zouden moeten worden in de berekening en daarmee de definitie van getallen. Aanvankelijk legde Weyl een zekere beperking aan zijn technieken op; gewoonlijk echter wordt door intuïtionisten zo'n beperking helemaal vermeden, een gezichtspunt wat niet geheel en al onterecht is, want een algemeen geldige beperking roept fundamentele moeilijkheden op, analoog aan die welke bestaan voor beperkte axioma en afleiding systemen. Zulke beperkingen hebben namelijk altijd een opening naar verdere uitbreidingen en hebben die ook altijd nodig. Dit stelt in feite geen ernstige tekortkoming voor; in gevallen van onmiddelijk praktisch belang is het volmaakt duidelijk hoe het begrip 'berekenbaarheid' wordt bedoeld.

Het was Alonzo Church [Church2] die zijn begrip van berekenbaarheid nader preciseerde. Onafhankelijk van Church, formuleerde Turing een equivalent begrip, en paste het in het bijzonder ook toe op de berekenbaarheid van reële getallen. De grotere nauwkeurigheid bestaat in de formulering van een omvattend begrip dat alle 'rekenprocedures' in zich verenigt. Dit maakt een onmogelijkheidsbewijs uitvoerbaar. Echter, zelfs op dit peil van nauwkeurigheid kan niet van iedere procedure die die onder dit begrip valt, worden uitgemaakt of het een 'reken' procedure is of niet.

Een uitbreiding van het constructivistische begrip van een reëel getal werd bedacht door Brouwer met zijn 'vrije keuze rijen'. Deze zijn de logische uitkomst van een poging om het begrip van een funktie van reële getallen in te voeren. In de actualistische wiskunde wordt dit begrip, zoals bekend, eenvoudig gedefinieerd als een relatie die aan ieder willekeurig reëel getal een ander reëel getal toevoegt als de funktiewaarde ervan. Het begrip van een voltooid oneindig is hier drievoudig in betrokken: ten eerste in twee reële getallen, ten tweede in het universele abstrakte 'toevoegen'. Dit begrip is daarom voor de constructivist van geen nut. Een van de wegen die voor hem open staat is een funktie te definiëren als een regel waardoor aan iedere regel die een reëel getal definieert een tweede regel die een ander reëel getal definieert wordt toegevoegd. Het is echter gemakkelijk in te zien dat de volgende minder strikte versie, die dichter bij het actualistische funktiebegrip staat, nog steeds volledig te verenigen is met constructivistische principes. In plaats van het begrip van een afzonderlijk reëel getal gegeven door een regel, wordt de werkwijze van het opdelen van intervallen wederom als uitgangspunt genomen, door een funktie nu juist te definiëren als een regel met de volgende eigenschappen. Als de rij van intervallen, van de hierboven beschreven soort, op een of andere manier gekozen is, dan voegt de funktie-regel aan een zeker beginsegment van deze rij een eerste interval toe van de 'funktiewaarde', en nadat de rij is is voortgezet tot op een zeker punt verderop, een tweede segment, enzovoort. De toegevoegde intervallen worden dus wederom zodanig ontworpen dat zij een 'nest van intervallen' vormen. - In het kort: In elk van de gevallen moet de funktiewaarde door de funktieregel te berekenen zijn tot op een gewenst eindig aantal begindecimalen, uitgaande van een voldoende groot aantal begindecimalen van de waarde van het argument.

Dat dit funktiebegrip nog steeds aanzienlijk nauwer is dat het actualistische kan reeds worden afgelezen uit het feit dat een dergelijke 'funktie' altijd een continue funktie is. Brouwer bewijst bovendien de uniforme continuïteit van deze funkties, en terwijl hij dat doet maakt hij tamelijk uitgebreid gebruik , voor een constructivist, van 'transfiniete inductie'.

De argumentwaarden die in verband met dit funktiebegrip voorkomen zijn wat Brouwer noemt 'vrije keuze rijen', te weten: rijen van intervallen waarin opeenvolgende termen in elk geval vrijelijk kunnen worden gekozen - alleen onderworpen aan de beperking opgelegd door de fundamentele voorwaarden voor geneste intervallen.

Zelfs dit getalbegrip moet met voorzichtigheid worden behandeld; het heeft echt geen onafhankelijke betekenis, maar alleen een betekenis in een geëigend zinsverband. Tenslotte is het begrip van een voltooide oneindige rij nog steeds geheel en al zonder betekenis; vrije keuze rijen kunnen dus alleen gebruikt worden in zinsverbanden waarin het gaat om een eindig beginsegment ervan, of ten hoogste de mogelijkheid van een willekeurige uitbreiding ervan. Dit is zeker zo in het geval van de opgegeven definitie van een funktie.

Door middel van het funktiebegrip van Brouwer kunnen nu zonder moeilijkheden constructivistische definities gegeven worden voor de meest frequent gebruikte funkties in de analyse. De meeste ervan zijn tenslotte zo dat de funktiewaarden ervan des te nauwkeuriger berekend kunnen worden naarmate de argumentwaarde steeds verder wordt ingeperkt.

Aanzienlijke verschillen tussen de intuïtionistische en de klassieke analyse openbaren zich niettemin in de verdere ontwikkeling van de theorie, met name in verband met existentie stellingen, zoals reeds vermeld het vorige hoofdstuk. Constructivisten moeten tenslotte volhouden dat een rekenregel gespecificeerd wordt voor het getal waarvan beweerd wordt dat het bestaat; actualistische existentie bewijzen voldoen vaak niet aan deze eis.

Intuïtionistische analyse wordt dus veel ingewikkelder dan klassieke analyse. Dit moge reeds opgevallen zijn in verband met de definities van de fundamentele begrippen. Constructivisten vragen bijvoorbeeld om verschillende begrippen van reële getallen voor verschillend gebruik, terwijl een enkel eenvoudig begrip volstaat in de actualistische analyse.

Onderbreking

Gentzen vervolgt zijn betoog wederom met een voor ons doel niet zozeer ter zake doend pleidooi voor een constructivistisch consistentie bewijs van de klassieke analyse. Een bewijs dat overigens tot op de dag van vandaag niet geleverd is. We gaan verder met het derde artikel.