Laat ik eerst geven een onderverdeling van de wiskunde, in drie onderscheiden niveaus, overeenkomstig de mate waarin het begrip "oneindig" wordt gebruikt in de verschillende takken van de wiskunde.
Het eerste en laagste niveau wordt vertegenwoordigd door de elementaire getaltheorie, dat is: door de theorie der getallen voorzover zij geen gebruik maakt van technieken uit de analyse. Het oneindige komt hier voor in zijn simpelste vorm. Het gaat om een oneindige reeks van objekten, in dit geval de natuurlijke getallen. Verscheidene andere takken van de wiskunde zijn logisch gelijkwaardig met de elementaire getaltheorie, te weten alle theorieën die één-op-één in overeenstemming kunnen worden gebracht met de natuurlijke getallen, en die dan ook "aftelbaar" heten. Bijna de gehele algebra hoort hier thuis - de rationale getallen, de algebraische getallen, en ook de polynomen, waar tenslotte van kan worden bewezen dat ze aftelbaar zijn - verder de kombinatorische topologie, bijvoorbeeld en met name het deel van de topologie dat zich alleen bezig houdt met objekten waarvan de eigenschappen beschreven kunnen worden met behulp van eindig veel gegevens. Het welbekende vierkleuren probleem hoort hier thuis. Al deze theorieën zijn, logisch gesproken, volkomen gelijkwaardig. Het is dan ook voldoende om zich uitsluitend met elementaire getaltheorie bezig te houden; de stellingen en bewijzen in de overige theorieën kunnen worden opgevat als getaltheoretische stellingen en bewijzen, doordat er een verband is tussen de objekten van deze theorieën en de natuurlijke getallen. Met het vierkleuren probleem bijvoorbeeld komt inderdaad een equivalent getaltheoretisch probleem overeen, hoewel onze bijzondere belangstelling hiervoor natuurlijk enkel valt af te leiden uit de topologische formulering die zo aanspreekt.
Het tweede niveau van de wiskunde wordt vertegenwoordigd door de analyse. Voorzover betreft de toepassing van het oneindigheidsbegrip, is de wezenlijk nieuwe karakteristiek het feit dat nu zelfs de afzonderlijke objekten van de theorie op zichzelf weer oneindige verzamelingen kunnen zijn. De reële getallen, dat zijn de objekten van de analyse, worden tenslotte gedefinieerd als oneindige verzamelingen, in de regel als oneindige reeksen van rationale getallen. In dit verband maakt het geen verschil of de bijzondere definitie welke gekozen wordt gebruik maakt van geneste intervallen, Dedekindse sneden, of van een andere manier. De gehele theorie der complexe funkties behoort ook tot dit niveau; er wordt hier niets toegevoegd wat wezenlijk nieuw is.
Het derde niveau van toepassing van het oneindigheidsbegrip, tenslotte, komen we tegen in de algemene verzamelingenleer. Hier worden als objekten toegelaten niet alleen de natuurlijke getallen en andere grootheden die op eindige wijze te beschrijven zijn, zoals op het eerste niveau, of ook oneindige verzamelingen van deze, zoals op het tweede niveau, maar bovendien oneindige verzamelingen van oneindige verzamelingen en wederom verzamelingen van zulke verzamelingen, enzovoort, in de uiterste algemeenheid die maar te bevatten is.
De gegeven onderverdeling omvat elke tak van de wiskunde. Voorzover betreft de meetkunde, bijvoorbeeld, is het zo dat daarvanuit vandaag de dag niet langer bijzondere problemen naar voren komen in verband met het oneindigheidsbegrip. Lijkt het erop dat zulke problemen zich toch voordoen, dan behoren ze ofwel tot de natuurkunde of ze komen in een gelijkwaardige vorm voor in de analyse; de verschillende meetkundes kunnen tenslotte altijd geïnterpreteerd worden in termen van logisch gelijkwaardige modellen uit de analyse.
Er zijn in wezen twee fundamenteel verschillende interpretaties van de aard van het oneindige in de wiskunde, en ik zal nu verder gaan met deze te omschrijven. Ik zal ze noemen de 'actualistische' interpretatie en de 'constructivistische' interpretatie van het oneindige. De eerste is de interpretatie van de klassieke wiskunde zoals we die allemaal hebben geleerd aan de universiteit. Verscheidene wiskundigen hebben de constructivistische zienswijze overgenomen - hoewel niet altijd in even ruime mate - onder hen Kronecker, Poincare, Brouwer en Weyl. Deze namen alleen al geven aan dat we te maken hebben met een denkrichting die inderdaad serieus moet worden genomen. Ik zal proberen tot uitdrukking te brengen wat de essentie is van de constructivistische zienswijze vis-a-vis de actualistische interpretatie; in de korte tijd die ons ter beschikking staat kan dit slechts op onvolkomen wijze worden gedaan, in het bijzonder omdat men in gedachten moet houden dat de actualistische interpretatie, louter en aleen omdat we daar zo mee vertrouwd zijn, een tweede natuur van ons geworden is en het is niet gemakkelijk om, al is het maar voor even, te wennen aan een nogal andere manier van denken.
Ik zal beginnen met de paradoxen van de verzamelingenleer. Hier hebben we een situatie waarin actualistische beschouwingen hebben geleid tot een ongerijmdheid die niet het gevolg had kunnen zijn van de constructivistische interpretatie van de materie. Want op basis van het heel algemene begrip van een verzameling, zoals eerder aangeduid, is het ook mogelijk om bijvoorbeeld het begrip van de "verzameling van alle verzamelingen" te vormen; hetgeen een welgedefinieerde verzameling is. Toch komen hieruit tegenspraken voort, hetgeen alleszins te begrijpen is: De verzameling van alle verzamelingen moet tenslotte zichzelf bevatten als een element en in zekere zin - hetgeen gemakkelijk precies gemaakt kan worden - moet deze verzameling daarom groter zijn dan zichzelf, en het is duidelijk dat dit niet zo kan zijn. Bij nauwkeuriger onderzoek treedt vlot aan de dag hoe de ongerijmdheid zich voordoet: Strikt genomen moet de "verzameling van alle verzamelingen" niet zelf worden beschouwd als een soort verzameling; het is een daarop volgend maaksel, als het ware, en dat brengt voort een geheel nieuwe samenvoeging vanuit een gegeven totaliteit van verzamelingen. Dit is in feite de constructivistische kijk op de situatie: Nieuwe verzamelingen kunnen, in beginsel, slechts worden gevormd op constructieve wijze, een voor een, op grond van alreeds gevormde verzamelingen. Volgens de actualistische zienswijze, aan de andere kant, zijn alle verzamelingen bij voorbaat gedefinieerd door het abstrakte begrip verzameling en zijn daardoor reeds beschikbaar 'als zodanig', geheel onafhankelijk van de vraag hoe individuele verzamelingen daaruit kunnen worden geselekteerd door middel van bijzondere constructies. Het is deze visie welke aanleiding gaf tot de paradox.
Als we zouden moeten proberen het wezen van de constructivistische zienswijze in een zo algemeen mogelijk beginsel uit te drukken, dan zouden we het ongeveer als volgt formuleren: 'Iets oneindigs moet nooit worden beschouwd als voltooid, maar slechts als iets in wording, iets wat op constructieve wijze steeds verder kan worden opgebouwd.' Ik herinner aan de welbekende uitspraak van Gauss dat 'het gebruik van een oneindige grootheid als iets voltooids nimmer kan worden toegestaan in de wiskunde'.
Als dit beginsel van het interpreteren van het oneindige in constructieve zin aanvaard wordt, dan openbaren verschillen vis-a-vis de actualistische opvatting van de klassieke wiskunde zich niet alleen in de verzamelingenleer, doch reeds in het bereik van de elementaire getaltheorie. Ik zal nu deze verschillen in meer detail ter sprake brengen. In de elementaire getaltheorie komen we het oneindige slechts tegen in zijn eenvoudigste vorm, te weten in de vorm van de oneindige reeks der natuurlijke getallen. Volgens de actualistische opvatting mogen we deze reeks beschouwen als een voltooide oneindige totaliteit, terwijl de constructivistische opvatting ons enkel toestaat te zeggen: We kunnen steeds verder voortgaan in de getallenreeks en altijd nieuwe getallen bijmaken, maar we moeten niet spreken over een voltooide totaliteit. Een uitspraak als 'alle natuurlijke getallen hebben de eigenschap $B$', bijvoorbeeld, heeft in elk van de gevallen een ietwat andere betekenis. Volgens de actualistische interpretatie wordt er gezegd: De eigenschap $B$ gaat op voor ieder getal dat op de een of andere manier afgezonderd wordt uit de voltooide totaliteit der getallen. Volgens de constructivistische opvatting kunnen we alleen zeggen: Ongeacht hoever we doorgaan met het vormen van nieuwe getallen, de eigenschap $B$ blijft geldig voor deze nieuwe getallen.
In de praktijk doet dit verschil in interpretatie hier echter niet ter zake. Een uitspraak over alle natuurlijke getallen wordt gewoonlijk bewezen door volledige inductie, en deze wijze van redeneren lijkt zeker ook in harmonie met de constructivistische opvatting; in het bijzonder omdat de volledige inductie uiteindelijk gegrond is op het idee van ons voortschrijden in de getallenreeks. De situatie ligt anders in het geval van existentiële uitspraken. De uitspraak 'er bestaat een natuurlijk getal met de eigenschap $B$' zegt, overeenkomstig de actualistische interpretatie: 'Ergens in de voltooide totaliteit van getallen komt zo'n getal voor'. Volgens de constructivistische interpretatie is zo'n bewering natuurlijk zinloos. Hetgeen niet betekent dat onder deze interpretatie existentiële uitspraken meteen moeten worden verworpen. Als een bepaald getal $n$, waarvoor de eigenschap $B$ opgaat, inderdaad ook nader kan worden bepaald, dan kunnen we zelfs onder deze interpretatie spreken van de existentie van zo'n getal; in werkelijkheid verwijst de existentiële uitspraak nu niet langer naar de oneindige totaliteit der getallen; het zou immers voldoende zijn om alleen te spreken over de getallen van $1$ tot $n$. De existentiebewijzen welke in de praktijk voorkomen zijn inderdaad meestal van dien aard dat een echt voorbeeld kan worden gegeven. Echter, er zijn ook bewijzen mogelijk waarbij dat niet het geval is, te weten indirekte existentie bewijzen: Er wordt aangenomen dat er geen getal bestaat waarvoor eigenschap $B$ geldt. Wanneer deze aanname leidt tot een tegenspraak, dan wordt beredeneerd dat een getal waarvoor eigenschap $B$ geldt uiteindelijk toch bestaat. Het kan dan gebeuren dat een effektieve procedure om metterdaad zo'n getal aan te maken helemaal niet voorhanden is. Vanuit het gezichtspunt van de constructivist moet een dergelijk bewijs om die reden worden verworpen. Een andere bewijstechniek welke op soortgelijke wijze onaanvaardbaar wordt vanuit dit gezichtspunt en welke gewoonlijk in hetzelfde verband wordt aangehaald is de toepassing van de 'wet van de uitgesloten derde' op uitspraken over oneindig veel objekten. Volgens de constructivistische interpretatie kunnen we bijvoorbeeld zelfs niet zeggen: Een eigenschap $B$ gaat wel op voor alle natuurlijke getallen of hij gaat niet op voor alle natuurlijke getallen. De verwerping van de wet van de uitgesloten derde lijkt bijzonder paradoxaal, op het eerste gezicht, maar is slechts een noodzakelijk gevolg van het beginsel dat het oneindige als mogelijk wordt opgevat. Uiteindelijk is deze wet gegrond op het idee van de voltooide getallenreeks. Dit moet niet zo worden opgevat alsof het betekent dat de constructivisten genoemde wet beschouwen als helemaal onwaar; vanuit hun gezichtspunt is het juister de wet te beschouwen als zijnde zonder betekenis. Het heeft dus hoe dan ook geen zin om zelfs maar te spreken over de totaliteit der getallen als iets wat voltooid is, precies omdat 'in werkelijkheid' de getallenreeks nooit voltooid is, het enige gegeven een onbepaald uitbreidbaar proces van voortschrijden is.
In de praktijk komen deze redeneervormen, welke niet toegestaan zijn volgens de constructivistische opvatting, nauwelijks voor in de elementaire getaltheorie. De situatie is anders in de analyse en de verzamelingleer. Hier zijn weliswaar de verschillen tussen de twee interpretaties in wezen hetzelfde als beschreven voor de natuurlijke getallen; ik zal ze daarom niet verder ter sprake brengen. Echter, in het geval van de analyse en de verzamelingenleer is de gewichtigheid van het verschil aanzienlijk groter, met als gevolg dat vanuit het gezichtspunt van de constructivist over uitgebreide gedeelten van de analyse en over bijna alles van de verzamelingenleer het onaanvaardbaar moet worden uitgesproken.
In dit verband moet de aandacht worden gevestigd op het feit dat in bepaalde grensgevallen niet ondubbelzinnig kan worden gedefinieerd hoe de scheidslijn loopt tussen wat constructief aanvaardbaar is en wat niet. Het is bovendien zo dat de opvattingen van de verschillende wiskundigen die het constructivistische gezichtspunt aanhangen niet identiek zijn. Ondanks dat zijn de verschillen niet belangrijk genoeg voor het beeld als geheel om meer gedetaileerde bespreking te rechtvaardigen. Woorden als 'intuïtionist' (Brouwer) en 'finitist' (Hilbert) duiden zulke enigzins verschillende constructivistische gezichtspunten aan.
Nu is de voornaamste vraag deze: Welke van de twee interpretaties is in feite de juiste? Beide worden verdedigd. Aan de ene kant hebben we de intuïtionisten, onder leiding van Brouwer, met de volledig radikale stelling dat alle wiskunde die onverenigbaar is met de constructivistische zienswijze verworpen dient te worden. Aan de andere kant is de meerderheid der wiskundigen begrijpelijkerwijs terughoudend om zulk een offer te brengen. De paradoxen, zo zeggen zij, mogen weliswaar gegrond zijn op de ontoelaatbare vorming van begrippen; maar zulke begrippen kunnen vermeden worden door een gepaste afbakening; de gehele analyse en a fortiori de getaltheorie, zo houden ze vol, is kompleet onaanvechtbaar. Ongelukkigerwijs kan de afbakening van de ontoelaatbare redeneervormen worden uitgevoerd op wezenlijk verschillende manieren zonder dat men noodzakelijkerwijs uitkomt op een bepaald gemeenschappelijk punt, en ik moet zeggen dat voor mij de helderste en meest consequente afbakening lijkt te zijn datgene wat voortvloeit uit het beginsel dat het oneindige constructief dient te worden geïnterpreteerd.
Niettemin moeten we terughoudend zijn om het veelomvattende niet-constructieve gedeelte van de analyse te verwerpen, een gedeelte dat, om maar wat te noemen, stellig de proef heeft doorstaan in een bonte verscheidenheid van natuurkundige toepassingen.