vorige   overzicht   volgende

Poging tot verzoening

Ik ben het volgende van mening. Stel dat eenmaal het consistentie bewijs van de analyse met goed gevolg is uitgevoerd. Dan zou er geen hinderpaal meer in de weg moeten staan om te komen tot een overeenkomst tussen de vertegenwoordigers van de verschillende stromingen - tussen de constructivisten of intuïtionisten aan de ene kant, en de aanhangers van Hilbert, alsmede de vertegenwoordigers van een zuiver actualistische interpretatie aan de andere kant - namelijk om de klassieke analyse in zijn bestaande vorm te behouden. Tegenwoordig echter is de toestand zodanig dat de radikale constructivisten het niet eens zijn met deze konklusie, en hier openbaart zich het feitelijke fundamentele meningsverschil tussen Brouwer en Hilbert. Dat wil zeggen, de intuïtionisten beschouwen alle wiskundige stellingen die gegrond zijn op de actualistische interpretatie van het oneindige als zinledig en alle vormen van redeneren die ermee gepaard gaan als de bestanddelen van een nutteloos spel met symbolen zonder betekenis.

In de voorgaande hoofdstukken heb ik verscheidene feiten vermeld die enige steun verlenen aan de laatste zienswijze. Aan de andere kant vormt de enorme rijkdom aan succesvolle toepassingen van de klassieke analyse in de fysica, om slechts een kant van de zaak te noemen die van het grootste belang is, een zwaarwegend argument tegen deze konklusie. In wat volgt zal ik proberen duidelijk te maken hoe iemand, zelfs terwijl hij de fundamentele thesis van het constructivisme onderschrijft, toch tot de konklusie kan komen dat de actualistische analyse dient te worden behouden en voortgezet.

Hilbert zelf heeft hier de weg gewezen, namelijk via de methode der ideale elementen.

Dat wil zeggen: beweringen die over het oneindige een uitspraak doen in de zin van de actualistische interpretatie worden beschouwd als 'ideale beweringen', als beweringen die helemaal niet echt betekenen wat de woorden die erin zitten voorgeven te betekenen, maar die van de grootste waarde kunnen zijn om een theorie af te ronden, de bewijzen ervan te vergemakkelijken, en de formulering van de resultaten meer recht toe recht aan te laten zijn. In de projectieve meetkunde bijvoorbeeld worden om dezelfde reden ideale punten ingevoerd, met het voordeel dat veel stellingen worden vereenvoudigd die anders zouden worden geplaagd door uitzonderingen. We moeten natuurlijk op de koop toe nemen het feit dat in sommige gevallen de strekking van een stelling niet langer de gebruikelijke is. Er wordt bijvoorbeeld het volgende beweerd: 'Twee rechte lijnen hebben altijd een punt gemeen'. Als de rechte lijnen echter toevallig evenwijdig lopen, dan hebben ze duidelijk geen punt gemeen in de werkelijkheid. De werkwijze is onschadelijk omdat nauwkeurig is gespecificeerd wat in zulke uitzonderingsgevallen moet worden verstaan onder het begrip van een 'punt', dat nu een bredere betekenis heeft.

We zouden nog een ander voorbeeld kunnen beschouwen dat, gezien de verwantschap ervan met de natuurkunde, zelfs nog voor treffender overeenkomsten schijnt te zorgen met betrekking tot de verwantschap tussen constructivistische wiskunde en actualistische wiskunde.

Ik denk aan de gelegenheidspoging om een 'natuurlijke meetkunde' in elkaar te zetten, dat is een meetkunde die beter aansluit bij fysische ervaring dan de gebruikelijke (Euclidische) meetkunde bijvoorbeeld. In deze natuurlijke meetkunde gaat de stelling 'er gaat precies een rechte lijn door twee verschillende punten' alleen op wanneer de punten niet te dicht bij elkaar liggen. Want als ze zeer dicht bij elkaar liggen, dan zie je meteen dat er verscheidene naburige rechte lijnen getrokken kunnen worden door de twee punten. De tekenaar moet rekening houden met zulke overwegingen; in de zuivere meetkunde echter wordt dit niet gedaan omdat hier de punten worden geïdealiseerd. Punten die volgens de ervaring een zekere uitgebreidheid hebben worden vervangen door de ideale 'punten' zonder uitgebreidheid van de theoretische wiskunde, en die bestaan niet in de werkelijkheid. Dat deze werkwijze voordeel oplevert wordt bevestigd door het succes ervan: Het mondt uit in een wiskundige theorie van een veel eenvoudiger en aanzienlijk gelijkmatiger vorm dan die van de natuurlijke meetkunde, waar men voortdurend bedacht moet zijn op onaangename uitzonderingen.

De verhouding tussen de actualistische wiskunde en de constructivistische wiskunde is geheel analoog. Door de actualistische wiskunde wordt bijvoorbeeld het begrip 'existentie' geïdealiseerd door te zeggen: een getal bestaat indien het bestaan ervan kan worden aangetoond door middel van een bewijs waarin de logische afleidingen worden toegepast op voltooid oneindige totaliteiten in dezelfde gedaante als waarin ze geldig zijn voor eindige totaliteiten; geheel en al alsof deze oneindige totaliteiten werkelijk aanwezige grootheden waren. Op deze manier erft het existentiebegrip de voordelen en nadelen van een ideaal element. Het voordeel is, boven alles, dat een aanzienlijke vereenvoudiging en elegantie van de theorie wordt verkregen - immers intuïtionistische bewijzen zijn, zoal vermeld, meestal erg ingewikkeld en worden geplaagd door onaangename uitzonderingen. Het nadeel is echter dat dit ideale begrip van existentie niet langer in dezelfde mate op de fysische werkelijkheid van toepassing is als het constructivistische begrip van existentie bijvoorbeeld.

Laten we bijvoorbeeld beschouwen de vergelijking $a.x = b$ voor reële getallen. Volgens de actualistische interpretatie mag eenvoudigweg het volgende worden gesteld: De vergelijking heeft een wortel, zolang $a$ niet gelijk is aan $0$. De intuïtionist echter zegt: De vergelijking heeft een wortel zodra vastgesteld is dat $a$ verschillend is van $0$. Echter als we uitgaan van de wijze waarop $a$ wordt gegeven, dan kan het gebeuren dat niet van tevoren gezegd kan worden of $a$ gelijk is aan $0$ of dat $a$ verschillend is van $0$.

In dit geval blijft de vraag van de existentie van een wortel open. Zeker moet worden toegegeven dat deze interpretatie meer overeenkomt met het standpunt van de fysicus die wellicht de coefficient $a$ moet bepalen uit een experiment dat niet nauwkeurig genoeg is om met zekerheid een verschil tussen $a$ en $0$ vast te stellen.

Nu rijst de vraag: Wat voor nut hebben elegante hoeveelheden kennis en bijzonder eenvoudige stellingen als ze niet toepasbaar zijn op de fysische werkelijkheid in letterlijke zin? Zou er in dat geval niet de voorkeur aan gegeven moeten worden een werkwijze over te nemen die bewerkelijker is en die ingewikkelder resultaten voortbrengt, maar die als voordeel heeft dat deze resultaten meteen betekenis krijgen in de werkelijkheid? Het antwoord ligt in het succes van de eerder genoemde werkwijze: kijk weer naar het voorbeeld van de meetkunde. De grote verworvenheden van de wiskunde in de voortgang van natuurkundige kennis komt nu juist voort uit deze methode van het idealiseren van datgene wat fysisch gegeven is, en daardoor het eenvoudiger maken van het onderzoek ervan. Bij iedere toepassing van de algemene resultaten op de werkelijkheid moet de bijzondere status als gevolg van de idealisatie natuurlijk in gedachten worden gehouden en moet een daarmee overeenkomende herinterpretatie worden uitgevoerd. Dit is het terrein waar de toegepaste wiskunde zijn activiteiten ontplooit.

Ter vergelijking citeer ik uit Heyting en Weyl. Heyting, de intuïtionist, zegt op een gegeven moment: 'Vanuit het formalistische standpunt kan het doel van de de fysika worden gekenmerkt als het beheersen van de natuur. Als dit doel kan worden bereikt door formele methoden' - door de actualistische wiskunde dus - 'dan is geen enkel argument ertegen houdbaar'. In het geschil tussen Brouwer en Hilbert brengt Weyl als volgt zijn standpunt onder woorden: 'Wanneer men de wiskunde bestudeert vanwege de wiskunde zelf dan zou men Brouwer moeten volgen en zichzelf moeten beperken tot onderscheidbare waarheden waarin het oneindige alleen wordt toegelaten als een open veld van mogelijkheden; er kan geen motief zijn om deze grenzen te overschrijden. In de natuurwetenschappen echter stuit men op een gebied dat hoe dan ook niet langer doordringbaar is door een beroep te doen op zichtbare vanzelfsprekendheid; hier neemt kennis noodzakelijkerwijs een symbolische vorm aan. Om deze reden is het niet langer noodzakelijk, zodra de wiskunde betrokken wordt in het proces van een theoretische reconstruktie van de wereld door de fysica, dat we in staat zijn de wiskunde af te zonderen binnen een gebied van het intuïtief zekere. Op dit hogere vlak, waarvandaan de gehele wetenschap zich voordoet als een eenheid, ben ik het eens met Hilbert'.

Ik heb de indruk dat bepaalde fundamentele intuïtionistische begrippen, b.v. het begrip existentie of het begrip reëel getal, strikt genomen reeds 'ideale elementen' zijn. Maar hier valt over te twisten; het is moeilijk bespreekbaar en ook weer niet zo belangrijk. In ieder geval zou het niet betekenen dat de toepassing van zulke begrippen ook een consistentie bewijs van node heeft; ze worden tenslotte alleen toegepast op zo'n manier dat de precieze constructieve betekenis ervan altijd duidelijk blijft. Hetzelfde geldt voor de 'ideale punten' in de projectieve meetkunde; de zaak ligt anders in het geval van de ideale begrippen van de actualistische wiskunde welke - bezien vanuit het gezichtspunt van de constructivist - in het geheel geen inherente 'betekenis' bevatten, maar die desondanks worden gebruikt alsof zij louter door ze uit te spreken van een betekenis worden voorzien.

Terwijl de constructivisten aan de ene kant dus toegeven dat de actualistische wiskunde een bedoeling heeft, lijkt het aan de andere kant redelijk dat aan het constructivistische gezichtspunt een grotere rol in de wiskunde toebedacht zou moeten worden dan tegenwoordig het geval is. In het grondslagenonderzoek is het het reeds de gewoonte om de bewijzen uit te voeren, waar dat maar mogelijk is, langs lijnen die door het constructivisme zijn uitgezet, niet alleen vanwege de grotere onbetwistbaarheid - dit is niet altijd wat met het bewijs wordt beoogd - maar ook vanwege de meer tastbare inhoud van het resultaat. Want het is helder dat een constructivistisch existentie bewijs meer betekent dan een indirekt actualistisch bewijs. In het bijzonder in de elementaire getaltheorie en in het algemeen in theorieën die zich alleen bezig houden met objecten die op eindige wijze beschreven kunnen worden, is het natuurlijk om het constructivistische gezichtspunt als basis te nemen. In het verleden werd dit vrijwel automatisch gedaan in ieder geval; de onvervalst ongekunstelde redenering, waarin helemaal geen bijzondere aandacht wordt besteed aan de methoden van bewijzen, is van nature voornamelijk constructief, dat wil zeggen ze schuwt het oneindige. Bovendien is het zo dat de toepassing van transfiniete actualistische vormen van redeneren in deze gebieden nauwelijks enig praktisch doel dienen. Dit is niet zo in het rijk van het continuüm, in de analyse en de meetkunde. Hier viert de actualistische benadering zijn triomfen; hier is de constructivistische benadering in de praktijk inferieur.

Tot besluit kan daarom worden gezegd: De constructivistische (intuïtionistische, finitistische) wiskunde vormt een belangrijk gebied binnen het geheel van de wiskunde vanwege de grote vanzelfsprekendheid ervan en de bijzondere betekenis van de resultaten ervan. Toch bestaan er geen overtuigende redenen waarom alle delen van de analyse die gebaseerd zijn op de actualistische interpretatie radikaal verworpen zouden moeten worden; integendeel, men kan er niet omheen dat zij op zichzelf beschouwd een grote betekenis hebben, bovenal in het licht van de fysische toepassingen.

Onderbreking

In de laatste alinea van het artikel wordt geappelleerd aan een mentaliteit van vrijblijvendheid: opdat de wereld voor menigerlei uitleg vatbaar zij. Dat vind ik jammer, omdat het nu lijkt alsof deze wiskundige zijn eigen fundamentele zienswijze, op de keper beschouwd, toch niet serieus neemt. Het betoog van Gentzen heb ik dan ook afgebroken op dit punt.