Elementaire klassen

Tot de klassieke wiskunde behoort de volgende opvatting.
Zij $A$ een verzameling, dan heet de verzameling $K = \{ x, y, z, ... \}$ een klasse-indeling (partitie) van $A$, wanneer voldaan is aan het volgende pakket van eisen: $$ x \neq \emptyset $$ $$ ( x \neq y ) \Rightarrow (( x \cap y) = \emptyset ) $$ $$ \bigcup_x = A $$ Zo men wil is een kwantifikatie $ \forall_{ x,y \in K } $ bij deze definitie inbegrepen.

In gewoon nederlands staat er:

een klasse is niet leeg;
twee verschillende klassen hebben geen deel gemeenschappelijk;
de klassen vullen samen heel $A$ op.

Een partitie van $A$ is dus het opsplitsen van $A$ in delen die niet leeg, en onderling gescheiden zijn.

Wat denkt men van de volgende "toevallige" analogie.
Voor de elementen van een willekeurige verzameling geldt:

een element is niet "niks";
twee verschillende elementen hebben niets met elkaar gemeen;
alle elementen samen maken de hele verzameling uit.

Om in wiskundige termen te spreken, er bestaat een sterke "isomorfie" tussen "klassen" en "elementen". Men is geneigd om in zo'n geval beide begrippen te identificeren. Waarom dan wel overal elders in de wiskunde, maar niet hier? Waarom zijn bijvoorbeeld de "Finite Elements" van de Mechanika op de een of andere manier niet te vereenzelvigen met de elementen van een verzameling? Het moge duidelijk zijn dat hier iemand staat te popelen om in te grijpen.

Werkdefinitie:
Zij $A$ een zaak of ding. Men noemt $x, y, z, ...$ elementen van $A$ , met andere woorden $A$ is een verzameling $\{x, y, z, ....\}$, indien voldaan is aan het volgende pakket van eisen: $$ x \neq \emptyset $$ $$ ( x \neq y ) \Rightarrow (( x \cap y) = \emptyset ) $$ $$ \bigcup_x = A $$ En nu komt het! Wij zetten hier de element-notatie in : $x \in A$ .

Met andere woorden: "klassen" zijn identiek aan elementen. Er is geen enkele fysische reden om er een dubbel stel begrippen op na te houden. Deze theorie is ook holistisch. Ze werkt "top down". Ze gaat uit van de zaak als geheel en komt pas na een opdeling daarvan tot het elementbegrip, en daarmee tot de eigenlijke verzamelingenleer. Maar we hoeven ons niets te verbeelden; dit wordt hoogstens één van de inmiddels vele set theories. Sterker nog. Zelf hebben we een Implementeerbare Verzamelingenleer geformuleerd die op werkelijk alle fronten verschilt van de verzamelingenleer in dit hoofdstuk.

De allereerste stelling die te bewijzen valt in onze nieuwe verzamelingenleer is die van "transitiviteit": dat elementen deel uitmaken van de zaak.
Stelling: $(a \in A) \Rightarrow (a \subset A) $ .
Bewijs: $ a \cap A = a \cap ( \bigcup_x ) = ( a \cap a ) \cup ( a \cap x ) \cup ( a \cap y ) ... $ $ = a \cup \emptyset \cup \emptyset ... $ $ = a $
Dus: $ a \cap A = a $ . En dit is hetzelfde als $ a \subset A $. QED .
Wanneer het zo is dat in de logika der atoomfysika de distributieve wet niet opgaat, dan kan bovenstaand bewijs dus niet geleverd worden. Dit terzijde.

"Wezenlijk voor de verzamelingenleer is het onderscheid tussen verzameling en element. Verwar nooit $\in$ en $\subset$ ; $a$ en $\{a\}$".
Men treft een zinsnede van deze strekking aan in de eerste hoofdstukken van menig wiskunde leerboek [vanLint].
Maar ik zou eigenlijk wel eens willen weten op grond waarvan dat zo zou zijn. Anders gesteld: wat is materieel gezien dan het verschil tussen een "los" element $a$ en de verzameling $\{a\}$ die dat element als enige bevat? Bestaat $\{a\}$ misschien uit méér dan uitsluitend $a$ ? Het antwoord is: nee. Wordt $a$ misschien anders zodra hetzelfde ding wordt aangeduid met twee accoulades er omheen? Ik kan me het nauwelijks voorstellen. Materieel gezien is er dus wel degelijk sprake van "verwarring", een verwarring die alleen maar groter lijkt te worden naarmate men beter over deze dingen gaat nadenken. Wat sommige wiskundigen zo gemakkelijk onze "verwarring" noemen, zou wel eens niets anders kunnen zijn dan: alleszins gerechtvaardigde twijfel. In onze top down versie van de verzamelingenleer kan men inderdaad zonder veel omhaal stellen dat, voor alle $a$: $$\{a\} = a$$ De "gewone" verzamelingenleer wordt opgetrokken vanuit het begrip "element". Men gaat er bij voorbaat van uit dat iedere zaak een ondeelbaar geheel, een punt, ofwel een samenraapsel van ondeelbare delen, van punten is. Feitelijk poneert men daarmee een fysische hypothese, namelijk dat bepaalde delen elementair en andere delen niet elementair zouden zijn, en dat zoiets in de werkelijkheid zou overeenkomen met een waarneembaar onderscheid. Primitieve atoomtheorie in de zin van Epicurus. Dat er "echte elementen" in de natuur bestaan, moet men eerst maar eens zien te bewijzen. Tot nu toe zijn alle elementen steeds weer opnieuw deelbaar gebleken. Deze kritiek op de verzamelingenleer betreft het "elementalisme" (: terminologie is afkomstig van Alfred Korzybski [Sanity]).
Wanneer $a$ een element is van $A$, dan is het natuurkundig zeer zeker ook zo dat $a$ deel(verzameling) is van $A$. Men kan hoogstens konstateren dat "element zijn van" $\in$ een meer specifieke betekenis zal hebben dan "deel zijn van" $\subset$. Voor een fysisch verantwoorde opzet van de verzamelingenleer is het dan ook nodig, en voldoende, om het idee "deel zijn van" $\subset$ op te vatten als grondgedachte, en "element zijn van" $\in$ later, als een speciaal geval hiervan, in te voeren.

Met andere woorden: verzamelingen zijn in de werkelijkheid altijd "transitief". Uit $a \in A$ volgt altijd en overal dat ook $a \subset A$ . Elementen zijn slechts een bijzonder soort van deelverzamelingen.

Wanneer men van de eerste schrik is bekomen, dan is het wellicht nuttig om alvast enige konsekwenties van de alternatieve opvatting op een rij te zetten:

$A$ kan element zijn van zichzelf, maar dan en slechts dan als de triviale partitie $\{A\}$ van $A$ wordt beschouwd. Dan is $A \in A$ en $\{A\}=A$. Indien er geen triviale partitie van $A$ gegeven is, dan kan $A$ geen element van zichzelf zijn. (Dit lost mede de verzamelingen-paradox van Russell op)
Een "geordend paar" $(a,b)$ kan niet langer worden gedefinieerd door $\{a,\{a,b\}\}$, omdat geen twee verschillende elementen in een verzameling een deel gemeenschappelijk kunnen hebben. Hier zou $a \cap \{a,b\} = a $ .
Om dezelfde reden kunnen natuurlijke getallen niet worden gedefinieerd door alsmaar meer accoulades te zetten om de lege verzameling heen, zoals dat wordt gedaan in de zogenaamde "naieve" (is dat zo?) verzamelingenleer volgens [Halmos]:
$ 0 := \emptyset \ , \ 1 := \{ \emptyset \} \ , \ 2 := \{ \emptyset , \{ \emptyset \} \} \ , \ 3 := \{ \emptyset ,\{ \emptyset \} ,\{ \emptyset ,\{ \emptyset \}\}\} \ ... $
Geen mens kan de hoop koesteren ooit iets te kunnen scheppen uit het niets.

Zij nog vermeld dat bovenstaande konstruktie bekend staat als het aanmaken van "transitieve" verzamelingen. Dat zijn verzamelingen waarvan ieder element ook weer een deel(verzameling) is.
Tenslotte wordt opgemerkt dat de stelling $a = \{ a \}$ voor onze Implementeerbare Verzamelingenleer dodelijk is (: een Killer Axiom). De twee leerstoelen moeten dus streng gescheiden worden gehouden. Meer leesvoer hierover op de website: