Samenvatting

1. De exaktheid van de wiskunde is natuurlijk, maar niet vanzelfsprekend, zo blijkt uit de geschiedenis.
2. Wiskunde is niet in de eerste plaats ontsproten aan een "kreatieve oer-intuïtie", maar voortgekomen uit praktische maatschappelijke behoeften en omstandigheden.
3. Een aanschouwelijke voorstelling van meetkundige zaken kan slechts op grond van een zeer bepaalde filosofische overtuiging als minderwaardig of misleidend worden aangemerkt.
4. Men heeft de intrinsieke onnauwkeurigheid van praktische meet- en rekenkunde aanvankelijk niet als een onvolkomenheid opgevat.
5. De algebra dankt haar huidige exakte karakter grotendeels aan de idealisatie die van de meetkunde is uitgegaan. Het numerieke rekenen zou op zich geen aanleiding hebben gegeven tot een dergelijke absolute nauwkeurigheid.
6. Moeilijkheden met irrationale getallen kunnen niet optreden in een primitieve praktische meetkunde. Zij zijn louter het gevolg van een idealistische opvatting van deze meetkunde en de onvermijdelijke doorwerking daarvan in de algebra.
7. Vanuit een modern standpunt zijn meetinstrumenten min of meer zelfstandige wezens die ook zonder menselijke tussenkomst het vermogen bezitten om waarnemingen te verrichten en te verwerken.
8. Meten is een zuivere vorm van abstraheren: er vindt geen idealisatie plaats. Een meetinstrument is het voorbeeld bij uitstek van een zuiver abstraktie-mechanisme.
9. De exaktheid van natuurwetten kan alleen maar van idealistisch mathematische aard zijn. In de (experimentele) fysica is er geen enkele wetenschappelijke basis voor te vinden.
10. Puur mathematische uitgangspunten zouden bij toepassing per ongeluk wel eens kunnen veranderen in puur fysische uitgangspunten.
11. De natuur gehoorzaamt niet aan wiskundige, doch de wiskunde gehoorzaamt aan natuurlijke wetten, natuurwetten namelijk die bepalen hoe een evolutie in zijn werk gaat.
12. Dat door Plato's idealistische opvattingen de wiskunde meer los is komen te staan van de praktijk, is alleszins begrijpelijk maar niet zonder meer "logisch".
13. Men kan niet ergens tussen de natuurwetten een grens trekken en zeggen: aan deze kant is alles exakt, en aan die kant is alles een benadering.
14. De filosofie van het mathematische model is de manier bij uitstek om te ontkomen aan het permanent sluimerende konflikt tussen de theoretische wiskunde en de praktische toepassing.
15. Sommige stukken van de wiskunde zijn voor eeuwig gedoemd tot onbruikbaarheid, en het is zeker mogelijk om er achter te komen welke stukken dat precies zijn.
16. Dank zij de opkomst van de digitale computer heeft de wiskunde zich kunnen transformeren tot een volwaardige empirische wetenschap.

Aantekeningen

1. Aangezien op de werkelijkheid geen andere theorieën van toepassing zijn dan fysische, zou het grondslagen-onderzoek van de wiskunde met voordeel door fysici gedaan kunnen worden.
2. De volgende uitspraak is van Poincaré: "De wiskunde is even materieel als de sterrenkunde of de plantkunde".
3. Abstraktie van een reëel getal leidt tot een eindig aantal decimalen.
   Idealisatie van een reëel getal leidt tot een oneindig aantal decimalen.
4. Een exakte definitie van het begrip onnauwkeurigheid - met behulp van de statistiek of anderszins - is een contradictio in terminis.
5. Ook de analytische, "exakte" oplossing van een probleem wordt uiteindelijk gerepresenteerd door een eindige reeks afgeronde getallen.
6. In de klassieke "exakte" mechanika is beweging, strikt genomen, onmogelijk. Dit is de aloude paradox van de pijl die niet kan vliegen.
7. Volgt een kleine anekdote. Ergens in de jaren zestig werd in Eindhoven een diskussie-bijeenkomst belegd met als modieus thema "vervreemding". Men had een aantal geleerde heren uitgenodigd, waaronder een logisch-positivist. Deze presteerde het om de hele vergadering pas op de plaats te laten maken bij de vraag wat dan wel de exakte definitie zou zijn van het woord "vervreemding". Na een of twee uur vruchteloos debat stapte een zeker iemand naar de mikrofoon, teneinde deze filosoof de volgende gelijkenis voor te houden: "Durft u ook niet in een auto te stappen, alvorens men u een exakte definitie heeft gegeven van de motor ?" De zaal was te murw om nog te applaudiseren.
8. Niet alleen idealisaties, maar ook abstrakties, of konkreter: laboratorium situaties zijn, in plaats van het doorgronden van de werkelijkheid, eerder een manier om haar in eerste instantie niet te doen kennen zoals zij is.
   Bruno Latour [Bruno] haalt het voorbeeld aan van Louis Pasteur, die een glazen kolf voorzag van een voedingsbodem, de inhoud kookte en vervolgens een dusdanig lange en dunne glazen hals aan de kolf blies dat microben niet konden binnendringen. De voedingsbodem in de kolf was dus steriel. Maar dat was voor die tijd een buitengewoon gekunstelde, onnatuurlijke situatie, feitelijk geheel en al in in strijd met de toenmalige werkelijkheid.