Methode 5
Probleem beschrijving.
Gegeven een verzameling coordinaten $x_k$ en functie waarden $y_k$, vind
de beste kleinste kwadraten aanpassing bij de hyperbool $\;y = B/(x-A)\;$. Zoals eerder gezegd,
hebben we het probleem "in de groep gegooid":
Het antwoord van Claude Leibovici is maatgevend voor de onderhavige methode.
Het komt er op neer dat onze eerste schatting (lineair) in feite ontoereikend is en slechts kan dienen
als aanzet tot een ingewikkelder berekening, die niet-lineair is:
$$
M(A,B) = \sum_i \left(\frac{B}{x_i-A}-y_i \right)^2 = \mbox{minimaal}
$$
Het minimum wordt gevonden met behulp van partieel differentiëren:
$$
\frac{\partial M}{\partial A} = 0 \quad ; \quad \frac{\partial M}{\partial B} = 0
$$
En wordt zo gelijkwaardig met het vinden van een nulpunt in twee dimensies. Hiervoor bestaat een iteratieve numerieke methode, de zogenaamde
Methode van Newton-Raphson , of beter: de generalisatie daarvan tot <EN>
Nonlinear systems of equations</EN>, althans
volgens mijn eigen voorstel. Voor iteratie nummer $k$ krijgen we dan:
$$
\begin{bmatrix} \partial^2M/\partial A_k^2 & \partial^2M/\partial A_k\partial B_k \\
\partial^2M/\partial A_k\partial B_k & \partial^2M/\partial B_k^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_{k+1}-A_k \\
B_{k+1}-B_k \end{bmatrix} = - \begin{bmatrix} \partial M/\partial A_k \\ \partial M/\partial B_k \end{bmatrix}
$$
Het is nu een kwestie van geduldig de afgeleiden berekenen en implementeren. De programmering
hiervan in (Delphi) Pascal heet:
procedure NewtonHdB(jaar,licht : lijst; var A,B : double; var eps : punt);
Voor een beschrijving zou bovenstaande link afdoende moeten zijn. Het enige wat dan nog ontbreekt is een berekening van de constante $B$,
nodig om grafieken te kunnen tekenen:
$$
B = \frac{\sum_k y_k/(x_k-A)}{\sum_k 1/(x_k-A)^2}
$$
De programmering van dit alles in (Delphi) Pascal heet:
procedure Leibovici(jaar,licht : lijst; var A,B : double; var eps : double);