Methode 3
Probleem beschrijving.
Gegeven een verzameling coordinaten $x_k$ en functie waarden $y_k$, vind
de beste kleinste kwadraten aanpassing bij een hyperbool $\;y = B/(x-A)\;$ ofwel $\;y(x-A)-B=0\;$:
$$
\sum_k w_k \left[\,y_k(x_k-A) - B\,\right]^2 = \mbox{minimum}(A,B)
$$
Dit is iets uitgebreider dan een eerdere formulering,
namelijk met gewichtsfactoren $w_k$ erbij. We hebben het probleem vervolgens "in de groep gegooid":
Het antwoord van JJacquelin is maatgevend voor deze methode.
Definieer $x_k$ en $y_k$ ieder afzonderlijk opnieuw als volgt:
$$
\begin{cases} y_k x_k \to y_k \\ y_k \to x_k \end{cases} \quad \Longrightarrow \quad
\sum_k w_k \left[\,y_k - A x_k - B\,\right]^2 = \mbox{minimum}(A,B)
$$
Dan wordt het oorspronkelijke probleem getransformeerd naar een kleinste kwadraten aanpassing voor
de rechte lijn $\;y = A x + B$ .
De helling van deze rechte lijn is de tangens van een hoek, stel deze gelijk aan $\alpha$.
Dan is na vermenigvuldiging van alles met $\cos(\alpha)$:
$$
A = \tan(\alpha) \quad \Longrightarrow \quad
\sum_k w_k \left[\,\cos(\alpha) y_k - \sin(\alpha) x_k - B \cos(\alpha)\,\right]^2 = \mbox{minimum}(A,B)
$$
De hoek die de normaal van de lijn maakt met de lijn zelf noemen we $\theta$. Dan is $\,\theta = \alpha + \pi/2$ ,
dus $\,\alpha = \theta - \pi/2\,$ en ook $\;\cos(\theta-\pi/2) = \sin(\theta)\;$,
$\;\sin(\theta-\pi/2) = -\cos(\theta)\;$, dus:
$$
\sum_k w_k \left[\,\cos(\theta) (x_k-0) + \sin(\theta) (y_k-B)\,\right]^2 = \mbox{minimum}(A,B)
$$
Het steunpunt van deze lijn is $\,(0,B)$ , maar we zijn vrij om een ander steunpunt te kiezen, zeg $\,(p,q)$ .
Dan is:
$$
\sum_k w_k \left[\,\cos(\theta) (x_k-p) + \sin(\theta) (y_k-q)\,\right]^2 = \mbox{minimum}(A,B)
$$
De laatste vergelijking is van een vorm die we al eens eerder hebben behandeld, in een engelstalig artikel
waar hieronder naar wordt verwezen. Zij opgemerkt dat de keuze van het andere steunpunt
uitsluitend invloed heeft op de waarde van de constante $B$ en deze waarde interesseert ons eigenlijk niet.
Van groter belang is de waarde van $A$ en deze is:
$$
A = \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = - \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = - \frac{1}{\tan(\theta)}
$$
Echter om een grafiek te kunnen tekenen hebben we die andere constante wel nodig : $B = p / \tan(\theta) + q = q - A p$ .
Het vervolgverhaal is in het engels:
Het is nu een kwestie van geduldig implementeren. De programmering
hiervan in (Delphi) Pascal heet:
procedure Jacquelin(jaar,licht : lijst; var A,B : double);