Het ontwikkelen van goede numerieke benaderingen, diskretisaties namelijk van differentiaalvergelijkingen, is het belangrijkste onderdeel van de huidige Numerieke Wiskunde, ook wel Numerieke Analyse genoemd. Door de ontwikkeling van steeds krachtiger digitale computers kan een steeds groter beslag worden gelegd op rekentijd en geheugen, waardoor meer realistische simulaties tot de mogelijkheden zijn gaan behoren. Tegenwoordig is het de gewoonste zaak van de wereld om mechanische konstrukties volledig driedimensionaal door te rekenen, op een computer, met behulp van numerieke methoden. Bij een schaalvergroting als deze vallen de mogelijkheden der klassieke analyse volledig in het niet.
Wij spraken hierboven over de Numerieke Analyse, alsof er sprake zou zijn van één coherent vakgebied. De werkelijkheid gebiedt daarentegen het bestaan aan te nemen van tenminste twee vakgebieden die Numerieke Analyse heten. Het ene vakgebied beroept zich op de "eindige Differentie methode", het andere vakgebied beroept zich op de "eindige Elementen methode". Eindige Differenties en eindige Elementen zijn zodanig verschillende Numerieke Wiskundes dat het tot in de negentiger jaren heeft geduurd alvorens serieuze beoefenaars van beide methoden tegelijk in de litteratuur worden aangetroffen [Rita]. Ga naar een willekeurige bijeenkomst over numerieke methoden, en de kans is nog steeds aanwezig dat de zaal kan worden opgsplitst in in twee disjuncte delen. Op een zodanige wijze dat de ene helft van de vakbroeders de andere helft van de vakbroeders niet kan en misschien zelfs niet wil begrijpen.
Vanuit beide disciplines wordt de Grote Tweedracht trouwens stelselmatig ontkend, of men maakt er zich vanaf met een bagatel. Zonder blikken of blozen beweert de ene partij dat eindige Differenties slechts een speciaal geval zijn van de eindige Elementen methode [OC]. De andere partij verklaart stellig dat de eindige Differentie methode slechts succes kon boeken door niet te luisteren naar "de lokroep vanuit het eindige elementen kamp" [DB]. De tegenstelling is echter te grondig om te kunnen worden verwaarloosd.
Stelsels gekoppelde partiële differentiaalvergelijkingen van aanzienlijke complexiteit, zoals die welke de stroming en warmteoverdracht in vloeistoffen beschrijven, kunnen toegankelijk worden gemaakt voor numerieke behandeling door middel van eindige Differentie methoden. Meer in het bijzonder eindige Volumen methoden, zoals die welke beschreven worden in [SV], zijn op dit gebied buitengewoon succesvol. Van Spalding afkomstig is de gevleugelde uitspraak: "Als de natuur zijn vergelijkingen kan oplossen, dan kunnen wij dat ook". Zoek veeleisende toepassingen! De robuustheid van een eindige Volumen diskretisatie, waarbij wordt uitgegaan van slechts "Vijf GrondRegels", kent qua eenvoud zijn weerga niet, en doorstaat hiermee glansrijk een vergelijk met eindige Elementen methoden. De voornaamste nadelen van eindige Differentie-achtige schema's zijn echter evenzeer bekend. Wanneer men probeert af te rekenen met inhomogene delen van het rekendomein, die bijvoorbeeld worden veroorzaakt door een kromlijnige begrenzing, dan onstaan er meestal behoorlijk wat complicaties.
Wanneer men uitgaat van eindige Elementen methoden, dan vormen gekromde randen en een ingewikkelde samenhang daarentegen geen enkel probleem. Inhomogeniteiten en onregelmatigheden worden afgehandeld op een uniforme en natuurlijke wijze die zijn weerga niet kent, en waarbij de eindige Differentie methode duidelijk het onderspit delft. Dit verklaart althans gedeeltelijk waarom eindige Elementen zo'n enorme opgang hebben gemaakt in de mechanika der vaste strukturen, waar een nauwkeurige beschrijving van geometrie en topologie belangrijk is [OC]. De voornaamste nadelen van de eindige Elementen methode zijn echter evenzeer bekend. Teneinde een eindige Elementen diskretisatie schema op de geëigende wijze te kunnen formuleren, moet men teruggrijpen op iets wat afgeleid wordt van een zogenaamd variatieprincipe, zoals het beginsel dat de potentiële energie van een mechanische konstruktie minimaal is. Wanneer men te maken heeft met bijvoorbeeld transportverschijnselen in een stroming, dan blijkt een dergelijk principe als regel een blok aan het been te zijn.
Waargenomen wordt dat de zwakke punten van de eindige Differentie methode zeer precies worden afgedekt door de sterke punten van de eindige Elementen methode, en dat omgekeerd de zwakke punten van de eindige Elementen methode zeer precies worden afgedekt door de sterke punten van de eindige Differentie methode. Beide methoden blijken elkaar op werkelijk alle fronten bijzonder goed aan te vullen. Eindige Differenties en eindige Elementen lijken wel voor elkander geschapen. De gescheiden ontwikkeling van twee numerieke disciplines kan ongetwijfeld uit de loop der geschiedenis worden begrepen. Echter dat deze situatie, afgezien van een enkele gunstige uitzondering [Rita], voortduurt tot op de dag van vandaag, een dergelijk anachronisme kan noch vanuit theoretisch, noch vanuit praktisch oogpunt worden gerechtvaardigd. Geformuleerd wordt daarom het Beginsel van Saamhorigheid:
Er zou EEN vak Numerieke Analyse moeten komen in plaats van de twee nu. Het vakgebied zou zo moeten zijn dat eindige Differenties en eindige Elementen niet anders zijn dan slechts twee verschillende manieren om naar dezelfde zaken te kijken. Met andere woorden: eindige Differenties en eindige Elementen zijn twee duale aspekten van één en slechts één universele Numerieke Analyse.
Ik wil nog voor het einde van dit boekdeel een aannemelijk mathematisch bewijs hebben geleverd dat saamhorigheid en gemeenschapszin, binnen dit ene vakgebied, probleem-oplossend werken.
Het ontbreken van een uniforme Numerieke Analyse schept nog een ander groot obstakel. Het lijkt nu namelijk alsof de klassieke analyse een doortimmerd wiskundig geheel is, terwijl de numerieke analyse weliswaar iets te maken heeft met kleine stukjes, differenties of elementen genoemd, maar het is vrij willekeurig wat je er van in gebruik neemt. Dit is zeer nadelig omdat wij juist willen verdedigen de stelling dat er een duidelijke materialisatie mogelijk is van de klassieke analyse, richting numerieke wiskunde, een materialisatie die niet resulteert in een ratjetoe aan diskretisaties. Daarvoor moet helaas worden vooruitgelopen op de gewenste volledige Unificatie van het vak. Wel, niet helemaal. Op Internet heb ik laten verschijnen de "Series on Unified Numerical Approximations" [FTP].