Voor de Numerieke Wiskunde kan met redelijke trefzekerheid worden bewezen
dat puur de menselijke zelfzucht, en niet enig gebrek aan vernuft, debet is aan
falend wiskundig inzicht. Dit is een alarmerende situatie.
Er zou EEN vak Numerieke Analyse moeten komen in plaats van de twee nu. Het
vakgebied zou zo moeten zijn dat eindige Differenties en eindige Elementen niet
anders zijn dan slechts twee verschillende manieren om naar dezelfde zaken te
kijken. Met andere woorden: eindige Differenties en eindige Elementen zijn
duale aspekten van één en slechts één universele Numerieke Analyse.
Het feit dat men door historische analyse van twee numerieke methoden,
de eindige differentie en de eindige elementen methode, komt tot de formulering
van nieuwe technieken [FTP], bewijst dat het historisme minder arm is dan
door K.H. Popper in zijn onnozelheid wordt beweerd.
Op dit moment wordt de theorie van de samenhang of diskrete topologie iedere
keer opnieuw uitgevonden, en geclaimd als originele vinding. In plaats daarvan
zou de theorie deel moeten uitmaken van de reguliere wiskunde.
Ieder paar even lange rijen van natuurlijke getallen kan worden opgevat als
de definitie van een diskrete topologie.
Het bepalen van de inverse samenhang is een SORTeer probleem, met de andere
rij als sleutel.
De etiketten "knooppunt" en "element" zijn, bezien vanuit wiskundig oogpunt,
onderling volkomen verwisselbaar.
De kwestie van de "error bounds", dat wil zeggen een algemeen vergelijk
tussen de analytische en de numerieke oplossing van een probleem, komt neer op
de konstruktie van een vicieuze cirkel. De opvatting dat numerieke oplossingen
een gebrekkige benadering zijn van de "exakte" oplossingen, die de klassieke
analyse ons zou leveren, is bijgevolg onjuist.
Daarom is het ook niet zinvol te verlangen dat de numerieke oplossing naar
de analytische oplossing konvergeert. Korrekt daarentegen is de opvatting
dat analytische oplossing en numerieke oplossing, indien beide te konstrueren
zijn, naar dezelfde waarden moeten konvergeren.
Het numerieke tegenstroom schema bevat richtingsinformatie welke voor
konvektie essentieel is. Na idealisatie tot een partiële
differentiaalvergelijking is deze informatie echter spoorloos verdwenen.
Zij nu bewezen de opvatting van de Franse geleerde Ilya Prigogine dat
ONomkeerbaarheid van de tijd de basis is voor iedere dynamische beschrijving.
De omkeerbaarheid van de tijd is een illusie, die louter en alleen te danken is
aan verlies aan informatie over de richting, binnen de klassieke analytische
formulering van de natuurwetten.
De Numerieke Analyse is de Assepoester van de wiskunde. Haar schoonheid
wordt ten onrechte in verband gebracht met de funktionaal-analyse,
terwijl zij daarentegen zuiver algebraisch van aard is.
We hebben afgeleid de volgende Unificatie Stelling:
Pas een Eindige Elementen methode toe op een mesh van vierhoeken,
waarbij iedere vierhoek op de twee mogelijke manieren is opgedeeld in 4 elkaar
(dus) overlappende driehoeken. Dan is deze methode geheel en al equivalent met
een Eindige Differentie (volumen) methode.
Het probleem van Labrujère houdt in, dat de kleinste kwadraten eindige
elementen methode, indien toegepast op de conventionele manier, uiterst traag
blijkt te convergeren. De oplossing van Norrie en de Vries is, vanwege de al
te grote ingewikkeldheid, verstoken van enig praktisch nut.
Iedere goed werkende kleinste kwadraten eindige elementen methode is geheel
en al gelijkwaardig met het nul stellen van de som van de kwadraten van alle
vergelijkingen in een eindige differentie systeem, en heeft dan ook dezelfde
oplossing als dit stelsel eindige differentie vergelijkingen.
Het probleem van Labrujère wordt echt opgelost door lineaire vierhoeken
in te zetten. Het bijbehorende stelsel eindige differentie vergelijkingen heeft
dan namelijk dezelfde rang als het aantal onbekenden.
Aantekeningen
In 3 dimensies wordt de lineaire driehoek gegeneraliseerd tot een lineaire
tetraëder. Verdere veralgemenisering tot $N$ dimensies is redelijk eenvoudig.
De differentiatie matrix van een dergelijke N-dimensionale simplex kan heel in
het algemeen algorithmisch, in BASIC, worden gedefinieerd.
In 3 dimensies is het basis-element van verenigde diffusie een zesvlak
(hexagon) met op de acht hoekpunten een tetraëder. Laat de coördinaten en
de hoekpunts-nummering van het moeder-element gegeven zijn door het volgende
programma-fragment:
10 N=3 : FOR I=1 TO 2^N : PRINT I, : FOR K=1 TO N
20 PRINT ((I-1)\2^(K-1) MOD 2)/2 ; : NEXT K : PRINT : NEXT I
Dan hangen de tetraëders, topologisch, als volgt met het zesvlak samen:
Laat enkel de inwendige paralellogrammen van vierhoeken gegeven zijn.
Dan kan men de vierhoeken zelf reconstrueren, onder voorwaarde dat één enkel
hoekpunt van de mesh wordt vastgelegd.
Een mesh van inwendige vierhoeken is ten nauwste verwant met het verschoven
raster ("staggered grid") dat gebruikelijk is bij toepassing van eindige volume
methoden.
Zoals gezegd, de generalisatie van het vierhoekige element (quadrilateral)
naar drie dimensies is het zesvlak (hexagon). Het inwendige element van dit
zesvlak wordt gevormd door de middens van de vlakken met elkaar te verbinden,
en blijkt een octaëder te zijn:
$$
\frac{1}{4} (T_1 + T_3 + T_5 + T_7 ) \Rightarrow T_1 \qquad
\frac{1}{4} (T_2 + T_4 + T_6 + T_8 ) \Rightarrow T_2
$$ $$
\frac{1}{4} (T_1 + T_2 + T_5 + T_6 ) \Rightarrow T_3 \qquad
\frac{1}{4} (T_3 + T_4 + T_7 + T_8 ) \Rightarrow T_4
$$ $$
\frac{1}{4} (T_1 + T_2 + T_3 + T_4 ) \Rightarrow T_5 \qquad
\frac{1}{4} (T_5 + T_6 + T_7 + T_8 ) \Rightarrow T_6
$$
Een willekeurige funktie $T$ wordt op de inwendige octaëder lineair
benaderd. In het lokale isoparametrische coördinatenstelsel is dit als volgt:
$$
T = T(0) + (T_2 - T_1).\xi + (T_4 - T_3).\eta + (T_6 - T_5).\zeta
$$
De volgende extra vergelijkingen vormen hierbij geen enkele beperking:
$$
T(0) = \frac{1}{2} (T_1 + T_2) = \frac{1}{2} (T_3 + T_4) = \frac{1}{2} (T_5 + T_6)
$$ $$
= \frac{1}{8} (T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5 + T_6 + T_7 + T_8)
$$
Inwendige elementen kunnen mogelijk met vrucht worden ingezet bij numerieke
methoden voor het oplossen van de stromings-vergelijkingen.