Samenvatting

1. Men kan de ontwikkeling van het grondslagen-onderzoek alleen goed begrijpen wanneer zij wordt opgevat als historisch noodzakelijke begeleiding van het ontstaan van de digitale techniek en in het bijzonder van de computer.
2. De geschiedenis van de moderne wiskunde is doortrokken van een merkwaardige tweespalt. Enerzijds een mathematische logika en een verzamelingenleer, zoals die worden aangewend in de theorieën der zuivere wiskunde. Anderzijds een schakel-algebra, zoals die toepassing vindt bij het ontwerpen van digitale circuits. En een Computational Solid Geometry die wordt toegepast in de Computer Graphics (Ray Tracing) En een IF .. THEN .. ELSE dat volkomen verschilt van de materiële implicatie in de mathematische logica. Een theorie en een praktijk die elkaar nauwelijks verstaan.
3. Voor een fysisch verantwoorde opzet van de verzamelingenleer is het nodig en voldoende om het idee "deel zijn van" $\subset$ op te vatten als grondgedachte, en "element zijn van" $\in$ als een speciaal geval hiervan in te voeren.
4. Er is in onze top-down benadering van de verzamelingenleer geen verschil tussen een "los" element $a$ en de verzameling $\{a\}$ die dat element als enige bevat. Dus : $\{a\} = a$.
5. $A$ kan element zijn van zichzelf, maar dan en slechts dan als de triviale partitie $\{A\}$ van $A$ wordt beschouwd. Dan is $A \in A$ en $\{A\}=A$. Indien er geen triviale partitie van $A$ gegeven is, dan kan $A$ geen element van zichzelf zijn. Dit lost mede de verzamelingen-paradox van Russell op.
6. Een "geordend paar" $(a,b)$ kan in onze top-down benadering zeker niet worden gedefinieerd door $\{a,\{a,b\}\}$, omdat geen twee verschillende elementen in een verzameling een deel gemeenschappelijk kunnen hebben.
7. Om dezelfde reden kunnen ordinaal-getallen niet worden gedefinieerd door alsmaar meer accoulades te zetten om de lege verzameling heen, zoals dat wordt gedaan in de zogenaamde "naieve" en onze "implementeerbare" verzamelingenleer.
8. Elementen en verzamelingen kunnen hun rollen omwisselen. Er is een dubbele opvatting mogelijk van de verhouding tussen element en verzameling. Het zijn duale begrippen.
9. Dubbele opvattingen zijn er ook wanneer men overgaat tot unificatie van implicatie en deelverzameling, van logische equivalentie en gelijkheid.
10. Steun voor een elementloze formulering van de verzamelingeleer wordt ook gevonden in de CAD hoek, de zogenaamde "Constructive Solid Geometry" (CSG), waar door middel van Booleaanse bewerkingen eenvoudige ruimtelijke vormen met elkaar worden gekombineerd. Niemand is nieuwsgierig naar de "elementen" van zo'n geometrisch model.
11. Er kan in onze top-down benadering geen verschil worden gemaakt tussen elementen en partities van een verzameling. Een elementenverdeling is hetzelfde als een klasse-indeling. Dit is consistent met de bewering dat er geen verschil bestaat tussen een gelijkheid en een equivalentierelatie.
12. Het geeft te denken dat juist op het punt van de sequentiële schakelingen de wegen van theorie en praktijk zich splitsen. Het voornaamste gebrek van de theoretische logika is dat de theorie volkomen statisch is: de tijd zit er niet in.
13. Een mogelijke oplossing voor de "paradoxen der implicatie" [Tarski] is een sequentiële interpretatie volgens [Gries]. Achterliggende gedachte is dat logische uitdrukkingen in de omgangstaal geoptimaliseerd worden, zoals in de compilerbouw praktijk is.
14. Het idee dat equivalentierelaties een generalisatie zouden zijn van het gelijkheidsbegrip is onjuist. Equivalentierelaties kunnen in het geheel niet onderscheiden worden van een "gewone" gelijkheid. Iedere gelijkheid is reeds bij voorbaat "in een zeker opzicht".
15. Volgens de school van Spencer Brown kan de ware aard van paradoxen worden toegelicht aan de hand van een fysisch paradigma, namelijk de oscillator.
16. Voor een kind op de lagere school is het verband tussen de rangtelwoorden (ordinaalgetallen) en hoeveelheden (kardinaalgetallen) moeilijk te leggen.

Aantekeningen

1. Het geeft te denken dat Alfred Tarski aan het begin van zijn boek het volgende schrijft: "In het oog van veel leken is de wiskunde thans een dode wetenschap". En verder: "zij heeft een ongewoon hoge graad van ontwikkeling bereikt, en is sindsdien versteend in starre volmaaktheid" [Tarski]. Volmaaktheid!
2. Tarski is skeptisch aangaande de methodologie der empirische wetenschappen, een skepsis die ook in onze tijd nog steeds gerechtvaardigd lijkt te zijn.
3. Doordat de ontwikkeling van het logisch denken, opgevat volgens Tarski, dermate los staat van het werkelijke leven, kan men ook niet verwachten dat diezelfde logika ook maar enige invloed had kunnen uitoefenen op de politiek ten tijde van de Tweede Wereldoorlog. Alleen al de suggestie in die richting, als zou kennis van de huidige wiskunde de wereld kunnen verbeteren! Trouwens, waarom zouden deze theoretici zich plotseling willen inlaten met "de wereld"?
4. Tarski gebruikt in zijn boek de term "logistiek" als synoniem voor het vak "mathematische logika". Dit is, gezien het gebruik van dezelfde term in het bedrijfsleven, maar dan in een heel andere betekenis: vrachtvervoer, enigszins verwarrend.
5. Wanneer het denken van de filosoof Wittgenstein zich heeft ontwikkeld van de "Tractatus" richting "Philosophische Untersuchungen", dan is het duidelijk dat, teneinde vordering te maken, men er goed aan doet het eerstgenoemde werk eenvoudig over te slaan.
6. Logika is, op zijn kortst gezegd: het uitrekenen van konklusies.
7. De rol van de veranderlijken is wel eens, heel treffend, vergeleken met die van de blanko gedeelten van een formulier, aldus Tarski. Dit is in ieder geval een veel betere opvatting als dat een variabele een verzameling waarden zou zijn.
8. Eenvoudig laat zich de (terug)weg van idealisatie beschrijven aan de hand van het gelijkheidsbegrip, tevens een belangrijk geval trouwens. Wij hebben de klassieke diskrete gelijkheid gematerialiseerd tot een lijken op $\equiv$ in een opzicht $I$ van eindig veel eigenschappen. Deze aspektverzameling $I$ zal de klassieke kollektie van "alle" predikaten beter benaderen naarmate zij meer eigenschappen bevat. Wanneer het aantal predikaten in de aspektverzameling $I$ "naar oneindig gaat", dan krijgen we de klassieke diskrete gelijkheid weer terug. Het geval $|I| \rightarrow \infty$ is dus een klassieke limiet.
9. Aan de voormalige T.H. Eindhoven waren twee hoogleraren verbonden die zich intensief bezighielden met computers. De ene heette E.W. Dijkstra en de andere N.G. de Bruijn (geen familie van mij). Dijkstra ontwikkelde een theorie waarmee men in staat zou zijn de korrektheid van computer programma's te bewijzen. De Bruijn ontwikkelde een taal, genaamd AUTOMATH, waarmee omgekeerd de korrektheid van een mathematisch bewijs door de computer zou kunnen worden nagegaan. Duidelijk is hier sprake van een vicieuze cirkel: laat AUTOMATH de korrektheid van een bewijs volgens Dijkstra en laat een korrektheidsbewijs volgens Dijkstra de goede werking van AUTOMATH aantonen.