overzicht   overview

Historisme

Bij onze analyse van het funktioneren zijn wij expliciet uitgegaan van het konkrete, materiële arbeidsproces. Onze abstraktie is van puur fysische aard; ze is met de grootst mogelijke zorg gedestilleerd uit de werkelijke ervaring. Maar ook de wiskunde moet zich niet verbeelden dat haar funktiebegrip louter ontsproten zou zijn aan het menselijk denkvermogen.

Bekend is dat verlichte intellektuelen van de zeventiende eeuw een buitengewone belangstelling aan de dag legden voor het werk van de ambachtsman. Op allerlei mogelijke manieren trachtte men lering te trekken uit de door arbeid verkregen ervaring der werkende mensen. Niet uit pure "liefhebberij" overigens, want de opkomende burgerij had goede ekonomische motieven om zich van de ambachtelijke praktijk meester te maken. Met de opkomst van arbeidsdeling in de manufaktuur ontstond de mogelijkheid, en tevens de noodzaak, om praktische ervaring op een systematische, winstgevende wijze uit te buiten. Door wederzijdse bevruchting van arbeid en intellekt kon de kiem van een nieuwe orde krachtig genoeg worden om zich te ontwikkelen. Het is bepaald geen toeval dat de omwenteling van de middeleeuwse maatschappij samenvalt met de geboorte van de moderne wetenschap en technologie.

Theoretische ontleding van het funktiebegrip is historisch eerst mogelijk geworden in het begin van de achttiende eeuw. In de eerste plaats valt de analyse van het produktieproces in zijn afzonderlijke fasen samen met de differentiatie van ambachtelijke bezigheid in verschillende deelbewerkingen. Eerst dank zij de ontwikkeling van eenvoudige, gesimplificeerde funkties in de sfeer der materiële produktie, kon het funktiebegrip als zodanig doorschouwd worden, en wiskundig geformuleerd. De eerste mathematische definitie schijnt gegeven te zijn door G.W. Leibnitz, als aanzet tot zijn differentiaalrekening. De bekende notatie $y = f(x)$ treft men voor het eerst aan bij A.C. Clairhaut en Leonhard Euler [Church1]. We schrijven 1748.

Het abstrakte begrip van een mathematische funktie wordt door geschiedkundigen gewoonlijk toegekent aan G. Lejeune Dirichlet, die in 1837 daartoe werd gebracht door een studie van Fourier reeksen. Door Frege (1879) werden funkties bevrijd van de beperking dat $x$ en $y$ getallen moeten zijn. Er kwamen funkties waarin de variabelen $x$ en $y$ ware of valse "proposities" ("volzinnen") voorstellen. Spoedig daarop dienden nog weer andere objekten zich aan: de verzamelingen van Georg Cantor.

Ook revoluties in het mathematisch denken dient men te plaatsen in de kontekst van het maatschappelijk gebeuren. Immers, hoe kan iemand op de gedachte komen dat maar liefst de hele wiskunde uit Verzamelingen is opgebouwd, wanneer niet de samenleving zelf haar rijkdommen heeft geaccumuleerd tot enorme kollekties, ja wanneer niet de maatschappij als geheel de gedaante heeft aangenomen van een kolossale opeenhoping van waren. Inderdaad heeft het ontstaan van de wiskundige verzamelingenleer haar maatschappelijke parallel in de gigantische samenvoeging van goederen welke de overgang naar het monopoliekapitalisme markeren. Ook het milieu waarin Georg Cantor zelf opgroeide zal niet vreemd zijn aan dit inzicht. Cantor, de grondlegger van de verzamelingenleer, is uit een koopmansgezin afkomstig. En zijn "Mengenlehre" dateert van omstreeks 1900. De hardnekkigheid waarmee de verzamelingenleer stand houdt, ondanks haar falen op alle denkbare fronten, kan redelijkerwijs alleen maar worden verklaard door het feit dat zij de mathematische verwoording bij uitstek is van Ideëen die nodig zijn om ons maatschappelijk bestel, ten koste van alles, in stand te houden. Daarom wordt de verzamelingenleer door mij ook wel het supermarkt paradigma genoemd.

Was in achttiende eeuwse opvattingen de dialektiek van het funktioneren nog wel enigzins te herkennen, in de verzamelingstheoretische definitie ging zij geheel en al verloren. Wel begrijpelijk voor de wetenschap van een elite die slechts rekent in termen van investering en opbrengst: Domein en Bereik van funkties. Natuurlijk is het niet de grootste interesse van een handelaar dat er ook nog gewerkt moet worden om de ene berg waren in de andere te transformeren. Deze belangstelling kan men daarom ook moeilijk nog verwachten bij het eigen wetenschappelijk personeel. Geen enkele aanduiding dus meer van het feit dat de ene verzameling eerst uit de andere geproduceerd moet worden, en dat zoiets gepaard gaat met arbeid, uitgestrekt in een zekere spanne tijds. Arbeid adelt.

Het "klassieke" funktiebegrip is inderdaad volkomen statisch van opzet: nergens komt de hinderlijke faktor tijd nog ter sprake. Buitengewoon typerend voor de denkwijze van de moderne ondernemer is dat men zelfs het werken als zodanig zou willen ontkennen, door de waardevormende funktie van de arbeid terug te brengen tot niets meer dan een reeds bestaande relatie, welke slechts aan bepaalde eisen van zekerheid voldoet. Bij elke waarde uit het grondstoffendomein hoort in ieder geval een waarde uit het produktenbereik. Wij rekapituleren volledigheidshalve de klassieke definitie, een kopie uit [vanLint]:

Het hoeft bepaald geen verwondering te wekken wanneer deze zeer onzorgvuldige, vooringenomen wijze van abstraheren vroeg of laat aanleiding geeft tot grove theoretische onvolkomenheden, met belabberde konsekwenties voor de praktijk. Veel paradoxen van het formalistische systeem zijn eigenlijk niets anders dan een idealistische weerspiegeling van de kijk die "zakenmensen" nu eenmaal op natuur en maatschappij hebben, en missen daarom elk wetenschappelijk gewicht. We zullen als illustratief voorbeeld straks behandelen het "probleem" van tijd en geld.

Rond 1910 begint de situatie werkelijk interessant te worden. Op het toneel van de wiskunde verschijnt niemand minder dan de (geïdealiseerde) hoofdarbeider in eigen persoon: het "kreatieve subjekt" van de intuïtionisten. Naarmate het funktiebegrip verder aan de werkelijkheid wordt ontrukt, moet de polarisatie tussen waar en werken uitgroeien tot een openlijke en uiterlijke tegenstelling.

Het formalisme vertegenwoordigt de ene pool, het intuïtionisme de andere. De formalist gaat ervan uit dat wiskundige goederen er zonder meer "zijn". Hij hoeft ze alleen maar als zodanig in beslag te nemen, en dat doet hij door ze met een "bewijs" op hun waarde te taxeren. De intuïtionist ziet in dat ook wiskundige waarheden niet zonder meer "aanwezig zijn". Men zal ze eerst op de een of andere manier moeten scheppen. Het kreatieve subjekt produceert metterdaad zijn eigen wiskunde, in een geestelijk arbeidsproces dat werkelijk, in de tijd, verloopt. Men ziet hoe het konflikt tussen "de kikker en de muis" (: Albert Einstein over het verschil van inzicht tussen de formalist Hilbert en de intuïtionist Brouwer) wellicht meer behelst dan een vrijblijvende, puur mathematische kontroverse.

Marx beweerde de kennistheorie van Hegel "op zijn kop te zetten". Dit betekende een omslag van idealisme in materialisme, waarbij de dialektiek behouden bleef. Zo ook ook met het intuïtionisme van Brouwer, een stroming die het - reeds aan de klassieke wiskunde immanente - idealisme tot in zijn uiterste konsekwenties heeft doorgetrokken [LEJ].

Brouwer zegt letterlijk: "Niet alleen bestaat de wiskunde onafhankelijk van alle ervaring, maar ook bestaat alle ervaring onafhankelijk van alle wiskunde." Door dit extreem idealistische standpunt in te nemen heeft de beweging op haar beurt geprovoceerd tot een reaktie, de weg geëffend voor haar materialistische tegenpool. Men hoeft de gekwote stelling maar op zijn kop te zetten om daarmee een standpunt te krijgen dat vrij nauwkeurig de inhoud van dit boek samenvat. Vermits met de beide benen op de grond gezet, verschilt het "kreatieve subjekt" van Brouwer niet wezenlijk van een mens die zijn werk doet. De intuïtionistische wiskunde is weliswaar een fata morgana, maar dient desondanks te worden gezien als een uiterst getrouwe} luchtspiegeling van een stuk realiteitszin, dat van oudsher ten grondslag ligt aan het vak.

De laatste belangrijke uitbreiding van het funktiebegrip, voorzover ik dat heb kunnen nagaan, is afkomstig van Alonzo Church (1951). Church huldigt in al zijn werk de konsekwente, en mijns inziens ook enig juiste opvatting, dat funkties "operaties" zijn. De Lambda Calculus van Church is qua opzet zelfs een poging om de gehele wiskunde te baseren op Funkties, in plaats van op Verzamelingen. Een verworvenheid van het systeem van Church is bijvoorbeeld dat funkties ook op zichzelf kunnen inwerken, iets wat in het verzamelingstheoretische stramien niet of slechts op gekunstelde wijze mogelijk is. De Lambda Calculus heeft een aantal praktische konsekwenties gehad voor de diverse programmeertalen. In de computertaal LISP komt een LAMBDA operator zelfs expliciet voor [Church2] [LISP]. Lambda definieerbare funkties zijn exakt dezelfde als die berekenbaar zijn met zogenaamde Turing machines, zoals is aangetoond door Turing en Kleene in 1937. Eenvoudig gezegd komt het erop neer dat iedere funktie die op een ("ideale") computer kan worden berekend ook een plaats heeft in het systeem van Church, en omgekeerd. Een waardevolle concurrerende visie, die overigens qua aantal aanhangers veruit in de minderheid is. Een mogelijke verklaring voor het relatief geringe succes van Alonzo Church is dat het betoog van zijn volgelingen al te vaak verdrinkt in "syntax par exellance" ritueel, dat onvoldoende zeggingskracht naar buiten heeft.

Kon in het kader van de formalisten een uitgekleed en verminkt funktiebegrip op zijn plaats zijn, de opkomst van een computerindustrie zou de wiskunde vroeg of laat met de neus op de feiten drukken. "Moeten funkties direkt en volledig deel uitmaken van relaties? Dat denk ik niet"; aldus een hoogleraar in de Computer Science. Maar in plaats van tot een kritische herformulering te komen van het funktiebegrip als zodanig, wat nog relatief eenvoudig geweest zou zijn, gingen de wiskundigen over tot het definieren van een hele menigte "nieuwe" begrippen. Elke definitie moest weer een ander aspekt benadrukken van een en hetzelfde arbeidsproces, zonder het overigens in zijn geheel te vatten. Ik noem enkele termen die vrijwel syoniem zijn: funktie (uiteraard), (differentiaal)operator, afbeelding, dynamisch systeem, Turing-machine, (Markov) algoritmen, produkties (van Post), en zelfs: berekening, redenering. In de Informatica zelf maakt men het al even bont: function, subroutine, programma, script, exec-file, commando, App. Al te veel namen voor al te veel onbenullige variaties op hetzelfde thema.

Laten we Preston C. Hammer nog even aan het woord: "Het gebruik van de funktie schrijfwijze zou een grote vereenvoudiging betekenen voor veel bewerkingen die nu op een onhandige manier voor elkaar komen, maar er heerst een vreemd taboe tegen de notatie." Men ziet hoe wiskunde en informatica blijkbaar niet in staat zijn om een gemeenschappelijke grondtrek te herkennen in begrippen die aan de basis liggen. "Er is wellicht geen beter voorbeeld van gemiste kansen dan in de behandeling van funkties. Ik voel dat juist hier de belangrijkste veranderingen met onmiddelijke ingang kunnen worden doorgevoerd" [PC1].