Het heeft er de schijn van dat de sensor $S$ een zekere plaats toekomt binnen het raamwerk van de klassieke elektrodynamika. In [RPF] deel II lezen we over de theorie van Bopp. Nauw verwant hiermee is de eigen theorie, die hieronder wordt gerepresenteerd. Wanneer men met het elektron meebeweegt, dan wordt van alle elektromagnetische grootheden alleen de elektrische komponent waargenomen. Inzoverre is de theorie dus algemeen.
We hebben gezien dat de veld-energie van een elektron, zoals die berekend wordt volgens de klassieke elektrodynamika, uitkomt op een oneindige grootheid. Vraag is nog steeds wat daarvan de oorzaak is. Om die vraag te kunnen beantwoorden zullen we van begin af aan beter moeten kijken naar wat er in de werkelijkheid gebeurt.
De veldsterkte van het elektron wordt \geintegreerd. Deze veldsterkte wordt op haar beurt afgeleid van de wet van Coulomb, een wet die met grote experimentele nauwkeurigheid is vastgesteld. Wat mankeert er dan aan? Wel, die experimentele nauwkeurigheid! Het meten gaat altijd met behulp van een "voelspriet". De gevoeligheid van zo'n meting is wel groot, maar ook weer niet zo groot dat op de plaats van de puntlading zelf ooit een oneindig grote veldsterkte gemeten zou kunnen worden. We hebben duidelijk vastgesteld dat het oneindige fysisch niet bestaat.
Alles goed en wel, maar het is toch niet aannemelijk dat voor de veldsterkte dan maar iets moet worden gesubstitueerd wat door ons stervelingen via de de een of andere grove meetmethode wordt waargenomen? Dat zou toch een volkomen willekeurige gang van zaken zijn? Inderdaad. Maar er is licht aan het eind van de tunnel. Wordt er in de QuantumElektroDynamika immers niet gesproken over de zelf-energie van het elektron? Dat is de energie die het elektron als het ware van zichzelf opmeet. Alvorens deze energie met voortvarendheid te berekenen, wat zou men denken van de "zelf-veldsterkte" van het elektron? Dat zou dan de veldsterkte zijn die het elektron, met zijn eigen sensor, met een zeer grote eigen gevoeligheid, van $ \hbar / m_0 c $ om zichzelf heen "waarneemt".
Op grond van het bovenstaande identificeren wij de gevoeligheid $\sigma$ van de sensor $\exp(- \frac{1}{2} \sigma^2 \nabla^2) $ met de fundamentele quantummechanische ruimtebegrenzing voor deeltjes in rust: $$ \sigma = \frac{ \hbar }{ m_0 c } $$ Merk op dat, naarmate de deeltjes groter worden, de rustmassa evenredig groter wordt, de spreiding $\sigma$ dus kleiner, en de operator $S$ steeds meer gaat lijken op convolutie met een zeer steile piek: $$ \lim_{\sigma \rightarrow 0} \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } e^{\, -t^2 / 2\sigma^2 } = \delta (t) $$ Voor klassieke deeltjes is dus een met onnauwkeurigheid bewerkte golffunktie of veldsterkte of elke andere grootheid gelijk aan zichzelf: $S \Psi = \Psi$, een gevolg van de diafragma-eigenschap voor delta-funkties.
De veldsterkte voor een puntlading is $E = q/(4\pi\epsilon_0 r^2) $. We kunnen nu het een en ander echt uitwerken. Een eerste aanzet luidt als volgt: $ \tilde{E}(x,y,z) = $ $$ \left( \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } \right)^3 \iiint \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 ( \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 ) } \, e^{\, - [ (\xi - x)^2 + (\eta - y)^2 + (\zeta - z)^2 ] / 2\sigma^2 } \; d\xi d\eta d\zeta $$ Het lijkt interessant om eerst een speciaal geval te onderzoeken, namelijk de waarde van $\tilde{E}$ in de oorsprong: $\tilde{E}(0,0,0)$. De ruimte-integraal kan dan worden uitgerekend met behulp van bolschillen: $$ \tilde{E}(r=0) \quad = \quad \left( \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } \right)^3 \int_0^\infty \, \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} e^{ - r^2 / 2 \sigma^2 } \, 4 \pi r^2 dr = $$ $$ \left( \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } \right)^3 \frac{q}{\epsilon_0} \int_0^\infty e^{- r^2 / 2 \sigma^2 } d r = \left( \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } \right)^3 \frac{q}{\epsilon_0} \frac{1}{2} \sigma \sqrt{2\pi} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 \sigma^2 } = E(\sigma) $$ Dit is een fraaie uitkomst. Wanneer men de veldsterkte $E(r)$ korrigeert voor de eindige afmetingen van het elektron, en vervolgens de waarde bepaalt in de oorsprong, dan is het alsof men de "exakte" veldsterkte bepaalt op de rand van het "harde bolletje" met straal $\sigma$ dat elektron heet.
De funktie $\tilde{E}$ is bolsymmetrisch om de oorsprong. Het is dus voldoende de gemeten veldsterkte in \een\ richting, bijvoorbeeld de x-as, te bestuderen. Om deze as kan men cylinder co\"ordinaten invoeren: $ \eta^2+\zeta^2 = r^2 $ en $ d\eta d\zeta = 2 \pi r \, dr $. Zonder beperking van de algemeenheid is dan: $$ \tilde{E} = \left( \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } \right)^3 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ - (x-\xi)^2 / 2 \sigma^2 } \left[ \int_0^\infty \, \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 (\xi^2 + r^2) } e^{ - r^2 / 2 \sigma^2 } \, 2 \pi r \, dr \right] d \xi $$ Het is zinvol om dimensieloze grootheden in te voeren: deel de lengtematen $x, \xi, r $ door de elementaire afstand $\sigma$. Dan komt er na vereenvoudiging: $$ \tilde{E} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 \sigma^2} \frac{1}{2 \sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{ - \frac{1}{2} (x-\xi)^2 } \left[ \int_0^\infty \, \frac{ e^{ - \frac{1}{2} r^2 } }{ r^2 + \xi^2 } \, dr^2 \right] d \xi $$ De integraal tussen vierkante haken is, via $t = \frac{1}{2} ( r^2 + \xi^2 ) $, equivalent met: $$ e^{\frac{1}{2} \xi^2} \int_{\frac{1}{2} \xi^2}^\infty \frac{ e^{- t} }{t} dt = - e^{\frac{1}{2} \xi^2} \int_{-\infty}^{-\frac{1}{2}\xi^2} \frac{ e^{\,t}}{t} dt $$ De laatste integraal is een oude bekende, waarvan we inmiddels dus weten dat zij niet analytisch te berekenen is. Het is namelijk weer de "exponenti\"ele integraal", gedefinieerd als: $ Ei(x) = \int_{-\infty}^x \exp(t)/t \, dt $.
Omdat een formule voor de eigen-veldsterkte van het elektron blijkbaar niet te verkrijgen is in gesloten vorm, is de enige weg die ons nu nog openstaat een numerieke benadering. We gaan hiertoe uit van de volgende expressie, welke uit het bovenstaande kan worden afgeleid: $$ 2 \sqrt{ 2\pi } \, \tilde{E}(x) / E(\sigma) = e^{-\frac{1}{2} x^2} \int_0^{\infty} \left( e^{x\xi} + e^{-x\xi} \right) \left[ - Ei( - \frac{1}{2} \xi^2 ) \right] d \xi $$ Natuurlijk kunnen we in de computer geen getallen $[ -\infty, +\infty ]$ kwijt. We nemen in plaats daarvan een redelijk groot "betrouwbaarheids"interval, zeg van de orde $6 \sigma$ (zie Statistiek). Funkties worden binnen \een\ $\sigma$ benaderd met een stuk of wat stappen, zeg $30$. We berekenen in zo'n 40 punten van de x-richting door numerieke integraties de funktiewaarde $\tilde{E}(x)$, en plotten het resultaat op het scherm. Volgt hier de listing van het BASIC programma dat bij dit probleem behoort:
10 REM Eigen Veldsterkte van het Elektron 20 REM ================================== 30 REM Exponentiele integraal -Ei(-x^2/2): 40 RM=6 : KR=30 : DR=1/KR : LR=KR*RM 50 DIM EI(LR) : G=0 : EI(LR)=G : T=-.5*RM^2 60 FOR K=1 TO LR-1 : R=-RM+K*DR : TV=T : T=-.5*R^2 70 DT=T-TV : Y=-SQR(T*TV) : REM Meetkundig gemiddelde 80 G=G+EXP(Y)/Y*DT : EI(LR-K)=-G : NEXT K 110 REM Raster tekenen: 120 SCREEN(1) : CLS : COLOR 0,1 : SC=39 130 FOR I=1 TO 6 : Y=199-(I-1)*SC 140 LINE(0,Y)-(319,Y),1 : NEXT I 150 FOR I=1 TO 9 : X=(I-1)*SC 160 LINE(X,0)-(X,199),1 : NEXT I 175 PI=4*ATN(1) : VEEL=2*SQR(2*PI) 180 REM Laplace integraal van -Ei(-x^2/2): 185 XM=8 : KX=5 : DX=1/KX : LX=KX*XM 190 XV=0 : GV=VEEL : VV=VEEL 210 FOR I=1 TO LX : X=(I-1)*DX 225 FOR K=1 TO LR : R=K*DR 230 T=(EXP(R*X)+EXP(-R*X))*EI(K) 235 IF K=1 THEN G=.5*T*DR 240 G=G+T*DR : NEXT K : G=EXP(-X^2/2)*G 250 REM Klassieke & numerieke oplossing: 260 IF I<=KX THEN V=VEEL 270 IF I>KX THEN V=VEEL/X^2 280 LINE (SC*XV,199-SC*VV)-(SC*X,199-SC*V),2 290 LINE (SC*XV,199-SC*GV)-(SC*X,199-SC*G),3 300 XV=X : GV=G : VV=V : NEXT I 320 IF INKEY$="" THEN 320 ELSE ENDIn verband hiermee een vraag op het Mathematics forum: Integral of exponential integral .
Op grond van analytische argumenten (uit de Statistiek) kan men echter inzien
dat de veldsterkte keurig de klassieke waarde benadert voor $ r \gg \sigma $.
Het resultaat van een waarneming met sensor $S$ van een gemeten funktie
$g(x,y,z)$ is in het algemeen een convolutie-integraal: $$ \tilde{g} =
\iiint f(\xi,\eta,\zeta) g(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) d\xi d\eta d\zeta $$
Hierin is $f$ de sensor-funktie en $g$ de gemeten funktie.
Ontwikkel $g$ in een Taylor reeks om $(\xi,\eta,\zeta)=(0,0,0)$:
$$ g(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) \; \approx \; g(x,y,z) $$
$$ - \xi \frac{\partial g}{\partial x} - \eta \frac{\partial g}{\partial y} - \zeta \frac{\partial g}{\partial z}$$
$$ + \frac{1}{2} \xi^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \frac{1}{2} \eta^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}
+ \frac{1}{2} \zeta^2 \frac{\partial^2 g}{\partial z^2}$$
$$ + \xi\eta \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} + \eta\zeta \frac{\partial^2 g}{\partial y \partial z}
+ \zeta\xi \frac{\partial^2 g}{\partial z \partial x}$$
In deze uitdrukking hangen de \partiele\ differentiaal \quotienten\ niet langer
af van $(\xi,\eta,\zeta)$ omdat ze berekend zijn voor
$(\xi,\eta,\zeta)=(0,0,0)$. Zodat de convolutie-integraal ten naaste bij
gelijk wordt aan:
$$ g(x,y,z) \iiint \, f \, d\xi d\eta d\zeta $$ $$ \, - \, \frac{\partial g}{\partial x}
\iiint \xi \, f \, d\xi d\eta d\zeta \, - \, \frac{\partial g}{\partial y}
\iiint \eta \, f \, d\xi d\eta d\zeta \, - \, \frac{\partial g}{\partial z}
\iiint \zeta \, f \, d\xi d\eta d\zeta \; + $$ $$
\frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial x^2}\iiint \xi^2 \, f \, d\xi d\eta d\zeta \, + \,
\frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}\iiint \eta^2 \, f \, d\xi d\eta d\zeta \, + \,
\frac{1}{2} \frac{\partial^2 g}{\partial z^2}\iiint \zeta^2\, f \, d\xi d\eta d\zeta + $$
$$ \frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}\iiint \xi \eta \, f \, d\xi d\eta d\zeta \, + \,
\frac{\partial^2 g}{\partial y \partial z}\iiint \eta \zeta \, f \, d\xi d\eta d\zeta \, + \,
\frac{\partial^2 g}{\partial z \partial x}\iiint \zeta \xi \, f \, d\xi d\eta d\zeta $$
De eerste integraal is per definitie gelijk aan $1$. De volgende 3 integralen
zijn gelijk aan de verwachtingswaarde van de sensor-funktie, en daarom gelijk
aan $0$. De volgende 3 integralen zijn gelijk aan de spreidingen van de
sensor-funktie in de diverse coordinaat-richtingen. De laatste 3 integralen
tenslotte zijn nul. Dus: $$ \tilde{g} \approx
g + \frac{1}{2} \sigma_x^2 \frac{\partial^2 g}{\partial x^2} + \frac{1}{2} \sigma_y^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2}
+ \frac{1}{2} \sigma_z^2 \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = g + \frac{1}{2} \sigma^2 \nabla^2 g $$
Een asymptotische benadering voor grote afstanden, die ook te vinden is
in menig boek over Statistiek [SC].
Toegepast op de veldsterkte rondom het elektron:
$$ \nabla^2 \frac{1}{r^2} =
\frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} r \frac{1}{r^2} = \frac{2}{r^4} $$
En dus:
$$ \tilde{E} \approx E \left( 1 + \frac{\sigma^2}{r^2} \right) \qquad \mbox{ (veraf) } $$
De gevonden uitdrukking is een goede benadering voor de veldsterkte op redelijke
tot grote afstand van de puntlading. Men ziet hoe de korrektie op de klassieke
veldsterkte snel afneemt tot nul. We vinden een veldsterkte $\tilde{E}(x,y,z)$
die voor punten "ver" van de oorsprong veel gelijkenis vertoont met de klassieke
veldsterkte $E(x,y,z)$.
Houdt men vast aan een waarde $ \hbar / m_0 c $ voor de onnauwkeurigheid in de
positie van het elektron, dan is het elektromagnetische aandeel in de massa van
het elektron slechts een fraktie van het totaal: in de orde van grootte van de
fijnstruktuur-konstante ofwel $ 1/137$ (: zie appendix "Natuurkonstanten"). Dit
resultaat komt niet geheel onverwacht [RPF].
Het blijkt dat we de bij de operator $S$ behorende exponent ook tegenkomen in het linkerlid van de Schrödinger vergelijking, mits we even de moeite nemen om de laatste dimensieloos te maken. We schrijven iets anders dan gewoonlijk: $$ \left[ \frac { E }{ m_0 c^2 } + \frac{1}{2} \left( \frac{\hbar}{m_0 c} \right)^2 \nabla^2 \right] \Psi = \frac{ V }{ m_0 c^2 } \Psi $$ Blijkbaar is de (operator voor) kinetische energie gedeeld door rustenergie gerelateerd aan het "volume" dat een "elementair deeltje" in de ruimte inneemt. Wanneer de potentiaal $V$ gelijk aan nul is, dan is de term $E / (m_0 c^2)$ gelijk aan \een. Links van het gelijkteken staan dan de eerste twee termen van de (Taylor)reeksontwikkeling voor $S$, ook wel bekend als "de infinitesimale transformatie" (: Lie groepen) behorend bij $\exp(\frac{1}{2} \sigma^2 \nabla^2 )$.