overzicht   overview

Laplace en statistiek

Bekend vanuit de quantummechanika is het volgende: de wet van behoud van impuls wordt afgeleid van translatie-symmetrie. Wanneer men een fysisch systeem kan verplaatsen zonder dat daarbij zijn eigenschappen veranderen, dan geldt in dat systeem impulsbehoud. Maar de grondslag van deze stelling is puur mathematisch, en kan als volgt worden begrepen. Zetten we op de reeksontwikkeling van een funktie $ f(x+\xi) $ rondom $x$ : $$ f(x+\xi) = \sum_{k=0}^\infty \frac{ \xi^k }{ k ! } f^{(k)}(x) = \left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left( \xi \ \frac{d}{dx} \right)^k \right] f(x) $$ In de uitdrukking tussen vierkante haken herkennen wij de reeksontwikkeling van $ e^x $, zodat we symbolisch kunnen schrijven: $$ f(x+\xi) = e^{ \, \xi \frac{d}{dx} } f(x) $$ Beschouw naar aanleiding hiervan een willekeurige convolutie-integraal: $$ \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi) \phi(x-\xi) \, d\xi $$ Convolutie integralen komen vaak voor. Bij een lineair systeem is de respons op een verstoring de convolutie-integraal van die verstoring met de zogenaamde eenheids-respons. De eenheids-respons is de manier waarop het systeem reageert op de allereenvoudigste verstoring, dat is een steile piek van zeer korte duur op het tijdstip nul, een "delta-funktie". Convolutie integralen kunnen we met behulp van de operator-uitdrukking voor $ f(x-\xi) $ als volgt herschrijven: $$ \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi) e^{ \, - \xi \frac{d}{dx} } \, d\xi \quad \phi(x) $$ De integraal in deze uitdrukking komt ons, als het goed is, zeer bekend voor. Heel "toevallig" is dit namelijk juist de (dubbelzijdige) Laplace transformatie: $$ H(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \! h(\xi) e^{\, - \xi p} \, d\xi $$ De integraal van Laplace komt dus heel spontaan te voorschijn bij elementaire beschouwingen over convolutie-integralen in kombinatie met OperatorenRekening. De formule voor de convolutie-integraal laat zich nu ook als volgt schrijven: $$ H(\frac{d}{dx}) \, \phi(x) $$ Dat Laplace transformaties een bijzonder krachtig middel zijn om differentiaal vergelijkingen op te lossen, kan men nu licht inzien. Stel dat we een lineaire inhomogene differentiaal vergelijking hebben, in het algemeen van de vorm: $$ D( \, \frac{d}{dx} ) \, \phi(x) = f(x) $$ Dan kunnen we met OperatorenRekening de oplossing onmiddelijk schrijven als: $$ \phi(x) = \frac{1}{ D( \, \frac{d}{dx} ) } f(x) $$ Stel $ H(d/dx) = 1/D(d/dx) $ , dan luidt de opgave: vindt de omgekeerde Laplace transformatie van $ H(p) $. Noem deze voor het gemak $ h(x) $. De oplossing vinden gaat dan verder helemaal volgens bovenstaand recept: $$ \phi(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi) f(x-\xi) \, d\xi $$ Onderzoek de Laplace getransformeerde van $\exp(-\mu t^2)$: $$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\, -pt} e^{\,-\mu t^2} \, dt = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\,-\mu x^2} \, dx . e^{\, p^2/4\mu } = \sqrt{ \frac{\pi}{\mu} } e^{\, p^2 / 4\mu } $$ met behulp van: $ x = t + p/2\mu $. Laplace getransformeerde $H$ en omgekeerd Laplace getransformeerde $h$ hangen na vervanging van $1/4\mu$ door $1/2\sigma^2$, als volgt met elkaar samen: $$ H(p) = e^{\, \frac{1}{2} \sigma^2 p^2 } \quad \Longleftrightarrow \quad h(t) = \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } e^{\, -t^2 / 2\sigma^2 } $$ Een convolutie integraal met daarin de normale verdeling $h(t)$ is dus met behulp van OperatorenRekening te schrijven als: $$ \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi) \phi(x-\xi) \, d\xi = e^{\, \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{d^2}{dx^2} } \phi(x) $$ De fysische betekenis hiervan is dat de operator $\exp(\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{d^2}{dx^2}) $ de funktie $\phi(x)$ volgens een Gauss funktie "uitsmeert" over gebiedjes met afmetingen van de orde $ \sigma $. Dergelijke operatoren zullen blijken van pas te komen wanneer we de klassieke analyse via een "top down" benadering op Toepasselijkheid willen onderzoeken.

Bovengenoemde "top down" benadering van de analyse is geen uitvinding van onszelf. Ze staat van oudsher bekend onder de naam WaarschijnlijkheidsRekening of Statistiek. In de Statistiek spreekt men van "moment genererende funkties", dat zijn de verwachtingswaarden van de exponentiële funktie $\exp(pt)$; dus met andere woorden: Laplace getransformeerden van kansdichtheden. Volgens het Statistisch Compendium [SC] vinden we voor de moment genererende funktie van de Normale (Gauss) Verdeling, nogmaals: $$ M(t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \, \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp \left[ \frac{ - (x - \mu)^2 }{ 2 \sigma^2 } \right] e^{tx} \, dx = $$ $$ \frac{ e^{\mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2 } }{ \sigma \sqrt{ 2 \pi }} \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp \left[ \frac{ - (x-\mu-\sigma^2 t)^2}{ 2 \sigma^2} \right] \, dx = e^{\mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2 } $$ De dienovereenkomstige Normale "uitsmeer"-operator is in het algemeen dus: $$ M(\frac{d}{dx}) = e^{\mu \frac{d}{dx} + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{d^2}{dx^2} } = e^{\mu \frac{d}{dx}} \, e^{\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{d^2}{dx^2} } $$ Maar de uitkomst is ook direkt toepasbaar op het volgende probleem. Beschouw de (partiële differentiaal)vergelijking voor diffusie van warmte in ruimte en tijd: $$ \frac{\partial T}{\partial t} = a \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} $$ Maak hiervan in eerste instantie: $$ \lambda \frac{\partial}{\partial t} T = \lambda a \frac{\partial^2}{\partial x^2} T $$ Vervolgens nemen we aan beide zijden de exponent van de operator ter plaatse: $$ e^{\lambda \partial/\partial t } \, T = e^{\lambda a \partial^2/\partial x^2 } \, T $$ Aan beide kanten staan operator-expressies die met de zojuist verworven kennis kunnen worden omgezet in klassieke uitdrukkingen: $$ T(x,t+\lambda) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi) T(x-\xi,t) \, d\xi $$ Hierin is, met $ \frac{1}{2} \sigma^2 = \lambda a $: $$ h(t) = \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } \, e^{\, -t^2 / 2\sigma^2 } $$ Verwissel nu $t$ en $\lambda$, en stel vervolgens $\lambda = 0$. Dan vinden we, langs een uiterst korte route, de oplossing van de diffusie-vergelijking: $$ T(x,t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \! \frac{1}{\sqrt{4\pi a t}}\, e^{\, - \xi^2/(4 a t) }\, T(x-\xi,0) \, d\xi $$