overzicht overview
Laplace en statistiek
Bekend vanuit de quantummechanika is het volgende: de wet van behoud van impuls
wordt afgeleid van translatie-symmetrie. Wanneer men een fysisch systeem kan
verplaatsen zonder dat daarbij zijn eigenschappen veranderen, dan geldt in dat
systeem impulsbehoud. Maar de grondslag van deze stelling is puur mathematisch,
en kan als volgt worden begrepen. Zetten we op de reeksontwikkeling van een
funktie $ f(x+\xi) $ rondom $x$ :
$$ f(x+\xi) = \sum_{k=0}^\infty \frac{ \xi^k }{ k ! } f^{(k)}(x)
= \left[ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}
\left( \xi \ \frac{d}{dx} \right)^k \right] f(x) $$
In de uitdrukking tussen vierkante haken herkennen wij de reeksontwikkeling van
$ e^x $, zodat we symbolisch kunnen schrijven:
$$ f(x+\xi) = e^{ \, \xi \frac{d}{dx} } f(x) $$
Beschouw naar aanleiding hiervan een willekeurige convolutie-integraal:
$$ \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi) \phi(x-\xi) \, d\xi $$
Convolutie integralen komen vaak voor. Bij een lineair systeem is de respons
op een verstoring de convolutie-integraal van die verstoring met de zogenaamde
eenheids-respons. De eenheids-respons is de manier waarop het systeem reageert
op de allereenvoudigste verstoring, dat is een steile piek van zeer korte duur
op het tijdstip nul, een "delta-funktie". Convolutie integralen
kunnen we met behulp van de operator-uitdrukking voor $ f(x-\xi) $ als volgt
herschrijven: $$ \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi)
e^{ \, - \xi \frac{d}{dx} } \, d\xi \quad \phi(x) $$
De integraal in deze uitdrukking komt ons, als het goed is, zeer bekend voor.
Heel "toevallig" is dit namelijk juist de (dubbelzijdige) Laplace transformatie:
$$ H(p) = \int_{-\infty}^{+\infty} \! h(\xi) e^{\, - \xi p} \, d\xi $$
De integraal van Laplace komt dus heel spontaan te voorschijn bij elementaire
beschouwingen over convolutie-integralen in kombinatie met OperatorenRekening.
De formule voor de convolutie-integraal laat zich nu ook als volgt schrijven:
$$ H(\frac{d}{dx}) \, \phi(x) $$
Dat Laplace transformaties een bijzonder krachtig middel zijn om differentiaal
vergelijkingen op te lossen, kan men nu licht inzien. Stel dat we een lineaire
inhomogene differentiaal vergelijking hebben, in het algemeen van de vorm:
$$ D( \, \frac{d}{dx} ) \, \phi(x) = f(x) $$
Dan kunnen we met OperatorenRekening de oplossing onmiddelijk schrijven als:
$$ \phi(x) = \frac{1}{ D( \, \frac{d}{dx} ) } f(x) $$
Stel $ H(d/dx) = 1/D(d/dx) $ , dan luidt de opgave: vindt de omgekeerde
Laplace transformatie van $ H(p) $. Noem deze voor het gemak $ h(x) $.
De oplossing vinden gaat dan verder helemaal volgens bovenstaand recept:
$$ \phi(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi) f(x-\xi) \, d\xi
$$
Onderzoek de Laplace getransformeerde van $\exp(-\mu t^2)$:
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{\, -pt} e^{\,-\mu t^2} \, dt =
\int_{-\infty}^{+\infty} e^{\,-\mu x^2} \, dx . e^{\, p^2/4\mu }
= \sqrt{ \frac{\pi}{\mu} } e^{\, p^2 / 4\mu } $$
met behulp van: $ x = t + p/2\mu $.
Laplace getransformeerde $H$ en omgekeerd Laplace getransformeerde $h$ hangen
na vervanging van $1/4\mu$ door $1/2\sigma^2$, als volgt met elkaar samen:
$$ H(p) = e^{\, \frac{1}{2} \sigma^2 p^2 } \quad \Longleftrightarrow \quad
h(t) = \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } e^{\, -t^2 / 2\sigma^2 } $$
Een convolutie integraal met daarin de normale verdeling $h(t)$ is dus met
behulp van OperatorenRekening te schrijven als:
$$ \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi) \phi(x-\xi) \, d\xi =
e^{\, \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{d^2}{dx^2} } \phi(x) $$
De fysische betekenis hiervan is dat de operator
$\exp(\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{d^2}{dx^2}) $ de funktie $\phi(x)$ volgens een
Gauss funktie "uitsmeert" over gebiedjes met afmetingen van de orde $ \sigma $.
Dergelijke operatoren zullen blijken van pas te komen wanneer we de klassieke
analyse via een "top down" benadering op Toepasselijkheid willen onderzoeken.
Bovengenoemde "top down" benadering van de analyse is geen uitvinding van
onszelf. Ze staat van oudsher bekend onder de naam WaarschijnlijkheidsRekening
of Statistiek. In de Statistiek spreekt men van "moment genererende funkties",
dat zijn de verwachtingswaarden van de exponentiële funktie $\exp(pt)$; dus
met andere woorden: Laplace getransformeerden van kansdichtheden. Volgens het
Statistisch Compendium [SC] vinden we voor de moment
genererende funktie van de Normale (Gauss) Verdeling, nogmaals:
$$ M(t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} \, \int_{- \infty}^{+ \infty}
\exp \left[ \frac{ - (x - \mu)^2 }{ 2 \sigma^2 } \right] e^{tx} \, dx = $$
$$ \frac{ e^{\mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2 } }{ \sigma \sqrt{ 2 \pi }}
\int_{- \infty}^{+ \infty}
\exp \left[ \frac{ - (x-\mu-\sigma^2 t)^2}{ 2 \sigma^2} \right] \, dx =
e^{\mu t + \frac{1}{2} \sigma^2 t^2 } $$
De dienovereenkomstige Normale "uitsmeer"-operator is in het algemeen dus:
$$ M(\frac{d}{dx}) = e^{\mu \frac{d}{dx} + \frac{1}{2} \sigma^2 \frac{d^2}{dx^2} }
= e^{\mu \frac{d}{dx}} \, e^{\frac{1}{2} \sigma^2 \frac{d^2}{dx^2} }
$$
Maar de uitkomst is ook direkt toepasbaar op het volgende probleem. Beschouw de
(partiële differentiaal)vergelijking voor diffusie van warmte in ruimte en
tijd: $$ \frac{\partial T}{\partial t} = a \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} $$
Maak hiervan in eerste instantie:
$$ \lambda \frac{\partial}{\partial t} T = \lambda a \frac{\partial^2}{\partial x^2} T $$
Vervolgens nemen we aan beide zijden de exponent van de operator ter plaatse:
$$ e^{\lambda \partial/\partial t } \, T = e^{\lambda a \partial^2/\partial x^2 } \, T $$
Aan beide kanten staan operator-expressies die met de zojuist verworven kennis
kunnen worden omgezet in klassieke uitdrukkingen:
$$ T(x,t+\lambda) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \! h(\xi) T(x-\xi,t) \, d\xi $$
Hierin is, met $ \frac{1}{2} \sigma^2 = \lambda a $:
$$ h(t) = \frac{1}{ \sigma \sqrt{2\pi} } \, e^{\, -t^2 / 2\sigma^2 } $$
Verwissel nu $t$ en $\lambda$, en stel vervolgens $\lambda = 0$. Dan vinden we,
langs een uiterst korte route, de oplossing van de diffusie-vergelijking:
$$ T(x,t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \!
\frac{1}{\sqrt{4\pi a t}}\, e^{\, - \xi^2/(4 a t) }\, T(x-\xi,0) \, d\xi $$