Er zijn maar liefst $16 \times 16 = 256$ verschillende mogelijkheden om de puzzel 'zonder verstand'
te leggen! En van al deze mogelijkheden is er maar één die het gewenste resultaat
oplevert: onze cirkel. Het is even zoeken: tweede rij van onderen, twaalfde kolom. De kans om deze
cirkel blindelings te vinden is minder dan een half procent! (b)
Wat hier gedemonstreerd wordt is wat door wiskundigen een combinatorische explosie wordt genoemd:
er zijn veel meer combinaties mogelijk dan je op het eerste gezicht zou verwachten.
Het aantal combinaties "ontploft", vandaar de naam.
Populair in discussies over de evolutieleer is het ontstaan van een oog, onder andere te vinden op de Wikipedia pagina over Onherleidbare complexiteit. De redenering is dat een 'half oog' bij de natuurlijke selectie geen voordeel kan bieden (c). Wij zullen zoals gezegd hier niet ingaan op deze discussie maar vinden het idee van een half oog wel interessant. Daarom gaan we verder met een legpuzzel van het oog, bestaande uit twee vierkante stukken:
Net zoals bij de kwart cirkel puzzel staan we toe dat ieder stuk een kwart slag kan worden gedraaid en gaan we er van uit dat er een 'natuurwet' is die er voor zorgt dat de stukken altijd netjes tegen elkaar komen te liggen. Dat is dit het resultaat van alle mogelijke pogingen die we kunnen doen:
Twee complete ogen zijn er, namelijk in de eerste kolom en eerste rij van boven en in de vierde kolom
en tweede rij van onder. Het laatste oog staat op z'n kop, maar dat is voor de natuurlijke selectie
uiteraard geen bezwaar. Er zijn dus van de 32 mogelijke combinaties twee goede oplossingen,
dat is een kans van één op zestien.
Bij ingewikkelder puzzels
blijkt het al gauw ondoenlijk te worden om alle 'domme' pogingen in een afbeelding te vatten; we moeten
in het vervolg vertrouwen op wiskundige formules om een idee te krijgen. Om deze wiskundige formules
te kunnen begrijpen, moeten we twee dingen weten:
(1) wat is een "faculteit",
(2) wat is een "macht".
Een faculteit wordt opgeschreven als een getal met een uitroepteken erachter.
In het algemeen is een faculteit het product van opeenvolgende gehele getallen,
te beginnen bij $1$, totdat je het getal krijgt wat voor het uitroepteken staat.
Voorbeelden van faculteiten:
$$
2! = 1 \times 2 = 2 \\
3! = 1 \times 2 \times 3 = 6 \\
4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24
$$
Een macht wordt opgeschreven als een getal met schuin rechts daarboven een ander getal.
In het algemeen is een macht (klein gedrukt) een herhaald product van een ander getal
(groot gedrukt). Voorbeelden van machten:
$$
4^2 = 4 \times 4 = 16 \\
4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \\
4^4 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256
$$
Merk op dat bij de oopuzzel van twee stukjes: $32 = 2! \times 4^2$ . Dit patroon komt overal terug.
Laten we nu een iets ingewikkelder puzzel bekijken; het aantal stukken namelijk uitgebreid tot
$2 \times 4 = 8$ :
De uitkomst is namelijk weer
een combinatorische explosie. Links staat een getal $8!$ (uitgesproken als "acht faculteit). Dit
komt overeen met het aantal mogelijke volgordes van de stukjes. Rechts staat het getal $4^8$
(uitgesproken als "vier tot de achtste") dat overeenkomt met het aantal keren dat de stukjes
een kwartslag kunnen worden gedraaid. Het totale aantal mogelijkheden is het product van deze
twee factoren:
$$
8! \times 4^8 = 40320 \times 65536 = 2642411520
$$
Dit zou dus een grafische weergave vergen van zeg $40320 \times 65536$ plaatjes ; ga je gang!
Maar het totale aantal complete ogen is slechts $2$, waarvan één op z'n kop staat. Kijk even
goed: er is dus een kans van minder dan één op de miljard op een goed oog! Toch is
het voor een mens met een normaal gezichtsvermogen en met een gemiddelde intelligentie helemaal niet zo
moeilijk om deze puzzel van $8$ stukjes met een gering aantal pogingen goed te leggen. (Interessante
vraag is of dat ook zo gemakkelijk gaat als je van te voren niet weet dat er een oog uit moet komen.)
We gaan nog een stapje verder: $3\times 6=18$ stukjes, nog steeds ver verwijderd van de puzzels met $1000$
stukjes die je gewoon in de winkel kunt kopen. Maar toegegeven, onze puzzelstukjes zijn vierkant en daardoor
zijn er aanzienlijk meer mogelijkheden om ze aan elkaar te leggen. Ook voor een intelligent wezen begint het
nu wat moeilijker te worden.
Berekenen we opnieuw het aantal mogelijke combinaties met behulp van de wiskunde:
$$
18!\times 4^{18} = 6402373705728000 \times 68719476736 = 439967770925953405943808000
$$
Hoe groot is dit getal eigenlijk? Om de gedachten te bepalen, laten we ons voorstellen dat we
de puzzel kunnen voorleggen aan een computer en dat deze computer
in staat is om elke miljardste van een seconde een 'blinde' poging te doen om de puzzel op te lossen.
Er gaan $60 \times 60 \times 24 \times 365 = 31536000$ seconden in een jaar.
We hebben al gezien dat het leven volgens de evolutietheorie ongeveer $4$ miljard jaar oud is en we gaan
dat getal nu gebruiken: bepalen we namelijk aantal aantal miljardste seconden dat het leven volgens de
gangbare wetenschap bestaat,
dan krijgen we: $$ 1000000000 \times 31536000 \times 4000000000 = 12614400000000000000000000 $$
Delen we het enorme getal hierboven door dit aantal miljardste seconden dan is:
$$
439967770925953405943808000/126144000000000000000000000 \approx 3,5
$$
Dit betekent dat er een kans van twee op drie-en-een-half is dat we een compleet oog vinden met een
GigaHerz computer die sinds de oorsprong van het leven op volle kracht staat te rekenen.
Voor wie de behoefte heeft aan een nog sterker voorbeeld. Neem tot slot een oogpuzzel bestaande uit 32 stukjes:
Berekenen we opnieuw het aantal mogelijke combinaties, vertrouwend op de wiskunde: $$ 32!\times 4^{32} = 263130836933693530167218012160000000 \times 18446744073709551616 =\\ 4853907206816845532176310293890216218432435650560000000 $$ Er is nu geen schijn van kans meer dat welke supercomputer dan ook deze puzzel 'blind' zou kunnen oplossen binnen zelfs de officiële leeftijd van het heelal (13,7 miljard jaar, weten we nog?). Dit zou namelijk overeen komen met een kans van één op een tien met eenentwintig nullen en die kans is zonder meer nihil te noemen ($1$ PetaFlop van onze supercomputer is $10^{15}$ instructies per seconde): $$ 4^{32}\times 32!/2/(60\times 60\times 24\times 365\times13,7\times 10^9)/10^{15} \approx 5\times 10^{21} $$
(a) Wat de selectie van de 'beste' verandering betreft, is het niet zo dat hier een kip-en-ei probleem ligt?
Immers om deze selectie mogelijk te maken moet een enigszins ontwikkeld ecosysteem worden verondersteld, een
omgeving namelijk waarin de strijd om het bestaan gevoerd kan worden. Met daarin dus andere levende wezens;
echter waar komen die dan vandaan?
(b) Het aantal van $256$ is - niet toevallig - gelijk $4^4$; dit is het aantal getallen van vier cijfers
dat gevormd kan worden in een viertallig stelsel (met de cijfers $0$ tot en met $3$).
(c) Uit onderzoek is gebleken dat een levend wezen zonder het beeldverwerkende vermogen in de hersenen
ook niet zo veel baat heeft bij een heel oog, maar dit terzijde.