overzicht overview
DifferentiaalVergelijkingen
Er worden drie voorbeelden gegeven van een toepassing van OperatorenRekening,
op gewone differentiaalvergelijkingen.
Voorbeeld 1
Los op een gewone differentiaalvergelijking van de tweede orde in $y(x)$ met
konstante coëfficienten:
$$ a y" + b y' + c y = 0 $$
De OperatorenRekening maakt het mogelijk dat wij zoveel mogelijk abstraheren
van de oplossing $y(x)$ :
$$ \left[ a \left( \frac{d}{dx} \right)^2 + \, b \, \frac{d}{dx} + c \right]
y(x) = 0 $$
Wat we vervolgens gaan doen is, schrik niet: ontbinden in faktoren.
Dat we hiertoe worden aangezet, zit 'm in het feit dat de operator $(d/dx)$ en
de konstantes $a$, $b$ en $c$ zich onderling gedragen alsof het gewone
getallen zijn. Immers, de commutator van een differentiatie en een konstante
is nul. De commutatieve wet was het enige waar we op moesten letten.
$$ a \left(\frac{d}{dx} \right)^2 + b \left(\frac{d}{dx} \right) + c =
\left( \frac{d}{dx} - \lambda_1 \right)
\left( \frac{d}{dx} - \lambda_2 \right) $$
$\lambda_1$ en $\lambda_2$ zijn wortels van de zogenaamde karakteristieke
vergelijking:
$$ a \lambda^2 + b \lambda + c = 0 $$
De differentiaalvergelijking is hiermee te herschrijven als:
$$ \left(\frac{d}{dx} - \lambda_1 \right)
\left(\frac{d}{dx} - \lambda_2 \right) y(x) = 0 $$
We gaan nu de "uitermate bruikbare formule" uit het vorige hoofdstuk gebruiken:
$$ \frac{d}{dx} - \lambda_{1,2} =
e^{ - \int - \lambda_{1,2} \, dx} \ \frac{d}{dx}\
e^{ + \int - \lambda_{1,2} \, dx} $$
$$ = e^{\, \lambda_{1,2} x } \ \frac{d}{dx}\ e^{\, - \lambda_{1,2} x } $$
Zodat de D.V. uiteindelijk wordt:
$$ e^{ \lambda_1 x } \frac{d}{dx}\ e^{ - \lambda_1 x }
e^{ \lambda_2 x } \frac{d}{dx}\ e^{ - \lambda_2 x } y(x) = 0 $$
Stelselmatige integratie is nu mogelijk:
$$ e^{-\lambda_1 x} e^{\lambda_2 x} \frac{d}{dx}\ e^{-\lambda_2 x} y(x) = C_1
\quad ; \quad e^{-\lambda_2 x} y(x) = C_1 \int e^{(\lambda_1-\lambda_2)x} \,
dx $$
Zoals gezegd is $\lambda$ op te lossen uit $a \lambda^2 + b\lambda + c = 0 $,
een vierkants vergelijking met diskriminant: $ D=b^2-4 a c $.
Men onderscheidt twee afzonderlijke gevallen.
a) $ \lambda_1 \neq \lambda_2 $:
$$ \int e^{(\lambda_1 - \lambda_2) x} \, dx =
\frac{ e^{(\lambda_1 - \lambda_2) x } }{ \lambda_1 - \lambda_2 } + C_2 $$
Dit geeft als oplossing:
$$ y(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x} \qquad
C_1,C_2 \mbox{ willekeurig} $$
b) $ \lambda_1 = \lambda_2 $ :
$$ \int dx = x $$
Dit geeft als oplossing:
$$ y(x) = e^{\lambda x} [ C_1.x + C_2 ] \qquad C_1,C_2 \mbox{ willekeurig} $$
Bovenstaande afleiding staat in schril kontrast met heuristieken in officiële
lezingen over differentiaalvergelijkingen. Het bijzondere is dat zij eigenlijk
geheel vanzelf, rechttoe rechtaan verloopt. Het is helemaal niet nodig
om bij voorbaat allerlei wonderlijke veronderstellingen te maken over de vorm
van de oplossing. Met name zijn er geen speciale aannames nodig voor het geval
geval $\lambda_1 = \lambda_2$. Er komt niets zomaar "uit de lucht vallen".
Voorbeeld 2
Los vervolgens op de differentiaalvergelijking van Euler in $y(x)$, $a$ en $b$
konstant:
$$ x^2 y" + a x y' + b y = 0 $$
Wij abstraheren zoveel mogelijk van de oplossing $y(x)$ :
$$ \left[ x^2 \left( \frac{d}{dx} \right)^2 + \, a x \, \frac{d}{dx} + b \right]
y(x) = 0 $$
Gebruik de commutator $ [ d/dx , x ] = 1 $ om $ x.d/dx $ te veranderen in
$ d/dx.x - 1 $ en daarmee $ x.(x.d/dx).d/dx $ in $ x.d/dx . x.d/dx - x.d/dx $.
Dit is nodig om de D.V. een beetje te herschrijven, namelijk als volgt:
$$ \left[ \left(x \frac{d}{dx} \right)^2 + (a - 1) \left(x \frac{d}{dx} \right)
+ b \right] y = 0 $$
We pogen te ontbinden in faktoren:
$$ \left(x \frac{d}{dx} \right)^2 + (a - 1) \left(x \frac{d}{dx} \right) + b =
\left( x \frac{d}{dx} - \lambda_1 \right)
\left( x \frac{d}{dx} - \lambda_2 \right) $$
$\lambda_1$ en $\lambda_2$ zijn wortels van de karakteristieke vergelijking:
$$ \lambda^2 + (a-1) \lambda + b = 0 $$
De differentiaalvergelijking van Euler is hiermee te herschrijven als:
$$ \left( x \frac{d}{dx} - \lambda_1 \right)
\left( x \frac{d}{dx} - \lambda_2 \right) y(x) = 0 $$
Ofwel:
$$ x \left( \frac{d}{dx} - \frac{ \lambda_1}{x} \right)
x \left( \frac{d}{dx} - \frac{ \lambda_2}{x} \right) y(x) = 0 $$
We gaan weer de in het vorige hoofdstuk omkaderde formule gebruiken:
$$ \frac{d}{dx} - \lambda_{1,2} =
e^{ - \int - \frac { \lambda_{1,2}}{ x } \, dx} \ \frac{d}{dx}\
e^{ + \int - \frac { \lambda_{1,2}}{ x } \, dx} $$
$$ = e^{\, \lambda_{1,2} \log(x) } \ \frac{d}{dx}\ e^{\, - \lambda_{1,2} \log(x) }
= x^{ \lambda_{1,2} } \frac{d}{dx}\ x^{ - \lambda_{1,2} } $$
Zodat de D.V. uiteindelijk wordt:
$$ x . x^{ \lambda_1 } \frac{d}{dx}\ x^{ - \lambda_1 }
x . x^{ \lambda_2 } \frac{d}{dx}\ x^{ - \lambda_2 } y(x) = 0 $$
Stelselmatige integratie is nu mogelijk:
$$ x^{-\lambda_1} x.x^{\lambda_2} \frac{d}{dx}\ x^{-\lambda_2} y(x) = C_1 \quad
; \quad x^{-\lambda_2} y(x) = C_1 \int x^{\lambda_1 - \lambda_2 - 1} \, dx $$
Zoals gezegd is $\lambda$ op te lossen uit $\lambda^2 + (a-1)\lambda + b = 0 $,
een vierkants vergelijking met diskriminant: $ D=(a-1)^2-4 b $.
Men onderscheidt twee afzonderlijke gevallen.
$$ \int x^{\lambda_1 - \lambda_2 - 1} \, dx =
\frac{ x^{ \lambda_1 - \lambda_2} }{ \lambda_1 - \lambda_2 } + C_2 $$
Dit geeft als oplossing:
$$ y(x) = C_1 x^{\lambda_1} + C_2 x^{\lambda_2} \qquad
C_1,C_2 \mbox{ willekeurig} $$
b) $ \lambda_1 = \lambda_2 $ :
$$ \int x^{-1} \, dx = \log(x) $$
Dit geeft als oplossing:
$$ y(x) = x^\lambda [ C_1.\log(x) + C_2 ] \qquad C_1,C_2 \mbox{ willekeurig} $$
Ook hier is het niet nodig om vooronderstellingen te doen over de vorm van de
oplossing. Men komt op volkomen natuurlijke wijze tot resultaat.
Voorbeeld 3
Als laatste voorbeeld lossen we op de volgende differentiaalvergelijking:
$$ r \frac{d^2p}{dr^2} + (2 - v_0 r) \frac{dp}{dr}- 2 v_0 p = 0 $$
Hierin is: $p$ = onbekende funktie (een soort druk), $r$ = radiale afstand (tot
de zon), $v_0$ = geschaalde snelheid (van de zonnewind).
Deze vergelijking komt tevoorschijn bij vereenvoudiging van een ingewikkelder
probleem: een mathematisch model voor berekening van de anomale komponent van
de kosmische straling in de heliosfeer [FTP]. Dit terzijde. Ontbinden we
in faktoren:
$$ r \left( \frac{d}{dr} + \frac{2}{r} \right)
\left( \frac{d}{dr} - v_0 \right) p = 0 $$ Basisformule gebruiken:
$$ r \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} r^2 \,
e^{v_0 r} \frac{d}{dr} e^{-v_0 r} p = 0 $$
Systematische integratie:
$$ \frac{d}{dr}e^{-v_0 r} p = C_1 \frac{e^{-v_0 r}}{r^2} $$
$$ p(r)= C_1 e^{v_0 r} \int \frac{ e^{-v_0 r}}{r^2} dr + C_2 e^{v_0 r} $$
We hebben dus de volgende elementaire oplossingen:
$$ p_1(r)=e^{v_0 r} \int \frac{ e^{-v_0 r}}{r^2} dr $$ $$ p_2(r)= e^{v_0 r} $$
De integraal kan verder worden uitgewerkt met behulp van \partiele\ integratie.
Substitueer $t=-v_0r$:
$$ \int \frac{e^t}{t^2}dt = - \frac{e^t}{t} + \int \frac{e^t}{t}dt $$
Daarmee komt er voor de eerste oplossing:
$$ p_1(r) = \frac{1}{v_0 r} + e^{v_0 r}.Ei(- v_0 r) $$
Hierin is $Ei$ de zogenaamde exponentiële integraal, waarvan bekend is
dat zij niet in een gesloten vorm kan worden berekend:
$$ Ei(x)= \int_{-\infty}^{x} \frac{e^t}{t} dt $$
Voor wie het niet gelooft kan de uitkomst worden gekontroleerd met behulp van
een Computer Algebra Systeem. We gebruikten hiervoor het CAS pakket MAPLE:
p:=1/(v0*r)+exp(v0*r)*Ei(-v0*r);
r*diff(diff(p,r),r)+(2-v0*r)*diff(p,r)-2*v0*p;
simplify(");
quit;
Onnodig op te merken dat de uitkomst inderdaad keurig nul wordt.