Leren tellen

Toen de jongste in het gezin vier jaar oud was, probeerden zijn ouders hem de kunst van het tellen bij te brengen. Dat ging in de trant van: "Vertel eens, hoeveel appels liggen er in die mand". Ofschoon de kleuter enkele telwoorden (ordinaal getallen) wist op te noemen: "een, twee, drie, vier, ...", bleek dat hij niet in staat was om deze in verband te brengen met het tellen van appels (kardinaal getallen). Dat bleef een tijdje zo. Maar terwijl we bleven oefenen, werd gaandeweg duidelijk dat hij eigenlijk iedere keer dezelfde fout maakte. Op de een of andere manier was hij niet in staat om een appel slechts één keer te tellen. Hij verbond aan iedere appel meer dan één telwoord en bleef op die manier rondjes draaien, tot hij verveeld raakte. Dat laatste gebeurde meestal vrij snel: "Tien, mama!".

Na een aantal vruchteloze pogingen, deden we het volgende. Het kind werd ertoe aangezet om iedere keer een appel uit de mand te nemen, en tegelijkertijd een telwoord te zeggen. Toen geschiedde het wonder: hij hield op met tellen nadat de laatste appel uit de mand was gepakt. Het stop-probleem was opgelost!

Laten we het tel-proces van dit kind in detail beschouwen. Want de kleine heeft natuurlijk alle gelijk van de wereld. Het zijn de volwassenen die verkeerd zijn voorgelicht, en denken dat het mogelijk is om appels te tellen door er alleen maar naar te kijken, en dat kijken geen pijn doet. De werkelijkheid zit echter iets anders in elkaar. Het nemen van appels uit de mand vernietigt zelfs in feite de verzameling waar we juist de kardinaliteit van wilden bepalen.

In het algemeen is het onmogelijk om een verzameling te tellen zonder diezelfde verzameling op de een of andere manier te verstoren, of zelfs te vernietigen.

Zelfs als men appels telt door er alleen naar te kijken, dat zal trouwens alleen maar lukken als het aantal niet te groot is, zelfs dan is men bezig met fotonen op de appels af te schieten. Je kunt ze immers niet zien zonder licht. Afgezien daarvan, men zal zich moeten herinneren welke appels er al geteld zijn en welke niet. Dit betekent dat men de appels stuk voor stuk moet markeren, al was het alleen maar in gedachten. Maar zodra een element voorzien is van een merkteken, dan is het niet meer hetzelfde element als voordien. Elementen van een verzameling worden veranderd doordat ze worden geteld. Echter, dan is het ook niet meer één en dezelfde verzameling. De verzameling valt tijdens het tel-proces dus uiteen in twee verzamelingen: één voor de niet getelde, en één andere voor de getelde elementen. Alleen op die manier kan zelfs een kind begrijpen wat tellen is.

Dit alles zou heden ten dage niet verbazend meer moeten zijn. Tellen is immers een meting, een meting in zijn meest eenvoudige vorm. De quantummechanika leert ons (en dit wordt bevestigd door de ervaring van alledag) dat iedere vorm van meten een verstoring inhoudt. Uit het bovenstaande konkluderen wij dat bij het proces van het tellen tenminste twee verzamelingen zijn betrokken:

de verzameling appels die nog geteld moet worden ("toekomst");
de verzameling appels die al geteld is ("verleden").

De verzameling van de toekomst wordt vernietigd, terwijl de verzameling van het verleden gecreëerd wordt. Heeft dit iets te maken met het verschijnsel tijd? Eigenlijk is een klok een heel typisch meetinstrument; het is een teller namelijk. Dit in tegenstelling tot bijvoorbeeld een balans. Een teller die een ronde schaal heeft bovendien: de tijd is geneigd zich te herhalen, de wijzers draaien in het rond, er is een kringloop. Maar we dwalen af.

Een kind slaagt er niet in om een telwoord toe te kennen aan een aantal. Daarom ben ik eens in een aantal schoolboeken gaan neuzen, en ik moet tot mijn spijt bekennen: het verbaast me niets. Volgens de leermethode in deze boeken leren de kinderen inderdaad netjes de volgorde van de telwoorden. Daar is niets mis mee. Ook leren ze wanneer twee verzamelingen evenveel elementen hebben: breng een één-één duidig verband aan tussen hun elementen. Maar ze leren helemaal niet hoe het komt dat je telwoorden kunt gebruiken om een aantal te bevatten, althans niet op een manier die een kind kan toepassen. Ongetwijfeld worden de leermethoden in onze lagere school boeken voor een deel afgeleid van inzichten die de moderne wiskunde te bieden heeft. Zo dient gelijkmachtigheid van verzamelingen als basis om een kind inzicht in "evenveel" bij te brengen.

Een dergelijke mathematische theorie is er niet voor het werkelijke verband tussen ordinaalgetallen en kardinaalgetallen. Dit is voor een deel te wijten aan het feit dat de verzamelingenleer volkomen statisch is. Daardoor kan een verzameling niet veranderen, daardoor kunnen elementen niet worden gemerkt, daardoor kan er in werkelijkheid dus niet worden geteld.