WaarschijnlijkheidsRekening
Het volgende is weergave van een E-mail correspondentie die werkelijk heeft
plaats gevonden, met een bestaande wiskundige.
Teneinde enigzins recht
te doen aan het privé karakter van een dergelijke briefwisseling,
heb ik de naam van de afzender gefingeerd.
===============================================================================
L.S.,
Zojuist las ik 'Zin en onzin van de waarschijnlijkheidsrekening' in het
'Nieuw Archief voor Wiskunde'. Mijn complimenten voor dit Meester-lijke
(ik kan de woordspeling niet laten) artikel !! Ik heb een aantal zinnen
aangestreept en het artikel in zijn geheel gelezen - hetgeen me bij Dit
tijdschrift niet elke dag overkomt.
Ik wil u in dit verband graag twee problemen voorleggen.
1. De notie van 'evenveel' bij oneindige verzamelingen
---------------------------------------------------
We "nemen" een "willekeurig" exemplaar N uit "de" natuurlijke getallen.
Veronderstel dat het getal N volledig willekeurig is, waarmee ik bedoel dat
het niet op voorhand bekend is. Het is als het ware een greep uit een Enorm
vat met opeenvolgende natuurlijke getallen. Bijvoorbeeld:
1 2 3 4 5 6 7 ... 132 133 134 ... 123421412 = T
De bovengrens van deze verzameling (het vat) wordt aangegeven met T.
Er zijn dan twee mogelijkheden bij trekking van een getal uit dit vat:
Als T = even dan is het aantal even getallen in het vat T/2
en is het aantal oneven getallen in het vat T/2
Als T = oneven dan is het aantal even getallen in het vat (T-1)/2
en is het aantal oneven getallen in het vat (T+1)/2
Veronderstel nu dat het aantal elementen in de verameling zeer groot is,
dan mogen we definieren de Kans P dat een getal N even of onenven is:
Als T = even dan P(even) = (T/2) / T = 1/2
en P(oneven) = (T/2) / T = 1/2
Als T = oneven dan P(even) = ((T-1)/2) / T => 1/2
en P(oneven) = ((T+1)/2) / T => 1/2
In het limietgeval van een oneindig groot vat van aansluitende natuurlijke
getallen - ik zou dit nu willen vervangen door: DE natuurlijke getallen -
vinden we dus: ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
P(even) = P(oneven) = 1/2
Dit betekent dat er 'evenveel' Even als Oneven natuurlijke getallen zijn.
Dit betekent ook dat er Half zoveel Even als Natuurlijke getallen zijn.
^^^^
Echter dit is in TEGENSPRAAK met de volgende redenering (van Cantor).
Leg een Een-Eenduidige relatie tussen de Natuurlijke en de Even getallen:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 ...
Waaruit zou blijken dat er 'evenveel' Even als Natuurlijke getallen zijn!
Ik ben benieuwd wat Uw standpunt in deze kwestie is.
2. Collatz probleem
----------------
Hoofd-referentie voor het "3x+1" probleem op het Wereld Wijde Web is:
http://www.ericr.nl/wondrous/index.html
Voor ieder willekeurig natuurlijk getal N bestaat er een rij S_i die
als volgt gedefinieerd is:
S_0 = N
en voor alle i > 0 :
S_i = S_(i-1) / 2 als S_(i-1) even is
S_i = (3 * S_(i-1) + 1) / 2 als S_(i-1) oneven is
(Deling door 2 in het oneven geval elimineert het feit dat iedere volgende
waarde in de rij noodzakelijk een even getal is en elimineert dus triviale
'even' stappen.)
Beschouw de 'even' stap in het Collatz algorithme:
S_i = S_(i-1) / 2
Dit resulteert in:
S_(i-1) = 2 4 6 8 10 ... 132 134 136 138 ...
S_i = 1 2 3 4 5 ... 66 67 68 69 ...
Dus de waarschijnlijkheid dat het resultaat van de bewerking Even zal zijn is
gelijk aan de kans dat deze uitkomst Oneven zal zijn. Beide kansen zijn 1/2.
Herschrijf de 'oneven' stap in het Collatz algorithme als volgt:
S_i = S_(i-1) + (S_(i-1) + 1) / 2
Dit resulteert in:
S_(i-1)+1 = 2 4 6 8 10 ... 132 134 136 138 ...
S_i = oneven + 1 2 3 4 5 ... 66 67 68 69 ...
Dus de waarschijnlijkheid dat het resultaat van de bewerking Even zal zijn is
gelijk aan de kans dat deze uitkomst Oneven zal zijn. Beide kansen zijn 1/2.
Samengevat. Gegeven een willekeurig (onbekend) natuurlijk getal, dat Of even
Of oneven is, met een kans van 50 % , dan zal _iedere_ stap in het Collatz
proces een ander natuurlijk getal genereren, dat even of oneven is met exakt
dezelfde kans, namelijk 50 % .
Ik spreek op grond hiervan het vermoeden uit dat het (onopgeloste !) Collatz
probleem in wezen een Statistisch probleem is. Dit komt me nu ietwat minder
vreemd voor als toen ik dit "ontdekte". 'Het belang van de kansrekening hangt
helemaal niet af van de vraag of bepaalde verschijnselen werkelijk toevallig
zijn of niet.' : het zijn uw eigen woorden. Het Collatz probleem kon, mijns
inziens, wel eens een typisch voorbeeld zijn van zo'n 'bepaald verschijnsel'.
Er is immers niets "werkelijk toevallig" aan de Collatz rij van een bepaald
natuurlijk getal.
Ik ben wederom benieuwd wat Uw standpunt in deze kwestie is.
En hoop u met deze vrij omslachtige brief niet te hebben verveeld.
Met vriendelijke groet /
With kind regards:
Han de Bruijn
room 0.624
Computing Centre
Michiel de Ruyterweg 12
Delft University of Technology
P.O. Box 354
2600 AJ Delft
The Netherlands
Phone (+31 15 278) 2751
Fax (+31 15 278) 3787
E-mail: Han.deBruijn@DTO.TUDelft.NL
Excuses als deze mail voor de zoveelste keer toch is aangekomen ...
===============================================================================
From cor.respondent Sep 15 08:35 MET 2000
To: Han.deBruijn@dto.tudelft.nl
Beste Han,
Dank je wel voor je complimenten. Het is altijd plezierig te horen dat mensen
ook lezen wat je schrijft...
Ik heb je mailtje geprint, en zal er een dezer dagen naar kijken (misschien
vanmiddag al, anders volgende week). Je hoort nog van me hierover.
hartelijke groeten
Cor Respondent
PS: je bericht was inderdaad 4 maal aangekomen...
===============================================================================
From cor.respondent Fri Sep 15 11:00 MET 2000
Subject: Re: Naar aanleiding van uw artikel
To: Han.deBruijn@dto.tudelft.nl
beste Han,
in de pauze even naar je stukje gekeken:
1) het begrip "evenveel" verleist zijn intuitieve betekenis wanneer het gaat
om oneindige verzamelingen. men spreekt in dat geval over "gelijke
cardinaliteit", hetgeen betekent dat er een inverteerbare afbeelding van
de een naar de nader bestaat. in deze zin zijn er dus inderdaad evenveel
even als natuurlijke getallen. met kansrekening heeft dat trouwens
niet zoveel te maken. De theorie van cardinaliteit van Cantor is vrij lastig
trouwens, ook voor wiskundestudenten. Er is dus helemaal geen tegenspraak,
als je "evenveel" leest als "dezelfde cardinaliteit". Zo zijn er
bijvoorbeeld ook evenveel breuken als natuurlijke getallen..
2) Ik ben het met je eens, een statistisch probleem betekent gewoon dat
we met kanstheoretische concepten dit algorithme beter kunnen
beschrijven. In principe komen hier ook geen kansen aan te pas. het is
dus inderdaad een voorbeeld van een niet-toevallig probleem dat wel
met kansrekening beschreven kan worden.
Groeten
Cor Respondent
===============================================================================
Beste Cor,
1) Jammer dat je het niet met me eens bent. Volgens mij zou in de wiskunde
het begrip "gelijke cardinaliteit" voor oneindige verzamelingen een limiet-
geval moeten zijn van Hetzelfde begrip voor Eindige verzamelingen. In het
Laatste geval is het wel degelijk zo dat de Statistische aanpak geheel en
al overeenstemt met de Cantoriaanse aanpak. Uit de kans P(even)= 1/2 volgt
gewoon dat er Half zoveel Even als Natuurlijke getallen zijn in een zeer
grote, doch niet (actueel) oneindige verzameling. Als de omvang van deze
verzameling Geleidelijk naar oneindig gaat verandert deze eigenschap Niet.
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Exakt dezelfde aanpak wordt gevolgd bij de definitie van een differentiaal-
quotient. Ik begrijp niet, en wiskundestudenten dus ook niet, waarom "men"
plotseling een geheel Andere gedachtegang tevoorschijn haalt bij het vast-
stellen van de Even/Natuurlijk verhouding in de gehele getallen. Niet dat
ik deze gedachtengang niet zou "begrijpen". Maar het is hetzelfde als met
jouw 'doomsday' argument: het is gewoon niet van toepassing op de Wereld.
Geef mij een praktisch voorbeeld, een toepassing die laat zien dat Cantor's
theorie ook maar enig nut heeft buiten de wiskunde. En zo niet, waarom zou
de wiskunde er dan eens niet mee ophouden om studenten met deze "kennis" te
vermoeien? Is dit trouwens niet jouw 'skeptische' standpunt?
Sorry dat ik zo doordram. Maar ik hoor de hele tijd die klaagliederen van:
dat er zo weinig jongeren wiskunde gaan studeren. En ik vraag me al jaren
af of dat niet ligt aan de wiskunde Zelf, met name aan dit soort van onzin.
2) Over de aard van het Collatz probleem zijn we het Wel met elkaar eens.
Met vriendelijke groet:
-
* Han de Bruijn; Production&Services "A little bit of Physics would be (===)
* TUD Computing Centre; P.O. Box 354 NO Idleness in Mathematics"(HdB) @-O^O-@
* 2600 AJ Delft; The Netherlands -- http://www.rc.tudelft.nl/~rcpshdb #/_\#
* E-mail: Han.deBruijn@RC.TUDelft.NL Fax: +31 15 278 3787. Tel: 2751. ###
===============================================================================
From cor.respondent Fri Sep 15 12:24 MET 2000
Subject: Re: Naar aanleiding van uw artikel
To: Han.deBruijn@dto.tudelft.nl
Beste Han,
het gaat denk ik fout bij jouw uitspraak dat P(even)=1/2. Dat is een
betekenisloze uitspraak, zelfs binnen de wiskunde. je kunt namelijk niet
een willekeurig getal kiezen, waarbij elk getal even grote kans heeft.
Deze kans zou automatisch nul moeten zijn, anders is er namelijk teveel
kansmassa. Een uitspraak dat er even veel even als oneven getallen zijn
gebaseerd op kansrekening accepteer ik dan ook niet.
Overigens is de theorie van Cantor zeer bruikbaar. De hele kansrekening
is erop gebaseerd, en die kansrekening is zelf weer nuttig voor de
praktijk, zoals ik in mijn artikel uitlegde. In de kansrekening speelt
namelijk het onderscheid tussen aftelbaar en overaftelbaar een
cruciale rol, en daar heb je Cantor voor nodig.
Maar we mogen het best oneens blijven hoor...
Groeten
Cor
===============================================================================
Beste Cor,
> het gaat denk ik fout bij jouw uitspraak dat P(even)=1/2. Dat is een
> betekenisloze uitspraak, zelfs binnen de wiskunde. je kunt namelijk
> niet een willekeurig getal kiezen, waarbij elk getal even grote kans heeft.
> Deze kans zou automatisch nul moeten zijn, anders is er namelijk teveel
> kansmassa. Een uitspraak dat er even veel even als oneven getallen zijn
> gebaseerd op kansrekening accepteer ik dan ook niet.
Hola, hola! Vergelijk de natuurlijke getallen met een grote bak met ballen.
De helft van alle ballen is rood (even), de andere helft is wit (oneven):
1 2 3 4 5 6 7 ... 132 133 134 ... 123421412
w r w r w r w r w r r
Ik neem nu een bal uit de bak en ik stel dat de kans op een rode bal (een
even getal) P(even) = 1/2. Hier is toch niks mis mee? (Tjonge, Zou ik het
op school helemaal niet gesnapt hebben ... :-()
Groeten:
-
* Han de Bruijn; Production&Services "A little bit of Physics would be (===)
* TUD Computing Centre; P.O. Box 354 NO Idleness in Mathematics"(HdB) @-O^O-@
* 2600 AJ Delft; The Netherlands -- http://www.rc.tudelft.nl/~rcpshdb #/_\#
* E-mail: Han.deBruijn@RC.TUDelft.NL Fax: +31 15 278 3787. Tel: 2751. ###
===============================================================================
From Cor.respondent Fri Sep 15 12:57 MET 2000
Subject: Re: Naar aanleiding van uw artikel
To: Han.deBruijn@dto.tudelft.nl
Beste han,
Grinnik,
er is (helaas) wel wat mis mee.... je neemt aan dat elke bal evengrote kans
heeft, maar als dat zo is moet elke bal kans 0 hebben....
Op school heb je het denk ik best wel begrepen, maar toen bevatte de vaas
eindig veel ballen...
Groet
Cor
===============================================================================
Beste Cor,
> er is (helaas) wel wat mis mee.... je neemt aan dat elke bal evengrote kans
> heeft, maar als dat zo is moet elke bal kans 0 hebben....
> Op school heb je het denk ik best wel begrepen, maar toen bevatte de vaas
> eindig veel ballen...
OK. We komen er wel. Ik neem aan dat mijn verzameling der natuurlijke getallen
aanvankelijk Eindig is. Dan is de redenering juist. Nu maak ik de verzameling
bijvoorbeeld twee keer zo groot. Dan blijft de redenering juist. Enzovoort ..
In het limietgeval van een (potentieel) oneindige verzameling is mijn argument
nog steeds juist, want de kansen naderen wel tot nul, maar zijn nooit nul !!
^^^^^^^ ^^^^
Dit is een cruciaal verschil: tussen 'actueel' versus 'potentieel' oneindig.
Jouw opvatting van de natuurlijke getallen is actueel oneindig, die van mij is
potentieel oneindig. Het is bekend dat onze standpunten (Hilbert/formalisten
versus Brouwer/ constructivisten) tot op heden onverzoenlijk zijn. Helaas ...
Groeten:
Han