De betekenis van de Wiskunde voor het
Toegepast Wetenschappelijk Onderzoek

REDE

uitgesproken bij de aanvaarding
van het ambt van gewoon hoogleraar
in de zuivere en toegepaste wiskunde
en de mechanica
aan de technische hogeschool te Delft
op woensdag 8 october 1952

door

Dr. R. TIMMAN

Mijne Heren Curatoren en Professoren,
Mijne Heren Lectoren, Instructeurs en Assistenten,
Dames en Heren Studenten,
en voorts gij allen, die deze plechtigheid met Uw tegenwoordigheid vereert,

Zeer gewaardeerde Toehoorders,

Over de betekenis van de wiskunde voor de techniek is op deze plaats reeds verschillende malen het woord gevoerd. Een zestal jaren geleden heeft Van Veen U een overzicht gegeven over de wisselwerking, die in het verleden heeft bestaan tussen de wiskunde en de technische wetenschap en daarbij duidelijk naar voren gebracht hoeveel beide vakken aan elkaar te danken hebben.
Als ik gedurende dit uur Uw aandacht vraag voor dit onderwerp, dan is dat niet om nogmaals deze historische ontwikkeling te beschrijven, dit is reeds geschied op een wijze, die ik niet vermag te verbeteren, ik wil hier een poging doen om een schets te geven van de recente ontwikkeling, die destijds minder gemakkelijk was te overzien en voor een deel nog in de schoot der toekomst verborgen lag.
Bij een beschouwing van de historische ontwikkeling valt het op, hoe perioden van nauw contact tussen de wiskunde en de al of niet toegepaste natuurwetenschap afwisselen met perioden van vrijwel volkomen isolatie. Het schijnt, dat beide vakken van wetenschap na zo'n contactperiode, die hen met nieuwe begrippen en methoden verrijkte, een adempauze nodig hadden, teneinde deze nieuwe ideëen volledig te assimileren en ze te transformeren in de voor het vak karakteristieke denkwijze, waarna zij zijn blijven voortleven in deze nieuwe vorm, waaraan de vreemde oorsprong nauwelijks meer valt te herkennen. Het is niet gemakkelijk aan een modern wiskundeboek (zoals bijvoorbeeld Landau's beroemde "Einführung in die Differential- und Integralrechnung"), dat voor zuivere wiskundigen is geschreven, te herkennen, dat de differentiaalrekening door Newton is uitgevonden in samenhang met problemen uit de mechanica.
Sterker nog komt mij deze afstand voor bij het lezen van moderne boeken over abstracte Integraalrekening, waar het aanschouwelijk physische karakter van de begrippen inhoud en oppervlak geheel schuil gaat achter de verzamelingstheoretische inkleding.
Omgekeerd realiseert een ingenieur, die bij het dimensioneren van zijn constructies gebruik maakt van soms zeer eenvoudige "vuistformules", zich niet, hoeveel mathematische arbeid er aan deze vuistformules ten grondslag ligt, terwijl het zonder de ontwikkeling van de wiskunde in de achter ons liggende eeuwen zeker niet mogelijk zou zijn geweest deze formules op te stellen, hoewel ogenschijnlijk iedere wiskundige "geleerdheid" er vreemd aan is.
Elk der partijen vergeet veelal, hoeveel zij in een vroeger stadium aan de andere te danken heeft gehad en dit leidt tot de betreurenswaardige toestand, dat er dikwijls van een wederzijdse waardering niet veel te bespeuren valt.
Op het ogenblik bevinden wij ons echter in een nieuwe ontwikkelingsphase, waarbij voor het eerst sinds lange tijd de isolatie is verbroken en een nauwe samenwerking ontstaat tussen de wiskundige en de ingenieur en wel op een wijze, die karakteristiek is voor onze tijd, zoals ik U straks nog nader hoop uiteen te zetten.
De impuls tot deze nieuwe ontwikkeling is uitgegaan van de techniek zelf, die in een stadium is gekomen, dat zij zich voor problemen gesteld ziet, die dermate gecompliceerd zijn, dat het toegepast wetenschappelijk onderzoek een eigen, zelfstandige plaats gaat innemen tussen het zuiver wetenschappelijk onderzoek enerzijds en de directe toepassingen in de practijk anderzijds.
Dit toegepast wetenschappelijk onderzoek heeft derhalve een eigen karakter, haar doelstellingen zijn gericht op problemen, die door de practijk gesteld zijn, haar methoden daarentegen zijn die van de zuivere wetenschap, incidenteel ten behoeve van de practische doeleinden gemodificeerd.
Hoewel geen enkele nieuwe ontwikkeling uit het niets ontstaat en symptomen van nieuwe omstandigheden achteraf vaak al heel vroeg zijn aan te wijzen, lijkt mij een duidelijk beginpunt voor deze ontwikkeling in de wiskunde te liggen in het jaar 1921, toen in Duitsland begon te verschijnen het "Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik", een orgaan, waarin de resultaten van technisch wetenschappelijk onderzoek, gevoerd met mathematische methoden, gepubliceerd werden. Het tijdschrift had een eigen karakter, het verschilde zowel van de mathematische als van de technische vaktijdschriften. In het inleidende artikel "Ueber die Aufgabe und Ziele der angewandten Mathematik" omschreef de toenmalige hoofdredacteur R. von Mises als werkgebied van het tijdschrift, alle onderwerpen, waaraan de ingenieur, die zelfstandig theoretisch werk levert, behoefte heeft en noemde daarbij behalve de analyse en de meetkunde uitdrukkelijk de mechanica in de meest ruime zin des woords. Deze sterke koppeling aan de mechanica is ook in de titel, die de tijdschriften, die later op dit gebied zijn ontstaan, vrijwel ongewijzigd hebben overgenomen, tot uitdrukking gebracht.
Hierbij blijkt duidelijk het streven om de toegepaste wiskunde en de mechanica samen een zelfstandige plaats in de rij der exacte wetenschappen te laten innemen, een plaats, die aan de ene zijde begrensd wordt door de zuivere wiskunde, van welker resultaten zij steeds weer gebruik maken, anderzijds door de meer experimentele gedeelten van physica en chemie.
Het streven naar zelfstandigheid blijkt ook duidelijk bij de instelling van de Internationale Congressen voor Theoretische en Toegepaste Mechanica, in 1924 voor de eerste maal hier in Delft op initiatief van Biezeno en Burgers gehouden, en sindsdien door een lange reeks gevolgd en tenslotte door de oprichting van de Internationale Unie voor Theoretische en Toegepaste Mechanica, die als zelfstandig lichaam naast de andere Internationale Wetenschappelijke Unies een plaats inneemt.
Het is geen toeval, dat juist in Duitsland het eerste tijdschrift voor toegepaste wiskunde ontstond. Immers juist daar was de afkeer van de wiskundigen van de toepassingen het grootst, ondanks de pogingen aan het eind van de vorige eeuw van Felix Klein om een toenadering tot stand te brengen, zodat alleen een nieuwe zelfstandige organisatie in staat was te voldoen aan de behoeften van de beoefenaren van de toegepaste wiskunde.
In Engeland, waar gedurende de gehele 19e eeuw de beoefening der wiskunde een sterk physische inslag heeft gehad en waar de meeste triomfen gevierd werden op het gebied der mathematische physica, is het eerder de zuivere wiskunde geweest, die een harde strijd om het bestaan had te voeren. Ieder, die Whittaker en Watson's beroemde "Course of Modern Analysis", een boek, dat voor een degelijke studie van de Mathematische Physica vrijwel onontbeerlijk is, heeft doorgebladerd, weet, dat vele van de talrijke vraagstukken, die het boek rijk is, ontleend zijn aan de examenopgaven voor studenten in de wiskunde te Cambridge uit het eind der vorige of het begin van deze eeuw, zodat deze studenten practisch voorbestemd werden voor de studie der mathematische physica. Eerst omstreeks 1914 is hierin verandering gekomen en op het ogenblik bestaan aan vrijwel iedere Universiteit in Engeland afzonderlijke Departments of Pure en of Applied Mathematics naast elkaar.
Ook in Frankrijk was gedurende de 19e eeuw de scheiding niet volledig gegroeid, men denke hierbij aan de Ecole Polytechnique, die aan haar ingenieurs een sterke wiskundige inslag gaf en nog steeds geeft, zodat daar steeds belangrijk werk op het gebied der toegepaste wiskunde is geleverd. Ik kan hier niet nalaten de naam van de grote mathematicus Poincaré te vermelden, die op vrijwel alle gebieden van de zuivere èn de toegepaste wiskunde baanbrekend werk heeft verricht.
De nieuwe ontwikkeling van de toegepaste wiskunde in de geallieerde landen is eerst tijdens en na de tweede Wereldoorlog tot stand gekomen.
De eisen van de totale oorlog maakten het noodzakelijk alle krachten, waarover deze landen beschikten, in te schakelen en het werd al spoedig duidelijk, dat de krachten van de wiskundigen hier niet onbelangrijk waren. De jonge wiskundigen werden niet opgeroepen voor de militaire dienst, maar tewerkgesteld op voor de defensie belangrijke laboratoria, waar zij speciale opdrachten uit te voeren kregen. Op deze wijze is een mijner Engelse collega's, die aanvankelijk in Cambridge met veel liefde de analytische getallentheorie bestudeerde, overgebracht naar de theoretische aerodynamica, die hij thans nog met veel animo en succes beoefent.
Het is een bekend feit, dat een eenmaal gegroeide ontwikkeling niet teniet gedaan kan worden, de wiskunde heeft in de techniek een belangrijke plaats ingenomen en het is niet te verwachten dat haar invloed weer zal afnemen.
Het spreekt vanzelf, dat deze invloed het grootst is in de meest moderne vormen van techniek, welker opbloei heeft plaats gevonden in de laatste decennia. Ik denk hierbij in het bijzonder aan de electrotechniek vooral de telecommucatietechniek en de luchtvaarttechniek. Het is merkwaardig op te merken dat onder loed van de successen van de wiskunde in deze jonge takken van techniek, haar invloed in de oudere, zoals de scheepsbouw en de werktuigbouw groter wordt. In het algemeen gesproken staat het technisch wetenschappelijk peil van de scheepsbouw achter bij dat van de luchtvaarttechniek; op het ogenblik wordt echter hard gewerkt om veel bekende resultaten uit de laatste toe te passen op specifiek scheepsbouwkundige problemen waarmede tegelijkertijd de stimulans wordt geschapen om andere problemen uit de scheepsbouw, waar de resultaten van de luchtvaarttechniek niet direct toepasbaar zijn, eveneens te gaan onderzoeken.
Ik wil echter niet op deze vakgebieden ingaan, en, vooral voor de electrotechniek, het gaarne aan meer bevoegden overlaten om hier het woord te voeren over de invloed, die de wiskunde uitoefent en als voorbeeld voor verdere toelichting dat gebied van de techniek kiezen, waarmede ik uit eigen ervaring enigszins vertrouwd ben, n.l. de luchtvaarttechniek. Ter illustratie van de gegroeide invloed van de wiskunde geef ik U hier een klein statistiekje, dat het aantal rapporten van wiskundige aard beschrijft benevens het totaal aantal rapporten, dat uitgebracht is door het grote Amerikaanse instituut voor luchtvaarttechiiisch onderzoek, het National Advisory Committee for Aeronauties en wel in de periode 1936-1939, dus voor de oorlog en in de even lange periode 1947-1950, na de oorlog.
In 1936-1939 werden gepubliceerd in gedrukte vorm 139 rapporten, waarvan er 13 van wiskundige aard waren. In de periode 1947-1950 werden eveneens 139 rapporten in gedrukte vorm verspreid, waarvan er 57 van wiskundige aard waren.
Hier wordt duidelijk de absolute groei van het aandeel dat de wiskunde in het onderzoekingswerk heeft, gedemonstreerd. De cijfers geven geen juist beeld van de relatieve groei, omdat op het ogenblik een groot deel van het experimentele en ontwikkelingswerk uit veiligheidsoverwegingen niet wordt gepubliceerd. Dit geldt echter ook voor de resultaten van numerieke berekeningen, die op het ogenblik met de in Amerika in zeer groot aantal aanwezige electronische rekenmachines worden gedaan en dat als voortzetting van het zuiver theoretische werk kan gelden, terwijl voor het experimentele werk een fundamenteel theoretisch inzicht onontbeerlijk is, zodat men veilig kan concluderen, dat ook het relatieve aandeel van de wiskunde aan het totaal van het onderzoekingswerk belangrijk is gestegen.
Het is verder interessant na te gaan welke onderdelen van de wiskunde vroeger en nu gebruikt werden. Terwijl de 13 rapporten uit de periode van 1936-1939 slechts gebruik maakten van elementaire theorieën, zoals gewone differentiaal-vergelijkingen en slechts hier en daar van de conforme transformatie, is deze verdeling voor de 57 rapporten uit de naoorlogse periode als volgt: 

    conforme transformatie en potentiaaltheorie ............... 8
    hyperbolische partiële differentiaalvergelijkingen ... 24
    variatierekening ............... .......................... 4
    gewone differentiaalvergelijkingen ........................ 4
    asymptotische ontwikkelingen uit de theorie der gewone
    differentiaalvergelijkingen ............................... 3
    integraalvergelijkingen, i.h. bijz. numerieke methoden bij
    bepaalde singuliere vergelijkingen ........................ 2
    numerieke methoden in het algemeen ........................ 5
    matrix rekening ............... ........................... 2
    Laplace- en Fourier transformaties ........................ 4
    mathematische Statistiek ............... .................. 1
Deze statistiek geeft echter aan de andere kant weer een zeer onvolledig beeld van het werk, dat in de Verenigde Staten op het gebied van wiskundige toepassingen in de luchtvaarttechniek en in het bijzonder in de theoretische aerodynamica wordt verricht. Aan vele Universiteiten wordt in opdracht van regeringsinstanties gewerkt en de resultaten van dit werk worden veelal gepubliceerd in de vaktijdschriften, zoals het Quarterly of Applied Mathematics and Mechanics, dat in de oorlog is ontstaan in duidelijke navolging van het bovengenoemde Duitse tijdschrift en dat sedert die tijd door andere tijdschriften is gevolgd. Hier komen ook meer de geavanceerde onderdelen van de wiskunde tot hun recht.
Het is echter een misverstand om te geloven, dat voor ieder technisch probleem, dat mathematisch geformuleerd kan worden, een oplossingsmethode pasklaar uit de schatkamers der mathematische wetenschap te voorschijn gehaald kan worden, hoe rijk en veelomvattend deze schatkamers ook mogen zijn.
Integendeel, wij zijn wel heel ver van deze ideale toestand verwijderd en het aantal problemen, waarbij zelfs met de meest geavanceerde mathematische kennis geen oplossing is te vinden, is ontstellend groot. Dit is te erger, omdat het dikwijls voor de techniek zeer belangrijke problemen zijn, welker oplossing voor verdere ontwikkeling een levensbelang is.
Ik zal hiervan twee voorbeelden uit de aero- en hydrodynamica noemen.
Een theoretische behandeling van de stroming van de lucht om een lichaam met zo grote snelheid, dat in een deel van het veld de plaatselijke snelheid groter en in een ander deel kleiner is dan de snelheid van het geluid, een mathematische behandeling dus van het transsone snelheisdgebied, zou zeer belangrijk zijn, te meer omdat het experimenteel ook uitermate lastig is om dit gebied te bestuderen.
Zij ontbreekt echter nog steeds door het gecompliceerde karakter van de niet lineaire partile differentiaalvergelijkingen, die de stroming beheersen.
Een tweede voorbeeld, dat nog belangrijker is, omdat het toepassingsgebied veel en veel groter is, is de turbulente stromingstoestand. Hier zijn in principe de vergelijkingen ook bekend, het zijn de klassieke stromingsvergelijkingen, van Navier en Stokes, die de stroming van een visceus medium beschrijven.
Terwijl echter bij het probleem van de transsone snelheden er verschillende methoden zijn aan te geven, die tot een mathematische behandeling kunnen leiden, die echter te gecompliceerd zijn om met een aanvaardbare hoeveelheid werk een resultaat op te leveren, verkeert men over de mathematische aard van het turbulentie-probleem nog op zijn gunstigst geformuleerd in de schemering. Door het statistisch karakter van de turbulentie is men geneigd om statistische methoden toe te passen, analoog aan de statische mechanica, zoals die door de theoretische physici wordt beoefend. Terwijl echter de vergelijkingen van de golfmechanica lineair zijn, is dat met de vergelijkingen van Navier en Stokes niet het geval, zodat de bekende theorie ons al spoedig in de steek laat.
Burgers heeft een aantal "mathematische modellen" van de turbulentie opgesteld met de bedoeling door het bestuderen van de oplossingen van eenvoudiger vergelijkingen, die enkele karakteristieke facetten met de vergelijkingen van Navier en Stokes gemeen hebben, tot beter inzicht te geraken en een grondslag te krijgen voor de in de laatste jaren ontwikkelde semi-empirische theorieën, die wel enige beschrijving geven, maar het wezen van de zaak niet kunnen weergeven, omdat de vergelijkingen van Navier-Stokes daar vrijwel niet in voorkomen. Algemeen mathematisch geformuleerd leidt het probleem tot de studie van niet-lineaire variëteiten in de ruimte van Hilbert, de bekende ruimte met oneindig veel dimensies en hangt samen met de nog zo weinig bekende Ergodentheorie, die uitermate moeilijk is.
Om weer tot dichter bij de werkelijkheid staande zaken terug te komen, moet ik U nog wijzen op een kenmerkend verschil in interpretatie tussen de wiskundige en de ingenieur van het begrip "oplossing" van een probleem.
In iedere tak van wetenschap kan men een onderscheid maken tussen een abstract logisch deelgebied en een deelgebied, dat direct aansluit aan de ervaring. Het eerste deel omvat die beweringen, die door omvorming volgens logische wetten uit andere zijn ontstaan, terwijl de aansluiting van de wetenschap aan de werkelijkheid door de beweringen, die ervaringensfeiten uitdrukken wordt gegeven.
In het algemeen is het doel van de wetenschap een zo systematisch mogelijke beschrijving te geven van haar onderwerp, waarbij, uitgaande van een aantal axioma's, die aan de ervaring getoetst kunnen worden (desnoods indirect) het gehele vakgebied beschreven wordt door het logische systeem, dat uit deze axioma's volgt. Hoe meer zich de ervaringsfeiten opstapelen, die overeenkomen met beweringen uit het systeem, hoe succesvoller het systeem is, en hier komt het belang voor de techniek naar voren, hoe beter het systeem zich leent tot het beïnvloeden van de natuur op het speciale gebied.
Na het succes, dat de axiomatische methode in de meetkunde heeft berikt, is men haar op verschillende andere vakgebieden gaan toepassen en men zou de natuurwetenschappen kunnen rangschikken naar de mate, waarin deze axlomatisering voortgeschreden is. Het is bekend, dat de wiskunde hierin aan de top staat, en dat de ervaringsfeiten, waarop het systeem der wiskunde berust, uitermate gering in aantal zijn Hoewel het streven van de wiskundigen er op gericht is, ze zoveel mogelijk te beperken, is er een belangrijke stroming onder diegenen, die zich met het onderzoek naar de grondslagen bezighouden, die van menig is, dat het ervarings-bestanddeel nooit geheel uitgeschakeld kan worden en er tussen de wiskunde, de mechanica en de andere natuurwetenschappen slechts graduële en geen principiële verschillen bestaan.
Een kernnerkend verschijnsel bij de beoefening van een wetenschap is echter, en dit geldt voor de wiskunde even goed als voor ieder ander vak, dat de resultaten aan de rand van het reeds bekende gebied nooit gevonden worden in de axiomatische vorm, maar op grond van vage intuïties, gebaseerd op vroegere ervaringen en dat deze resultaten eerst achteraf geordend worden in het formele systeem, waarbij vaak de weg, die aanvankelijk tot het resultaat leidde, nauwelijks meer te herkennen valt. Men vergelijke hiermede de aan het begin van deze rede gemaakte opmerking over de vroegere wisselwerking tussen natuurwetenschap en wiskunde. Geformuleerd met de woordenvan Mannoury in het boekje "Mathesis en Mystiek": "Spreek-wiskunst zoekt, vermoedt, gist, raadt of raadt mis, geniet en lijdt, duizelt en slaat spijkertjes [om bijna goede redeneringen bij te spijkeren], maar hoor-wiskunst blijft er kalm bij en verschanst zich in kant en klare definities en laat logarithme-tafels drukken met stereotiepplaten. En wil zijn moeder niet meer kennen! . . ."
Het verschil tussen de zuivere en de toegepaste wiskunde is het verschil in doelstelling. De doelstelling van de wetenschap is het verkrijgen van kennis, ik heb boven gepoogd om dit nader te omschrijven, de techniek echter vervult een sociale functie, haar doelstelling is de resultaten van de wetenschap te gebruiken voor constructies ten dienste van de maatschappij en de toegepaste wiskunde moet een antwoord geven op concrete vragen, die bij deze constructies opkomen.
Soms zijn deze vragen reeds wiskundig geformuleerd, dikwijls ook niet. De vertaling van het technische probleem in wiskundige terminologie is steeds een werk, dat aan de eigenlijke wiskundige oplossing moet voorafgaan en deze oplossing moet ook steeds gevolgd worden door een formulering in de technische terminologie.
"Onder die omstandigheden is de belasting van het beschouwde onderdeel zo groot, en om deze belasting te kunnen houden, moeten de afmetingen minstens zo groot zijn" zodat de constructeur direct met deze resultaten rekening kan houden.
Dit verschil in doelstelling maakt het dus niet nodig, dat de resultaten van het wiskundige onderzoek in de strenge mathematische vorm gegoten worden, integendeel, dit kan soms storend werken bij de omzetting in de taal van de techrek. Ook de door de mathematicus gestelde strenge eisen van nauwkeurigheid blijven veelal achterwege, de nauwkeurigheid van de uitkomsten behoeft in principe niet groter te zijn dan de nauwkeurigheid, waarmee de constructeur zijn bouwsels kan maken.
Deze els van de mogelijkheid van omzetting in de technische terminologie heeft nog een ander gevolg: het is gewenst de uitkomst in zo eenvoudig mogelijke vorm te gieten en dit kan ertoe leiden, dat een snel en gemakkelijk te verkrijgen resultaat, dat minder nauwkeurig is, dikwijls verkozen wordt boven een strenge, door moeizame berekeningen verkregen oplossing. In de techniek speelt het geld, en daarmee de tijd, een grote rol, hoezeer dit de research-werker dikwijls aan het hart gaat!
Ik wil deze algemene beschouwing toelichten aan een enkel voorbeeld: het gebruik van asymptotische ontwikkelingen.
Een functie laat een asymptotische ontwikkeling toe, indien zij een parameter L bevat, die zeer grote waarden kan aannemen en indien het mogelijk is voor de furictie een reeks op te schrijven, waarbij de opvolgende termen op de duur naar nul toe gaan als de negatieve machten van deze parameter, als deze steeds toeneemt. Het merkwaardige van deze reeksen, die door Poincaré zijn ingevoerd bij de bestudering van de hemelmechanica (hét vak, waar de toegepaste wiskunde een generatie terug werd belichaamd), is, dat zij niet behoeven te convergeren in de gewone zin des woords; d.w.z., dat de som van een eindig aantal termen bij een vaste waarde van L niet tot een eindige waarde behoeft te naderen, indien het aantal termen onbepaald toeneemt.
De eis, die hier gesteld wordt is, dat bij een vast aantal termen het verschil tussen de waarde van de functie en de waarde van de som willekeurig klein wordt, indien de parameter maar groot genoeg wordt gekozen.
Voor zeer grote waarden zijn dikwijls &eactue;én of twee termen al voldoende om een goede benadering van de functie op te leveren.
Deze asymptotische ontwikkelingen spelen in de toegepaste wiskunde een zeer grote rol en ik onderscheid hierbij drie mogelijkheden, die karakteristiek zijn voor de denkwijze in dit vak.
In het eerste geval is de ontwikkeling van de functie streng mathematisch mogelijk en kan voor de restterm (het verschil tussen de waarde van de functie en de som van een eindig aantal termen van de reeks) een bovengrens aangegeven worden, voor elke waarde van de parameter.
Voor een mathematicus is dit de enige wijze, waarop het gebruik van een asymptotische ontwikkeling bevredigend kan zijn.
Inderdaad is het in zeer veel gevallen mogelijk deze schattingen te geven, veel werk is op dit gebied verricht door Van der Corput en zijn school. Het spreekt echter vanzelf, dat alleen in betrekkelijk eenvoudige gevallen het uitvoeren van dit programma mogelijk is.
Veelal, vooral bij het zoeken naar asymptotische ontwikkelingen van een oplossing van een differentiaal-vergelijking, is het wel mogelijk een voorschrift te geven om de opeenvolgende termen van de reeks te berekenen, maar de schatting van de restterm is dermate gecompliceerd, dat zij niet meer uitvoerbaar is. In dit geval gaat men in de practijk zo te werk, dat men een aantal termen van de reeks berekent. Indien de laatst berekende term (of soms twee termen) niet meer een bijdrage leveren, die de berekende functiewaarde binnen de gestelde nauwkeurigheidselsen beïnvloedt, is men tevreden.
Het merkwaardige is zelfs, dat men juist aan deze methode de voorkeur geeft. Bij het aangeven van een exacte bovengrens van de restterm is men n.l. genoodzaakt om hier en daar vrij grove schattingen in te voeren, zodat de aangegeven bovengrens meestal de werkelijke waarde van de restterm sterk overtreft en dan van weinig practisch nut is.
In de mathematische physica komt evenwel een derde mogelijkheid het meeste voor en het is voor een goed begrip van de hier gevolgde redeneringen nodig geweest hier enige aandacht aan te wijden. In dit geval is het practisch vrijwel niet uitvoerbaar om meer dan de eerste term van de ontwikkeling te berekenen, terwijl de optredende parameter toch niet zo groot is, dat deze eerste term al binnen de gestelde nauwkeurigheidseisen een resultaat levert. Het is dan een vrij grove benadering, die ook voor een ingenieur niet meer quantitatief aanvaardbaar is.
De problemen, die de natuur ons stelt, zijn echter zo gecompliceerd, dat men bijna altijd in dit derde geval verkeert. Dit is n.l. steeds zo indien men bij een probleem, welks exacte formulering aanleiding geeft tot een niet-lineaire differentlaalvergelijking, deze "met geweld" gaat lineariseren, d.w.z. men stelt, dat de niet-lineaire termen in de vergelijkingen klein zijn en laat ze in eerste benadering weg. Door dit zonder commentaar te doen, verdoezelt men het feit, dat hier eigenlijk een probleem uit de theorie der asymptotische ontwikkelingen aanwezig is met het gevolg, dat dit dan ook onopgemerkt blijft, zowel door de ingenieur, die de asymptotische ontwikkelingen vaak niet kent, als door de mathematicus, die de problemen in de literatuuroverzichten niet onder het hoofd "asymptotische ontwikkelingen" gerangschikt ziet.
Als voorbeeld zal ik kiezen de theorie der dunne draagvlakken in de aerodynamica, de mathematische beschrijving van de stroming langs een draagvlak, waarbij op grote afstand van dit draagvlak een homogene parallelstroming heerst. Dit is uiteraard equivalent met de berekening van het veld dat een draagvlak, dat met constante snelheid door een stilstaand medium, i.c. de lucht, wordt voortbewogen, veroorzaakt.
Indien het medium samendrukbaar is, komt voor de componenten van de snelheidsvector t.o.v. een rechthoekig assenstelsel een stelsel van niet-lineaire partiële differentiaal-vergelijkingen van de eerste orde te voorschijn, terwijl als randvoorwaarden voor het probleem in de eerste plaats de voorwaarde, dat op grote afstand van het draagvlak de ongestoorde parallelstroming heerst, optreedt en verder op het draagvlak zelf zekere voorwaarden gesteld worden.
De asymptotische ontwikkeling kan hier nu geïntroduceerd worden, indien men veronderstelt, dat overal op het draagvlak het raakvlak aan het oppervlak een kleine hoek maakt met de richting van de ongestoorde snelheid. Immers, de reciproke waarde van de maximale grootte, die deze hoek kan aannemen, is dan de grote parameter.
Door deze parameter expliciet in de vergelijkingen en de randvoorwaarden in te voeren, verkrijgt men dan voor de hoofdterm van de asymptotische ontwikkeling vergelijkingen die bekend staan als de vergelijkingen van de gelineariseerde theorie. Omdat wij nu eenmaal een stelsel lineaire vergelijkingen veel beter beheersen dan een stel niet-lineaire vergelijkingen, kunnen wij zeer veel problemen met deze benadering oplossen. Vrijwel alle rapporten, die in mijn bovengenoemde statistiekje betrekking hadden op hyperbolische partiële differentlaal-vergelijkingen zijn uitwerkingen van problemen uit de draagvlaktheorie in deze lineaire approximatie en wel voor supersone hoofdsnelheid.
Het is duidelijk, dat de hier genoemde procedure moet kunnen leiden tot tweede en hogere benaderingen. Dit is echter door de zeer grote hoeveelheid werk, die er aan verbonden is, vrijwel niet uitvoerbaar, zodat men zich met de eerste benadering tevreden stelt.
Toch is deze handelwijze zeer bedenkelijk. Immers de eis, die aan het invoeren van de asymptotische oplossing gesteld werd, was, dat overal het raakvlak aan het oppervlak een kleine hoek met de ongestoorde stromingsrichting maakte.
Welnu, indien het draagvlak aan de voorkant rond is, is daar ter plaatse het raakvlak verticaal, zodat deze voorwaarde duidelijk geschonden is. Het gevolg is, dat de berekening oplevert, dat aan de voorkant een oneindig grote snelheid heerst, terwijl dit in werkelijkheid niet het geval is. In de eiikele gevallen, die exact berekend kunnen worden, blijkt de snelheid hier wel groot te worden, maar de vereenvoudigde berekening is toch principieel fout, zij introduceert singulariteiten, die er in werkelijkheid niet zijn.
Wat is nu de zin van dergelijke beschouwingen, die ook zelfs een toegepast mathemathicus niet kunnen bevredigen ?
Het antwoord is duidelijk: "beter een half el dan een lege dop". Het is beter althans enige kennis te bezitten, en, dit is belangrijk, deze met beleid te interpreteren, dan in het geheel niet.
De techniek stelt vragen en eist daarop een antwoord, de toegepaste wiskunde kan niet anders doen dan de problemen met "third degree"-methoden aan te vallen, om de gewenste resultaten te verkrijgen, maar moet zich dan ook realiseren, dat zij met het trekken van conclusies uit op deze wijze verkregen resultaten uitermate voorzichtig moet zijn.
Waar de extreme vorm van de strenge mathematische critiek verstek laat gaan, omdat zij niet anders kan doen dan alles onaanvaardbaar te verklaren, moet een op ervaring gebaseerde vorm van critiek aanwezig zijn, die het ene resultaat wel, het andere niet geloofwaardig acht en die alleen verkregen kan worden, als de beoefenaar van dit vak behalve een omvangrijke kennis van de te gebruiken mathematische methoden ook een fundamenteel inzicht heeft in de physische verschijnselen, waarop de wiskunde wordt toegepast.
Dit inzicht is al direct nodig bij het eerste stadium van onderzoek, n.l. bij de omzetting van het technische probleem in mathematische taal.
De natuurverschijnselen zijn n.l. altijd gecompliceerd en een mathematische formulering kan vrijwel nooit het probleem in zijn geheel omvatten. Ik heb hier niet het oog op de philosophische vraag of een mathematische formulering van het natuurgebeuren in volle omvang mogelijk is, ik bedoel alleen, dat van de in de techniek voorkomende problemen steeds alleen die facetten naar voren gebracht moeten worden, die belangrijk geacht moeten worden.
Deze formulering moet dus steeds door de technicus in samenwerking met de toegepaste wiskundige geschieden, waarbij de eerste ervoor moet waken, dat het effect, dat hem interesseert, naar voren komt en waarbij de tweede moet zoeken naar middelen om de vergelijkingen zo eenvoudig te maken, dat hij zich in staat acht ze te beheersten. Ook bij deze discussie is een belangrijke mate van verstandhouding nodig en de toegepast wiskundige mag niet een alleenstaande figuur zijn, die slechts aanknopingspunten met zijn directe vakgenoten heeft.
Het is geen toeval, dat de nieuwe opbloei van de toegepaste wiskunde valt op een tijdstip waarop overal ter wereld het wetenschappelijk onderzoek wordt verricht door research-teams. De toegepast wiskundige is in zo'n team een waardevol onderdeel en eerst in deze entourage kan zijn werk ten volle tot zijn recht komen.
In het buitenland wordt dit ook allerwegen ingezien en zijn op grote schaal wiskundigen in de research-teams ingeschakeld. Ook in ons land begint deze nieuwe taak duidelijk te worden. Het aantal wiskundigen, dat werkzaam is in de industrie of in laboratoria voor toegepast wetenschappelijk onderzoek, dat voor de oorlog gemakkelijk op de vingers van één hand geteld kon worden, neemt zienderogen toe. Dat dit echter aan de opleiding voor toegepaste wiskunde speciale eisen stelt, is duidelijk. Het is niet alleen een zaak van te behandelen onderwerpen, het is ook gewenst vroegtijdig kennis te maken met de andere denkgewoonten in de techniek, die ik hierboven geprobeerd heb te schetsen en die zeer verschillen van de mathematische denkwijze. Eigenlijk is de toegepaste wiskunde het arbeidsveld van de theoretisch werkende ingenieur, zoals ook door Von Mises in de beginselverklaring van het Zeitschrift fü Angewandte Mathematik und Mechanik uitdrukkelijk is vermeld.
Men kan dus op twee manieren tot dit vak komen: als wiskundige door zich met de techniek vertrouwd te maken, als ingenieur door zeer veel wiskunde te leren en de practijk leert ook, dat belde categorien vertegenwoordigd zijn. Om ingenieurs met de nodige mathematische hulpmiddelen uit te rusten moeten deze in ruime mate beschikbaar gesteld worden tijdens de opleiding en dit kan in nauw contact met de technische vakken geschieden. Zo kan een goede basis gelegd worden voor diegenen, die in de toekomst een werkkring op theoretisch gebied in de Nederlandse laboratoria voor toegepast wetenschappelijk onderzoek wensen.
Ik heb de indruk, dat een ruime toevloed van wiskundigen met een inzicht in de techniek of van ingenieurs met een goede kennis van wiskundige methoden op vele plaatsen met vreugde begroet zou worden.
Ook in ons land is voor de wiskunde de weg tot een nieuwe sociale functie geopend en ik hoop, dat de gelegenheid gevonden zal worden om haar die functie met ere te laten bekleden.

Zeer gewaardeerde Toehoorders,

Bij de aanvaarding van mijn ambt moge ik in de eerste plaats mijn eerbiedige dank betuigen aan Hare Majesteit de Koningin, die mij heeft willen benoemen tot hoogleraar aan de Technische Hogeschool.

Edelgrootachtbare Heren Curatoren,

Voor Uw medewerking bij mijn benoeming ben ik U zeer dankbaar. Ik kan U de verzekering geven, dat ik mijn beste krachten zal wijden aan de taak, waarvoor ik aan de Technische Hogeschool gesteld ben; in het bijzonder, daar ik een deel van mijn vorming, zij het niet op de collegebanken, aan haar te danken heb.

Mijne Heren Hoogleraren aan de Technische Hogeschool,

Het is voor mij een groot voorrecht in Uw kring te worden opgenomen. De vriendelijke houding, die ik in het verleden van velen Uwer ondervonden heb geeft mij de hoop, dat ik ook in de toekomst bij U om steun en voorlichting niet vergeefs zal behoeven aan te kloppen en ik hoop, dat ik ook hier en daar in staat zal kunnen zijn U behulpzaam te zijn.

Mijne Heren Hoogleraren van de Sub-Afdeling Wiskunde,

Hoewel de weg, die mij na het verlaten van de Universiteit tot deze plaats heeft gevoerd, verschillend is van de weg, die gij hebt doorlopen, en dit noodzakelijkerwijze zijn stempel op mij heeft gedrukt, vertrouw ik, dat dit een vriendschappelijke en vruchtbare samenwerking niet in de weg zal staan. Uit het feit, dat de voordracht tot mijn benoeming van U is uitgegaan, meen ik te mogen afleiden, dat eenzelfde vertrouwen ook bij U aanwezig is en ik ben U daar zeer erkentelijk voor.

Mijne Heren Hoogleraren en Lectoren van de Afdeling der Werktuig-, Scheeps- en Vliegtuigbouwkunde,

Door mijn vroegere werkkring ben ik met verschillende van U reeds meerdere malen in aanraking gekomen. Het stemt mij tot een grote vreugde, dat ik in de gelegenheid gesteld word dit contact te handhaven en te versterken, thans als Uw collega.

Mijne Heren Instructeurs en Assistenten, Dames en Heren van het Personeel van de Sub-Afdeling Wiskunde,

Uit de prettige wijze waarop ik in de afgelopen weken met U gewerkt heb, koester ik de hoop, dat dit in de toekomst op dezelfde wijze het geval zal zijn.

Het zij mij vergund bij deze gelegenheid mijn dank te betuigen aan allen, die tot mijn wetenschappelijke vorming hebben bijgedragen.

Hooggeleerde Freudenthal,

De tijd, die ik in Amsterdam onder Uw leiding heb gewerkt, staat mij nog duidelijk voor de geest en ik heb nog dikwijls steun geput uit de aanmoedigingen, die ik van U heb mogen ontvangen. Ik kan U de verzekering geven, dat de gevoelens van eerbied en vriendschap, die ik destijds koesterde, onveranderd in mij voortleven.

Hooggeleerde Bremekamp,

Morgen is het zes jaar geleden, dat U mij op deze plaats toegesproken hebt in Uw functie als promotor. Ik prijs mij gelukkig, dat ik op het ogenblik in de gelegenheid ben U hier mijn dank uit te spreken voor de bereidwilligheid, waarmede U deze taak aanvaard en volvoerd hebt en de vriendelijke en hulpvaardige wijze, waarop U mij van Uw kennis en ervaring gebruik hebt laten maken. Ik betreur het, dat ik U hier niet meer als directe collega kan begroeten, maar ik heb opgemerkt, dat Uw belangstelling voor de werkzaamheden van de Technische Hogeschool en Uw werkkracht beiden zo groot zijn, dat ik verwacht U hier nog meerdere malen aan te treffen.

Hooggeleerde Burgers,

Mijn eerste contact met de Technische Hogeschool, nu ongeveer 10 jaar geleden was een contact met U, dat geculmineerd heeft in de zo juist genoemde promotie, waarbij U als tweede promotor optrad.
Het was wederom U, die mij enige jaren geleden het verzoek deed, om tijdens Uw verblijf in de Verenigde Staten een deel van Uw werk over te nemen.
Uit de vriendelijke wijze, waarop U mij de laatste maanden weer tegemoetgekomen bent koester ik de beste verwachtingen, dat in de toekomst dit contact geïntensiveerd zal worden. Ik hoop in staat te zijn nog meerdere malen van Uw diep inzicht in de verschijnselen, die het zo moeilijke vak van de aero- en hydrodynamica vertoont, te kunnen leren.

Hooggeleerde Van der Corput,

Helaas behoor ik niet tot diegenen, die zich Uw directe leerlingen kunnen noemen. Niettegenstaande dat is Uw invloed op mijn wetenschappelijke vorming zeer groot geweest en heb ik in de afgelopen jaren toch de gelegenheid gehad om met Uw kring van nabij kennis te maken.
Ik ben U zeer dankbaar voor de vruchtbare uren, die U mij van Uw druk bezette tijd hebt afgestaan en die voor mij van zeer grote betekenis zijn geweest, omdat ik hier de gelegenheid gehad heb om Uw werkmethode, die tot zulke grote resultaten heeft geleid van nabij te zien en tevens voor de morele steun, die ik van U heb ontvangen in die tijd. Ik spreek de wens uit, dat dit ook in de toekomst nog wel eens het geval zal zijn en dat nog vele generaties jonge wiskundigen datzelfde voorrecht geschonken zal worden.

Hooggeleerde Van Veen,

De band, die ons bindt, is reeds oud. Mocht ik reeds als student Uw grote kennis horen roemen, mijn eerste, weliswaar bescheiden, publicatie is door Uw handen gegaan en heeft, naar mij later bleek, de basis gelegd voor de vriendschappelijke verhouding, die de laatste jaren tussen ons heeft bestaan. Ik hoop ook in de toekomst met U, die mijn naaste oudere collega bent deze vriendschap te behouden en deze tot heil van het onderwijs en het wetenschappelijke werk aan de Technische Hogeschool aan te wenden.

Dames en Heren Vrienden en Collega's van het Nationaal Luchtvaart Laboratorium,

Een afscheid stemt altijd weemoedig, als ermee een afsluiten van een levensperiode gepaard gaat, waaraan men met vreugde terugdenkt. Deze vreugde is gebaseerd op de bijzonder prettige omstandigheden, waaronder ik met U gewerkt heb en die mij ten volle de ontplooiingsmogelijkheden hebben geleverd, die ik nodig had, èn aan Uw vriendschap. Ik wil hier geen namen noemen, de rij zou te groot zijn, maar ik wil één uitzondering maken voor de naam van onze, helaas overleden Directeur, Ir. C. Koning, de man, die mij geleerd heeft, dat bij alle werk de menselijke factor de belangrijkste is.
Gelukkig is het contact niet geheel verbroken en ik verwacht, dat ik in de periode van nieuwe bloei, waarin het Laboratorium, dank zij de energie en het doorzettingsvermogen van Zijn Bestuur, in het bijzonder van U, Hooggeleerde Van der Os, is gekomen, ook nog enigszins deelgenoot zal kunnen zijn.

Mijne Heren leden van de Raad van Beheer en medewerkers van het Mathematisch Centrum,

De ontwikkeling van het Mathematisch Centrum heb ik in de afgelopen jaren in verschillende hoedanigheden met grote belangstelling en waardering gevolgd. Ik ben de overtuiging toegedaan, dat in ons land voor het Centrum een grote taak is weggelegd. Ik hoop in de toekomst in staat te zijn om, voor zover mij dit mogelijk is, een bijdrage te leveren tot Uw werk, teneinde voor het vele, dat ik in de afgelopen jaren heb mogen ontvangen althans enige tegemoetkoming te leveren.

Dames en Heren Studenten,

Mijn taak hier is U de wiskunde te onderwijzen, die U in Uw latere loopbaan als ingenieur nodig zult hebben. De omvang van deze benodigde wiskunde is sterk variërend. Ik ken verschillende ingenieurs, die hun werk uitstekend vervullen en niet meer een eenvoudige functie kunnen differentiëren, ik ken anderen, die problemen oplossen, die mathematici van professie verstomd doen staan en dit gehele spectrum is in U als geheel in de kiem aanwezig.
Toch is er in de eerste jaren geen differentiatie in de groep, die aan mijn zorgen is toevertrouwd. Dit lijkt onnuttig, maar is het niet, want ook voor diegenen, die later met een zucht van verlichting hun wiskundeboeken voor goed in de kast zetten, is het nodig geweest de denkscholing door te maken, die de wiskunde geeft. Immers juist deze denkscholing onderscheidt een ingeneur, die in staat moet zijn problemen (of zij nu van wetenschappelijke, constructieve of bedrijfstechnische aard zijn) scherp te stellen en behalve het hoe ook het waarom te begrijpen, van een andere technicus. Tot diegenen, die zich geroepen voelen tot toegepast wetenschappelijk onderzoek, heb ik na al miin voorgaande woorden niet veel meer te zeggen, zij zullen de wiskunde aan het werk zien, als experimentatoren bij hun theoretische collega's, als theoretici in hun eigen gedachtebouwsels.
Gij allen echter kunt erop rekenen, dat ik steeds bereid zal zijn U steun en voorlichting te verschaffen, waar mij dit maar mogelijk is en ik hoop, dat ik ook van U op een tegemoetkomende houding mag rekenen.

Ik heb gezegd.