De theorie van de annuïteiten-hypotheek voor kleine tijdsintervallen luidt in woorden als volgt. De afname (negatieve toename) van de schuld plus de rente over deze schuld (momentane schuld maal rentevoet maal tijdsinterval ) is gelijk aan een constant bedrag per tijdsinterval, maal dat tijdsinterval. In de taal van de wiskunde leidt dit tot de basisvergelijking:   - dS + S.v.dt = m.dt
Hierin is: t = tijd ; S(t) = schuld als funktie van de tijd ; v = rentevoet = rentebedrag per tijdseenheid per geldeenheid ; m = termijn = te betalen per tijdseenheid.
Dit geeft een Gewone eerste orde DifferentiaalVergelijking (GDV):   - dS/dt + v.S = m
Nemen we verder aan dat de rentevoet ( v ) en de termijnen ( m ) constant zijn. Dan is deze GDV op te lossen als volgt:
  (d/dt - v) S = - m   ;     e^v.t d/dt e^-v.t S = - m   ;     d/dt e^-v.t S = - m . e^-v.t   ;     e^-v.t S = m/v . e^-v.t + C   ;     S(t) = m/v + C . e^v.t
Voor   t = 0   is S(0) = B = hoofdsom , dus:   B = m/v + C   ;   S(t) = m/v + (B - m/v) . e^v.t
Aan het eind van de looptijd, voor   t = T   is de schuld afgelost:   S(T) = m/v + (B - m/v) . e^v.T = 0
Hieruit zijn de termijnen   m   op te lossen:   m/v . (1 - e^v.T) = - B . e^v.T   ;     m = B . v . e^v.T / ( e^v.T - 1 )
Nogmaals de schuld als funktie van de tijd:   S(t) = m/v + (B - m/v) . e^v.t = m/v . (1 - e^v.t ) + B . e^v.t   Hierin is:   m/v = B . e^v.T / ( e^v.T - 1 )
Dit geeft:   S = B . e^v.T (1 - e^v.t ) / ( e^v.T - 1 ) + B . e^v.t . ( e^v.T - 1 ) / ( e^v.T - 1 )   . Konklusie :   S(t) = B . ( e^v.T - e^v.t ) / ( e^v.T - 1 )
De Aflossing als funktie van de tijd is gelijk aan de hoofdsom minus de schuld:
A = B - S(t) = B . ( e^v.T - 1 ) / ( e^v.T - 1 ) - B . ( e^v.T - e^v.t ) / ( e^v.T - 1 )   dus:   A(t) = B . ( e^v.t - 1 ) / ( e^v.T - 1 )
De grootheid   m.T   is het totaalbedrag van de betaalde termijnen. Noem   M(t) = in totaal betaalde termijnen als funktie van de tijd.
Dan is:   M(T) = m.T   en   M(t) = M(T) . t / T
Hiermee is de rente als funktie van de tijd:   R(t) = M(t) - A(t)   . En de totale rente over de hele looptijd is: R(T) = M(T) - B
Het produkt   m.T   van termijnen en looptijd is interessant en wordt uitgedrukt in de rentevoet en de looptijd als:   m.T = B . v.T . e^v.T / ( e^v.T - 1 )
Het totaal betaalde bedrag gedeeld door de hoofdsom kan worden geschreven als:   M(T) / B = x / ( 1 - e^-x )
Men kan nu licht inzien dat de totale kosten in verhouding tot de geleende som sterker dan lineair stijgen, bij gegeven vaste rentevoet en toenemende looptijd.
Nog anders geschreven:   1 - e^-x = α x   met x = v . T   en α = B / M , waarin B = koopsom , M = totaal van de betaalde termijnen.
Hiermee is de continue opvatting van de annuïteiten-hypotheek voldoende uitgewerkt.

De (discrete) formules van de bank zagen er oorspronkelijk anders uit:   m.T = (1 + v)^N . B . v . N / [ (1 + v)^N - 1 ]
Nieuw is   N = aantal termijnen (maanden of jaren). Vanwege die termijnen maken we een overgang naar het continue domein. Neem de termijn als eenheid en stel: T / N = 1 , immers de looptijd gedeeld door het aantal termijnen is één termijn. Hiermee is:   m.T = ( 1 + v.T / N )^N.B.v.T / [ ( 1 + v.T / N )^N - 1 ]
Hou nu de looptijd konstant en maak een steeds fijnere indeling in termijnen; laat dus N onbeperkt toenemen.
Dan convergeren de uitdrukkingen   (1 + x / N)^N   naar de exponentiële functie:   e^x   .
Dus:   m.T = e^v.T.B.v.T / [ e^v.T - 1 ]   . Dit is exakt dezelfde formule als we eerder hebben gevonden.
De vraag luidt opnieuw wanneer door alle termijnbetalingen samen de hoofdsom is terugbetaald, plus nog eens de hoofdsom in rente,
twee keer de hoofdsom dus:   2.B = e^v.T.B.v.T / [ e^v.T - 1 ]
Het komt er op neer dat we de volgende vergelijking moeten oplossen:
2 = e^x.x / [ e^x - 1 ]     ==>    2 [ e^x - 1 ] = e^x . x     ==>    e^x ( x - 2 ) + 2 = 0
Hierin is: x = v.T . Deze vergelijking is niet elementair, ze is van het trancendente type. Maar het is niet zo moeilijk om er een klein programmaatje voor te schrijven. Een goede beginschatting is de grensnut-waarde 2 van de lineaire hypotheek. De gebruikte numerieke methode is de methode van Newton om nulpunten te bepalen.

program annuiteit;

type
  funktie = function(x : double) : double;

function origineel(x : double) : double;
begin
  origineel := (x-2)*exp(x)+2;
end;

function afgeleide(x : double) : double;
begin
  afgeleide := exp(x)*(x-1);
end;

function Newton(P,eps : double; verloop, helling : funktie) : double;
{
   y - f(p_n) = f'(p_n).(x - p_n)   met  y = 0   en   x = p_(n+1)
   ==>          p_(n+1) = p_n - f(p_n)/(f'(p_n)
}
var
  x : double;
begin
  x := P;
  while abs(verloop(x)) > eps do
    x := x - verloop(x) / helling(x);
  Newton := x;
end;

function Vergelijking : double;
{
  Vergelijking oplossen
}
const
  eps : double = 1.e-9;
begin
  Vergelijking := Newton(2, eps, origineel,afgeleide);
end;

begin
  Writeln('GrensNut = ',Vergelijking);
end.

GrensNut =  1.59362426004024E+0000