FUNKTIONEREN

1. De arbeid
2. Causaliteit
3. Werkelijk waar
4. Historisme
5. Ekonomische politiek
6. Samenvatting
7. Aantekeningen
8. Referenties

In deze zin is het arbeidsproces reeds geanalyseerd, en wel door Karl Marx, in "Das Kapital" [1]. Maar wij willen niet alleen maatschappelijke, doch ook natuurlijke processen onder dit ene gezichtspunt, dat wil zeggen als materiele werkelijkheid samenvatten.

Iedere verrichting brengt veranderingen teweeg in materie welke haar wordt aangeboden. Breien verandert wol in een trui; zagen verandert een boomstam in planken; zien verandert licht in zenuwpulsen; beweging verandert het geheel van voorwerp en omgeving; rekenen verandert getallen in andere getallen. Pas door het verwerken van materie wordt een funktie werkzaam, is zij werk-elijk. Het arbeidsproces vindt dus plaats in de volgende vormverandering (steeds kan ter vergelijking hiernaast een passage uit "Das Kapital" worden gelegd):

Materie - Arbeid - Materie

Of kortweg: M - A - M .
Het resultaat van het proces is, puur materieel beschouwd, de beweging M - M; dat is meteen de grondslag van het klassieke wiskundige funktiebegrip. Maar laat ons eerst het onverminkte arbeidsproces nader beschouwen.

M - A . Eerste fase van de arbeid, analyse van materie.
De arbeid verbruikt zijn stoffelijke elementen (voorwerp en middel), verteert hen en derhalve is het een konsumptieproces. Gedefinieerd door de wijze waarop zij materiaal verandert en vervormt, kan er geen funktie bestaan zonder de aanwezigheid van (ver)bruikbare grondstoffen. Een gloeilamp zal geen licht kunnen geven zonder stroom te verbruiken.

Maar de arbeid is niet louter konsumptie, het verwerkte materiaal niet alleen maar gebruiksartikel. Beschouwt men het gehele proces vanuit het resultaat, het produkt, dan blijkt iedere verrichting tevens produktie te zijn, voortbrengen van iets anders, produktieve arbeid dus.

A - M . Tweede fase van de arbeid. Synthese van materie.
Samenvoegen en scheiden zijn de enige elementen die de menselijke geest bij de analyse van het arbeidsproces uiteindelijk kan waarnemen.

Stukken metaal gaan onder een draaibank, teneinde in de gewenste vorm te worden gebracht. De draaibank verbruikt elektriciteit. De mens die aan de machine staat heeft om te kunnen werken voedsel, kleding en onderdak nodig. Aan de andere kant zijn beide, zowel de draaibank als de werkman, onderhevig aan slijtage. Na enige tijd gaat de machine naar de sloop, en de machinebankwerker met pensioen. Mensen en machines verslijten tijdens hun leven en werken. Ze eten als het ware zichzelf op door iedere keer een stukje van het eigen lichaam over te dragen op de stoffen die ze bewerken. Aangetast door het vuur van de arbeid worden zij verteerd als vormingselementen van nieuwe produkten. Daarom ook worden kosten van afschrijving verrekend in de prijs van een produkt. De funktie van het draaien van metalen onderdelen moet volledigheidshalve dus beschreven worden door:

arbeider + draaibank + voeding en onderhoud + ruw materiaal -> vermoeide arbeider + gesleten draaibank + beider afval + produkt

Een beschrijving als: ruw materiaal -> bewerkt materiaal is onvolledig: arbeider en arbeidsmiddel behoren eveneens gerekend te worden tot de grondstoffen van een verrichting; een deel van de produktie is louter slijtage. Dit bijprodukt is welhaast onvermijdelijk. Iedere funktie heeft zo zijn afvalprobleem.

Kan het bij de fabrikage van spullen nog wel de schijn wekken alsof de werking geheel en al uitgaat van de machine en degene die hem bedient; kijken we naar de vrije natuur, dan wordt weldra duidelijk dat hier sprake moet zijn van enig gezichtsbedrog. De kosmos is waarachtig niet gezegend met een onveranderlijke Bewerker in de zin van Aristoteles. Zelfs God is moe geworden van het arbeiden; als men de Bijbel mag geloven "rustte Hij op de zevende dag van al het werk".

De zon straalt warmte uit, zij produceert warmtestraling. Toch wordt door de zonnemassa geen brandstof opgenomen van buitenaf. De grondstof voor de straling wordt gevormd door de materie van het zonnelichaam zelf. De zon kan alleen maar schijnen doordat ze zichzelf als het ware opsoupeert:

zon -> minder zon + straling

Bij levende wezens loopt het precies andersom. Een plant neemt water en zouten op uit de grond, licht en kooldioxide uit de atmosfeer, en stelt deze stoffen samen tot produkten die voor een groot gedeelte opgenomen worden in het eigen lichaam. In feite produceert de plant hiermee voortdurend zichzelf terug:

plant + voedingsstoffen + licht -> gegroeide plant + o.a. zuurstof

Het produkt van de individuele consumptie is de consument zelf.

Het allerduidelijkst zien we de werkingen van de materie gedemonstreerd in de scheikunde; de reaktievergelijkingen van de chemie bewijzen ons dat slechts de inwerking van materie op zichzelf wezenlijk is voor funkties. In plaats van de werkman en zijn machine, beide voorzien van hulp- en grondstoffen, treedt nog slechts naar voren de wederkerige interaktie. Bijvoorbeeld:

waterstof + zuurstof -> water + warmte

Of nauwkeuriger, in de taal van de scheikunde zelf:

2 H₂ + O₂ → 2 H₂O + 138 kcal

De produktie van water uit waterstof en zuurstof geschiedt inderdaad zonder tussenkomst van derden; de gronstoffen reageren met elkaar "op eigen kracht". Ook in de kernfysika kent men deze "vanzelf verlopende" arbeidsprocessen:

¹₁H + ¹²₆C → ¹³₇N

¹⁴₆C → ¹⁴₇N + ⁰_-1e

En het "omega minus" deeltje zou gedetekteerd zijn dank zij het volgende produktieproces:

K^- + p⁺ → Ω^- + K⁺ + K⁰

In zijn "Fysika" maakt Aristoteles expliciet onderscheid tussen natuurlijke en kunstmatige verandering. Hij ziet daarbij over het hoofd dat de maker, in wie de verandering zijn bron heeft, door te arbeiden: ook zichzelf bearbeidt. In een maatschappij als de Griekse, die immers gebaseerd was op slavenarbeid, kon men gemakkelijk blind zijn voor dit feit. Overigens is de knappe analyse van Aristoteles eerst veel later overtroffen.

We zijn uitgegaan van het arbeidsproces, zoals zich dat dagelijks voltrekt in onze fabrieken. De materiele produktie binnen de menselijke samenleving was en is ons uitgangspunt. Maar als vanzelf moesten we daardoor ook arbeidsprocessen in aanmerking nemen die werkzaam zijn buiten het menselijk handelen om: alle biologische, chemische en fysische processen. Een strikt onderscheid tussen natuurlijk en kunstmatig is ons zodoende ontvallen, op puur empirische gronden. Een dergelijk onderscheid viel overigens met het voortschrijden van de techniek steeds moeilijker vol te houden. Het is lang geleden dat de natuurkunde kennis van de natuur was en geen technische fysika.

Maar opheffing van dit onderscheid heeft grotere konsekwenties dan op het eerste gezicht mocht lijken; want door de scheiding tussen natuurlijke en maatschappelijke werkelijkheid op te heffen, valt in feite het hele onderscheid weg. Wederom blijkt: onze cultuur is niet anders dan natuur, voortgezet op een ander niveau. Er is zonder de mensen geen voortbestaan van de natuur op deze planeet denkbaar, omdat natuur en cultuur onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn. Een film als "de Apenplaneet" suggereert dus de grootst denkbare leugen, symptomatisch voor het ontlopen van onze eindverantwoordelijkheid als mensen [2]. Het idee als zouden andere primaten, ingeval van menselijk falen, de leiding van de evolutie kunnen overnemen, is vals. Deze boude stelling hier ter plekke onderbouwen zou ons echter te ver weg voeren. In plaats daarvan refereer ik (wederom) nadrukkelijk naar het prachtige boek van Pierre Teilhard de Chardin. Best kans overigens dat de reguliere boekhandel momenteel 'nee' verkoopt.

Er zijn heel wat dikke boeken volgeschreven over het schier ondoorgrondelijke mysterie van oorzaak en gevolg. Reeds het feit dat iedere hooggeleerde in deze kwestie zonodig weer een andere opvatting moet huldigen, laat al zien dat het probleem als zodanig onopgelost is. Als er veel geneesmiddelen bestaan tegen verkoudheid, dan zijn ze geen van alle afdoende. De gemakkelijkste uitweg is natuurlijk het bestaan van een ongeneeslijke ziekte zonder meer te ontkennen, op dezelfde manier als Logisch Positivisten de kwestie van oorzaak en gevolg als een schijnprobleem van de hand doen. Dezelfde filosofen hebben zich echter heel wat (vergeefse) moeite getroost om het - causale !? - "als ... dan ..." van de omgangstaal te persen in het armzalige stramien van (hun opvatting van) de Mathematische Logica [3].

Een simpele ethymologische beschouwing - ook al geen vaste gewoonte van exakte wetenschappers - had de methodologen zeker suggesties in de goede richting op kunnen leveren. Duidt "gevolg" soms niet op een sequentie in de tijd ? En wat zou "oorzaak" anders moeten betekenen dan oer-ding of grond-stof ? Wij moeten het geheim van de oorzakelijkheid zoeken in de sfeer der materiele produktie, dat is eigenlijk op het eerste gezicht al duidelijk.
Maar hiermee is tevens verklaard waarom causaliteit voor heel veel theoretici wel een schier onoverkomelijk vraagstuk zijn en blijven moet. Scheiding tussen hoofd en handen draagt er nu eenmaal niet toe bij om oplossing te zoeken waar hij te vinden is, namelijk in de werk-elijkheid van konkrete levende arbeid. Immers, de arbeid adelt, maar de adel arbeidt niet.

De gangbare wiskunde maakt er inderdaad een gewoonte van om iedere poging tot analyse van de materiele praktijk door te verwijzen naar obscure vakgebieden als "empirische psychologie" of "heuristiek". Daarmee denkt men er gemakkelijk vanaf te komen. Van de wiskundige mag niet worden verwacht dat hij zijn handen vuil zouden willen maken, al was het dan alleen maar in abstrakto. Door deze afkerigheid van het stoffelijke leven ontvalt de mathematische intellektueel iedere werkelijk wetenschappelijke basis. De geest is alleen waarachtig als hij handelt, iets wat onze geleerden voor een vernederende bezigheid houden [4].

Het zal nu duidelijk zijn dat een juiste opvatting van oorzaak en gevolg staat of valt met een werkelijkheidsgetrouw begrip van wat funktioneren in het leven van alledag betekent. Het is precies op dit punt dat de "klassieke" wiskunde ernstig tekort schiet: door funkties alleen nog maar te willen zien als starre "afbeeldingen" werd iedere vorm van oorzakelijkheid weggeabstraheerd uit het formalisme, om er niet anders dan gekunsteld en verdraaid in terug te keren. Terug te keren, inderdaad. Want natuurlijk zal deze kortzichtigheid zich snel wreken, in de eerste de beste grofstoffelijke toepassing.

Alle dingen vinden hun oorsprong in iets anders en zijn de oorsprong van iets anders. Het vormt de gondslag van onze mogelijkheid om de natuur verstandelijk te begrijpen [5].

Er kunnen dus geen gevolgen bestaan die niet tegelijk weer oorzaak zijn van de een of andere funktie, van welke aard deze verrichting ook moge zijn. Of er is geen enkel produkt dat niet op een of andere manier weer opnieuw grondstof is. Derhalve produceert iedere arbeid grondstof voor andere arbeidsprocessen, elke arbeid veroorzaakt nieuwe arbeid. Deze gevolgtrekking wordt bevestigd door een uitspraak over het produkt van de maatschappelijke arbeid. Wanneer het produkt nutteloos is, is ook de erin vervatte arbeid nutteloos, geldt niet als arbeid, en vormt derhalve geen waarde. Merk hierbij op dat "nutteloos" in werkelijkheid betekent "niet te nuttigen" ofwel niet konsumeerbaar. Er kan in de maatschappij geen arbeid bestaan die nutte-loze produkten levert; ieder produkt is nuttig in de meest letterlijke zin van het woord, daarom noodzakelijk ook weer grondstof voor andere funkties. Anders "bestaat" het niet, of is het niet(s) waar(d).

Dit alles vindt zijn direkte uitdrukking in het gezegde dat alle oorzaken en alle gevolgen "waar" zijn. Immers iedere waar moet een produkt zijn, maar alle produkten zijn ook weer grondstof. De waar zelf kan dus niets anders zijn dan eenheid van grondstof en produkt, samenvatting van oorzaak en gevolg. Alle waar ofwel iedere waar-heid is dus opgebouwd uit twee tegengestelde polen: gevolg aan de ene kant, oorzaak aan de andere kant. Behalve het werken is ook de waar eenheid van oorzaak en gevolg. Terwijl echter het werken begint met de konsumptie van iets, neemt het bestaan van de waar een aanvang met geproduceerd te zijn. Dat is de ene pool. Inderdaad is de waar een produkt, voortbrengsel van arbeid. Maar dit produkt is onmiddelijk voorbestemd om, hoe dan ook, weer opnieuw te worden gekonsumeerd. Dat is de andere pool. Wij zien nu gemakkelijk hoe de waar is opgebouwd, op welke wijze oorzaak en gevolg met elkaar verbonden zijn, tot de waar-heid als zodanig:

A - M - A

Tussen twee arbeidsprocessen A - en - A bestaat - M - als waar. Waarheid is dus geen statisch gegeven; iedere waar is een dynamisch ogenblik, een knooppunt als het ware van verschillende werkingen. Al wat waar is, is "werkelijk" waar.

Is het dus waar dat iedere werkelijke scheiding tussen waarnemen en waarmaken praktisch onmogelijk is, toch spreekt men bij experimenteel werk uitsluitend over "waarnemingen doen". Hier kan echter in het geheel geen sprake zijn van een echte tegenspraak, want we hebben de eenheid van konsumptie en produktie duidelijk genoeg vastgesteld. Zonder een waar ter hand te nemen, dat wil zeggen zonder een waar-neming te doen, kan er niet gewerkt worden, kan er geen waar gemaakt worden uit het waargenomene. Ook het omgekeerde geldt echter, namelijk dat iedere waarneming tot uitdrukking komt in een werking, pas door het waar-maken van iets anders kenbaar wordt. Zo zal een stroomsterkte niet waarneembaar zijn wanneer zij niet wordt omgezet in bijvoorbeeld de uitslag van een meter. Evenmin kan licht worden waargenomen zonder dat licht te verwerken tot bijvoorbeeld zwarting van een fotografische plaat. Datgene wat men wenst waar te nemen kan dus slechts waargenomen worden door het tevens te bewerken, te vervormen tot een andere waar. Iedere waarneming betekent dus "verstoring" van het waargenomene. Er is een ontwikkeling van de QuantumMechanika nodig geweest om ons bewust te maken van dit merkwaardige, doch alledaagse feit.

Tot de zaken waar onze tijd zich wel het minst om bekommert, behoort ook de betekenis van onze woorden. Een maar enigzins methodisch denken zou zich dus tot eerste taak kunnen stellen een nieuw lexicon te vervaardigen, dat handelde over de oorsprong van onze woorden. De ethymologie zou inderdaad een van de meest revolutionaire wetenschappen van de eeuw kunnen zijn [4]. Waarschijnlijk niet voor niets, laat het Nederlands een gemeenschappelijke wortel zien in allerlei woorden, die ogenschijnlijk weinig of geen verband met elkaar houden: "gewrocht", "vrucht", "arbeid", "werken", "werkelijk", "waarde" "eetwaar", "waarnemen", "waarheid". Typerend is ook de frequent voorkomende samenstelling "werkelijk waar", om uit te drukken dat iets "echt" waar is. We zien de stam "w-r", "v-r" (: oerkreet van de zwoegende mens ?) trouwens op precies dezelfde manier funktioneren in het Frans en Engels: "ouvrier", "vrai", "verite", "valeur" en "value", "work", "worth".

Theoretische ontleding van het funktiebegrip is historisch eerst mogelijk geworden in het begin van de achttiende eeuw. In de eerste plaats valt de analyse van het produktieproces in zijn afzonderlijke fasen samen met de differentiatie van ambachtelijke bezigheid in verschillende deelbewerkingen. Eerst dank zij de ontwikkeling van eenvoudige, gesimplificeerde funkties in de sfeer der materiele produktie, kon het funktiebegrip als zodanig doorschouwd worden, en wiskundig geformuleerd. De eerste mathematische definitie schijnt gegeven te zijn door G.W. Leibnitz, als aanzet tot zijn differentiaalrekening. De bekende notatie y = f(x) treft men voor het eerst aan bij A.C. Clairhaut en Leonhard Euler [6]. We schrijven 1748.

Het abstrakte begrip van een mathematische funktie wordt door geschiedkundigen gewoonlijk toegekent aan G. Lejeune Dirichlet, die in 1837 daartoe werd gebracht door een studie van Fourier reeksen. Door Frege (1879) werden funkties bevrijd van de beperking dat x en y getallen moeten zijn. Er kwamen funkties waarin de variabelen x en y ware of valse "proposities" ("volzinnen") voorstellen. Spoedig daarop dienden nog weer andere objekten zich aan: de verzamelingen van Georg Cantor.

Ook revoluties in het mathematisch denken dient men te plaatsen in de kontekst van het maatschappelijk gebeuren. Immers, hoe kan iemand op de gedachte komen dat maar liefst de hele wiskunde uit Verzamelingen is opgebouwd, wanneer niet de samenleving zelf haar rijkdommen heeft geaccumuleerd tot enorme kollekties, ja wanneer niet de maatschappij als geheel de gedaante heeft aangenomen van een kolossale opeenhoping van waren. Inderdaad heeft het ontstaan van de wiskundige verzamelingenleer haar maatschappelijke parallel in de gigantische samenvoeging van goederen welke de overgang naar het monopoliekapitalisme markeren. Ook het milieu waarin Georg Cantor zelf opgroeide zal niet vreemd zijn aan dit inzicht. Cantor, de grondlegger van de verzamelingenleer, is uit een koopmansgezin afkomstig. En zijn "Mengenlehre" dateert van omstreeks 1900. De hardnekkigheid waarmee de verzamelingenleer stand houdt, ondanks haar falen op alle denkbare fronten, kan redelijkerwijs alleen maar worden verklaard door het feit dat zij de mathematische verwoording bij uitstek is van Ideeen die nodig zijn om ons maatschappelijk bestel, ten koste van alles, in stand te houden.

Was in achttiende eeuwse opvattingen de dialektiek van het funktioneren nog wel enigzins te herkennen, in de verzamelingstheoretische definitie ging zij geheel en al verloren. Wel begrijpelijk voor de wetenschap van een elite die slechts rekent in termen van investering en opbrengst: Domein en Bereik van funkties. Natuurlijk is het niet de grootste interesse van een ondernemer dat er ook nog gewerkt moet worden om de ene berg waren in de andere te transformeren. Deze belangstelling kan men daarom ook moeilijk nog verwachten bij zijn eigen wetenschappelijk personeel. Geen enkele aanduiding dus meer van het feit dat de ene verzameling eerst uit de andere geproduceerd moet worden, en dat zoiets gepaard gaat met arbeid, uitgestrekt in een zekere spanne tijds.

Het "klassieke" funktiebegrip is inderdaad volkomen statisch van opzet: nergens komt de hinderlijke faktor tijd nog ter sprake. Buitengewoon typerend voor de denkwijze van de moderne ondernemer is dat men zelfs het werken als zodanig zou willen ontkennen, door de waardevormende funktie van de arbeid terug te brengen tot niets meer dan een reeds bestaande relatie, welke slechts aan bepaalde eisen van zekerheid voldoet. Bij elke waarde uit het grondstoffendomein hoort in ieder geval een waarde uit het produktenbereik. Wij rekapituleren volledigheidshalve de klassieke definitie, geformuleerd volgens [7]: Een afbeelding of "funktie" F van een verzameling A in een verzameling B is een bepaalde deelverzameling van het Cartesische produkt ( F ⊂ A x B ), dat wil zeggen een relatie tussen A en B , met de eigenschap:

∀_a∈A ∃!_b∈B [ (a,b) ∈ F ]

Bij iedere a element van A bestaat er precies één b element van B, zodanig dat (a,b) element is van F.
Het hoeft bepaald geen verwondering te wekken wanneer deze zeer onzorgvuldige, vooringenomen wijze van abstraheren vroeg of laat aanleiding geeft tot grove theoretische onvolkomenheden, met belabberde konsekwenties voor de praktijk. Veel paradoxen van het formalistische systeem zijn eigenlijk niets anders dan een idealistische weerspiegeling van de kijk die "zakenmensen" nu eenmaal op natuur en maatschappij hebben, en missen daarom elk wetenschappelijk gewicht. We zullen als illustratief voorbeeld straks behandelen het "probleem" van tijd en geld.

Rond 1910 begint de situatie werkelijk interessant te worden. Op het toneel van de wiskunde verschijnt niemand minder dan de (geidealiseerde) hoofdarbeider in eigen persoon: het "kreatieve subjekt" van de intuitionisten. Naarmate het funktiebegrip verder aan de werkelijkheid wordt ontrukt, moet de polarisatie tussen waar en werken uitgroeien tot een openlijke en uiterlijke tegenstelling.

Het formalisme vertegenwoordigt de ene pool, het intuitionisme de andere. De formalist gaat ervan uit dat wiskundige goederen er zonder meer "zijn". Hij hoeft ze alleen maar als zodanig in beslag te nemen, en dat doet hij door ze met een "bewijs" op hun waarde te taxeren. De intuitionist ziet in dat ook wiskundige waarheden niet zonder meer "aanwezig zijn". Men zal ze eerst op de een of andere manier moeten scheppen. Het kreatieve subjekt produceert metterdaad zijn eigen wiskunde, in een geestelijk arbeidsproces dat werkelijk, in de tijd, verloopt. Men ziet hoe het konflikt tussen "de kikker en de muis" (: Albert Einstein over het verschil van inzicht tussen de formalist Hilbert en de intuitionist Brouwer) wellicht meer behelst dan een vrijblijvende, puur mathematische kontroverse.

Marx beweerde de kennistheorie van Hegel "op zijn kop te zetten". Dit betekende een omslag van idealisme in materialisme, waarbij de dialektiek behouden bleef. Zo ook ook met het intuitionisme van Brouwer, een stroming die het - reeds aan de klassieke wiskunde immanente - idealisme tot in zijn uiterste konsekwenties heeft doorgetrokken [8].

Brouwer zegt letterlijk: "Niet alleen bestaat de wiskunde onafhankelijk van alle ervaring, maar ook bestaat alle ervaring onafhankelijk van alle wiskunde." Door dit extreem idealistische standpunt in te nemen heeft de beweging op haar beurt geprovoceerd tot een reaktie, de weg geeffend voor haar materialistische tegenpool. Men hoeft de gekwote stelling maar op zijn kop te zetten om daarmee een standpunt te krijgen dat vrij nauwkeurig de inhoud van dit boek samenvat. Vermits met de beide benen op de grond gezet, verschilt het "kreatieve subjekt" van Brouwer niet wezenlijk van een mens die zijn werk doet. De intuitionistische wiskunde is weliswaar een fata morgana, maar dient desondanks te worden gezien als een uiterst getrouwe luchtspiegeling van een stuk realiteitszin, dat van oudsher ten grondslag ligt aan het vak.

De laatste belangrijke uitbreiding van het funktiebegrip, voorzover ik dat heb kunnen nagaan, is afkomstig van Alonzo Church (1951). Church huldigt in al zijn werk de konsekwente, en mijns inziens ook enig juiste opvatting, dat funkties "operaties" zijn. De Lambda Calculus van Church is qua opzet zelfs een poging om de gehele wiskunde te baseren op Funkties, in plaats van op Verzamelingen. Een verworvenheid van het systeem van Church is bijvoorbeeld dat funkties ook op zichzelf kunnen inwerken, iets wat in het verzamelingstheoretische stramien niet of slechts op gekunstelde wijze mogelijk is. De Lambda Calculus heeft een aantal praktische konsekwenties gehad voor de diverse programmeertalen. In de computertaal LISP komt een LAMBDA operator zelfs expliciet voor [9] [10]. Lambda definieerbare funkties zijn exakt dezelfde als die berekenbaar zijn met zogenaamde Turing machines, zoals is aangetoond door Turing en Kleene in 1937. Eenvoudig gezegd komt het erop neer dat iedere funktie die op een ("ideale") computer kan worden berekend ook een plaats heeft in het systeem van Church, en omgekeerd. Een waardevolle concurrerende visie, die overigens qua aantal aanhangers veruit in de minderheid is. Een mogelijke verklaring voor het relatief geringe succes van Alonzo Church is dat het betoog van zijn volgelingen al te vaak verdrinkt in "syntax par exellance" ritueel, dat onvoldoende zeggingskracht naar buiten heeft.

Kon in het kader van de formalisten een uitgekleed en verminkt funktiebegrip op zijn plaats zijn, de opkomst van een computerindustrie zou de wiskunde vroeg of laat met de neus op de feiten drukken. "Moeten funkties direkt en volledig deel uitmaken van relaties? Dat denk ik niet"; aldus een hoogleraar in de Computer Science. Maar in plaats van tot een kritische herformulering te komen van het funktiebegrip als zodanig, wat nog relatief eenvoudig geweest zou zijn, gingen de wiskundigen over tot het definieren van een hele menigte "nieuwe" begrippen. Elke definitie moest weer een ander aspekt benadrukken van een en hetzelfde arbeidsproces, zonder het overigens in zijn geheel te vatten. Ik noem enkele termen die vrijwel syoniem zijn: funktie (uiteraard), (differentiaal)operator, afbeelding, dynamisch systeem, Turing-machine, (Markov) algoritmen, produkties (van Post), en zelfs: berekening, redenering. In de Informatica zelf maakt men het al even bont: function, subroutine, programma, script, exec-file, commando. Al te veel namen voor al te veel onbenullige variaties op hetzelfde thema.

Laten we Preston C. Hammer nog even aan het woord: "Het gebruik van de funktie schrijfwijze zou een grote vereenvoudiging betekenen voor veel bewerkingen die nu op een onhandige manier voor elkaar komen, maar er heerst een vreemd taboe tegen de notatie." Men ziet hoe wiskunde en informatica blijkbaar niet in staat zijn om een gemeenschappelijke grondtrek te herkennen in begrippen die aan de basis liggen. "Er is wellicht geen beter voorbeeld van gemiste kansen dan in de behandeling van funkties. Ik voel dat juist hier de belangrijkste veranderingen met onmiddelijke ingang kunnen worden doorgevoerd" [11].

Er is goed nieuws. Maatschappelijk kansarme groeperingen in Engeland hebben de zogenaamde "ruilkringen" opgezet. Leden van zo'n kring verlenen elkaar diensten waarvan de arbeidstijd wordt geregistreerd. Het gaat hier om gevraagde diensten zoals bijvoorbeeld de was doen, of het repareren van een auto. Een uur dienstverlening komt overeen met 20 zogenaamde LETS (: Local Exchange Trade System). De gemaakte "lets" worden bijgehouden op (handgeschreven) bonnetjes, waarvan een gedeelte voor de dienstverlener bestemd is, een gedeelte voor de klant, en een gedeelte voor een centrale administratie. Het netto resultaat is inderdaad dat de welvaart van de ruilkring stijgt. Ook doordat een aantal diensten, zoals de reparatie van een auto, niet meer met "echt" geld behoeft te worden betaald, blijft er meer van het laatste over voor aankopen buiten de kring. Hoe groter de kring, des te groter de welvaart. Ruilkringen zijn er behalve in Engeland ook in de Verenigde Staten, en in Belgie (Leuven).

Naarmate het einde van dit hoofdstuk in zicht komt, zullen meer lezers de wenk brauwen fronsen. Aannemende dat ze al tot hier gekomen zijn. Onverhuld werd daar gerefereerd naar "das Kapital" van Karl Marx, ideologie van een inmiddels "achterhaald" communisme. Het lijkt alsof de schrijver van mening is dat een marxistische denkwijze iets kan bijdragen aan het onderzoek naar de grondslagen der wiskunde. Ik hoef voor deze vrijheid van meningsuiting weliswaar niemand mijn excuses aan te bieden, maar gezien het vrij recente verleden (: de val van de Berlijnse muur) is er ook weinig kans om met een dergelijke opinie serieus te worden genomen. Helpt misschien de mededeling dat de schrijver behalve "das Kapital" ook de Bijbel en de Koran gelezen heeft?

2. Cultuur is Natuur op een hoger plan [2]. Er is zonder de mensen geen voortbestaan van de natuur op deze aarde mogelijk.

3. Nog steeds is de analyse van het (maatschappelijke) arbeidsproces, zoals door Karl Marx neergelegd in "Das Kapital" [1], uiterst aktueel.

4. Het arbeidsproces vindt plaats in dezelfde vormverandering als de warenruil:
Materie - Arbeid - Materie

5. Samenvoegen en scheiden zijn de enige elementen die de menselijke geest bij de analyse van het arbeidsproces kan waarnemen.

6. Aan de ene kant splitst men de arbeid M - A - M in oorzaak en gevolg. Dit is de materiele zijde van het funktioneren, de kwaliteit M - M. Deze analyse impliceert aan de andere kant een hoeveelheid abstrakte arbeid, een tijdsduur tussen grondstof en produkt. Dit is de immateriele zijde van het funktioneren, de kwantiteit - A -.

7. Wezenlijk voor de tijd is dat zij oorzaak en gevolg, in die volgorde, van elkaar onderscheidt. Wezenlijk voor de causaliteit is dat grondstof en produkt van elkaar gescheiden worden door een positieve tijdsduur, en dat is weer niets anders dan de prijs die men moet betalen voor iedere vorm van arbeid.

8. Alle waar ofwel iedere waar-heid is opgebouwd uit twee tegengestelde polen: gevolg aan de ene kant, oorzaak aan de andere kant. Behalve het werken is dus ook de waar eenheid van grondstof en produkt. Oorzaak en gevolg zijn met elkaar verbonden, tot de waar-heid als zodanig, op de volgende wijze:
A - M - A
Tussen twee arbeidsprocessen A - en - A bestaat - M - als waar.

9. Er kunnen geen gevolgen bestaan die niet tegelijk weer oorzaak zijn van de een of andere funktie, van welke aard deze verrichting ook moge zijn. Er is geen enkel produkt dat niet op een of andere manier opnieuw grondstof is.

10. En er is geen enkele grondstof die niet op de een of andere manier produkt is. Het is dus vruchteloos om te zoeken naar absolute "first principles" of de uiteindelijke "elementaire deeltjes" waaruit alle materie opgebouwd zou zijn.

11. Arbeid is eenheid van grondstof en produkt, gescheiden door een positieve hoeveelheid tijd. Maar iedere waarde is op zijn beurt vereniging van produkt en grondstof. Het kan dus niet anders of arbeidsprocessen moeten uiteindelijk in elkaar grijpen als een stelsel kringlopen. De eenvoudigste kringloop is een funktie samen met zijn inverse.

12. Het ontstaan van de wiskundige verzamelingenleer vindt een duidelijke maatschappelijke parallel in de "kolossale opeenhoping van waren" welke de overgang naar het monopoliekapitalisme markeert.

13. Recapituleert men de klassieke definitie van het funktiebegrip, dan hoeft het geen verwondering te wekken indien deze zeer onzorgvuldige, vooringenomen wijze van abstraheren vroeg of laat aanleiding geeft tot grove theoretische onvolkomenheden, met nare konsekwenties voor de praktijk.

14. Een voorbeeld van een funktionele techniek, die in de quantummechanika zonder veel scrupules wordt toegepast, maar in de officiele wiskunde op aanzienlijke gewetensbezwaren stuit, is de OperatorenRekening.

15. De hervorming van het internationale monetaire stelsel kan dan en slechts dan effektief zijn indien men als waardestandaard een maatschappelijk gemiddeld arbeidsuur accepteert (de "Uras" volgens [0] of de "Lets" naar lokale aardse maatstaven).

1. Wat men overbevolking noemt is slechts het probleem van de inefficiente ruimtelijke ordening en de ondoelmatige sociale organisatie. Onze planeet kan huisvesting bieden aan minstens het tienvoudige van de huidige wereldbevolking [0].

2. Het snelheidsrecord zwemmen ligt op ongeveer 8 km/uur. Wanneer ik zelf 20 baantjes trek in "het Keerpunt" (Barendrecht), dan doe ik daar ongeveer een half uur over. Dat is dus een snelheid van 20 x 25 / 0.5 = 1 km/uur . Waarbij moet worden opgemerkt dat ik geen beste zwemmer ben. Bovendien wordt een zwemprestatie tegengewerkt door de natuurwet dat de wrijving van het water evenredig is met de snelheid van de zwemmer in het kwadraat. Met andere woorden: iemand die vier keer zo sterk is presteert toch maar twee keer beter.

3. Dit resultaat generaliserend mogen we konkluderen: een mens is niet tien keer beter dan een ander mens. Hieruit volgt weer dat inkomensverschillen van meer dan een faktor tien uitsluitend teruggevoerd kunnen worden op onrechtvaardige maatschappelijke verhoudingen. Wanneer in de toekomst het peil van de algemene ontwikkeling van de bevolking stijgt, dan moet men zelfs rekening houden met rechtvaardige inkomensverschillen van niet meer dan een faktor twee of drie [0].

4. Ook in de politiek bestaat er slechts EEn waarheid, namelijk wat de manier is om de mensenmaatschappij maximaal te doen overleven. Men zou deze waarheid op daadwerkelijk wetenschappelijke wijze moeten vaststellen, in plaats van door onderling gekrakeel het pleit te beslechten [0].

5. Het overtreden van een (onbekend of onbemind) stel natuurwetten heeft netto hetzelfde effect als wat in religieuze termen een "wrake Gods" wordt genoemd.

6. Het communisme is "achterhaald". Maar intussen is de door Marx voorspelde "Verelendung", wereldwijd gezien, maar al te zeer bewaarheid. Onze kolen zijn alleen maar zo "goedkoop" omdat in Colombia kinderen van acht jaar de mijnen in worden gestuurd.

[1] Karl Marx, "Het Kapitaal. Een kritische beschouwing over de economie.
Deel I: Het Productieproces van het Kapitaal". W. de Haan - Bussum, 1972. ISBN 90 228 35073
Nederlandse vertaling van "Das Kapital. Kritik der politischen Oekonomie.
Buch I: Der Produktionsprozess des Kapitals". Hoofdstukken 5 en 1.

[2] Pierre Teilhard de Chardin, "Het Verschijnsel Mens", Aula, Het Spectrum 1971 (uit de handel).
Nederlandse vertaling van "Le Phenomene Humain", (The Phenomenon of Man).

[3] A. Tarski & E. W. Beth, "Inleiding tot de Logica (en tot de methodenleer der deductieve wetenschappen)",
Noord-Hollandsche Uitgeversmaatschappij, Amsterdam, 1953.
Nederlandse vertaling van "Introduction to logic and to the methodology of deductive sciences".

[4] Denis de Rougemont, "Denken met de Handen" (2e druk), Holland, Amsterdam, 1948.
Nederlandse vertaling van "Penser avec les mains".

[5] David Bohm, "Causaliteit en Waarschijnlijkheid in de moderne Fysica", Aula, Het Spectrum, 1963.
Nederlandse vertaling van "Causality and Chance in Modern Physics".

[6] Alonzo Church, "Introduction to Mathematical Logic, Volume I", Princeton University Press, 1956.

[7] S.T.M Ackermans / J.H. van Lint, "Algebra en Analyse", Academic service, Den Haag, 1976. ( Google books )

[8] L.E.J. Brouwer, "Over de grondslagen der wiskunde", Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1981.

[9] Alonzo Church, "The Calculi of Lambda-Conversion", Annals of Mathematics Studies number 6, Princeton University Press, 1951.

[10] Luc Steels, "Programmeren in LISP", Academic Service, den Haag, 1983.

[11] Preston C. Hammer, "Advances in Mathematical Systems Theory", Pennsylvania State University Press, University Park, 1969.
(Centrale Bibliotheek van de TU Delft: plaatsnummer CBmg 19874052)