Ik heb nog even overwogen om Barry Setterfield het voordeel van de twijfel te gunnen,
maar helaas is met het bovenstaande zijn arsenaal van wiskundige fouten niet uitgeput.
Lezen we bijvoorbeeld in
Quantized Redshifts and the Zero Point Energy, formule (41):
$$
T^2 = (1-M^2)/(1+M^2)=1/(1-M^2)
$$
Ik begrijp niet wat Setterfield hier allemaal aan het doen is, maar
in ieder geval leiden we gemakkelijk het volgende af:
$$
(1-M^2)^2=1+M^2 \quad \Longrightarrow \quad M^4-2M^2+1=1+M^2
\quad \Longrightarrow \\ M^2(M^2-3)=0 \quad \Longrightarrow \quad
M\in\left\{0,\sqrt{3},-\sqrt{3}\right\}
$$
Dus er valt over $M$ verder niets te zeggen dan dat deze grootheid gelijk is aan nul of
plus of min de wortel uit drie. Dus, hoe dan ook:
$$
\frac{dM}{dT} = 0 \qquad \mbox{echter} \qquad \frac{dM}{dT} = M/[(T-1)(T+1)] = - M/(1-T^2)\quad (43)
$$
Rechts staat waarempel de formule die we hierboven hebben gevonden in plaats van
de foute formule (25) in THE REDSHIFT AND THE ZERO POINT ENERGY.
Alleen is nu plotseling, volgens formule (44): $$M = \sqrt{1-T}$$
in plaats van volgens formule (48):
$$M = \frac{\sqrt{1-T^2}}{1+T} = \sqrt{\frac{1-T}{1+T}}$$
Maar vooruit, laten we even aannemen dat Barry zich vergist heeft en in (41) één
van beide formules bedoelt, dan is:
$$
T^2 = (1-M^2)/(1+M^2) \quad \Longrightarrow \quad (1+M^2)T^2=(1-M^2)
\quad \Longrightarrow \\ M^2(1+T^2)=1-T^2 \quad \Longrightarrow \quad
M=\pm\sqrt{\frac{1-T^2}{1+T^2}}
$$
Of, als dit niet de bedoeling is, de andere uitdrukking:
$$
T^2 = 1/(1-M^2) \quad \Longrightarrow \quad (1-M^2)=1/T^2 \quad \Longrightarrow \\
M=\sqrt{1-\frac{1}{T^2}}=\pm\frac{\sqrt{T^2-1}}{T}
$$
Er gebeurt vervolgens nog iets wonderbaarlijks, want als we de afgeleide (47) van $M$
integreren, wat - zoals iedereen weet - het omgekeerde is van differentiëren, dan
duikt plotseling weer formule (48) op en niet (44) of één van de telkens
iets andere formules voor $M$. Inderdaad is volgens (43):
$$
\frac{dM}{dT} = - M/(1-T^2) \quad \Longrightarrow \quad \int\frac{dM}{M} = - \int \frac{dT}{1-T^2}
\quad \Longrightarrow \\
\int\frac{dM}{M} = - \int \frac{1}{2} \left[\, \frac{1}{1+T} + \frac{1}{1-T}\,\right] dT
= - \frac{1}{2} \left[\, \int \frac{d(1+T)}{1+T} - \int \frac{d(1-T)}{1-T}\,\right]
\quad \Longrightarrow \\ \ln|M| = \frac{1}{2}\left[\,\ln|1-T|-\ln|1+T|\,\right] =
\ln\left(\left|\frac{1-T}{1+T}\right|^{1/2}\right) \quad \Longrightarrow \\
M = \sqrt{\frac{1-T}{1+T}}=\frac{\sqrt{1-T^2}}{1+T} \quad (48)
\qquad \mbox{omdat volgens de theorie} \quad 0 \le T \le 1
$$
Het lijkt alsof Setterfield voortdurend in een cirkeltje ronddraait. En nergens uitkomt.
Want we hebben inmiddels zes of negen van deze formules, maar welke is nou de juiste?
$$
M = \frac{\sqrt{1-T^2}}{1+T} \\
M = \sqrt{1-T} \\
M = \pm\sqrt{\frac{1-T^2}{1+T^2}} \\
M = \pm\frac{\sqrt{T^2-1}}{T} \\
M = 0 \quad ; \quad M = \pm \sqrt{3}
$$
Let op! Ik heb het niet eens gehad over de natuurkunde van Barry Setterfield. Ik heb uitsluitend
gezocht naar fouten in de bijbehorende wiskunde.
Maar wie WEET valt ook op de natuurkunde van
Setterfield het nodige af te dingen.