Met de wetten van Newton
Er is geen gewichtsloosheid aan boord. Het ruimteschip versnelt of vertraagt "gewoon"
met de versnelling van de zwaartekracht zoals die heerst op de moederplaneet. Hier volgt
een niet-relativistische berekening van de tijd die het zou kosten om op deze manier
vanaf de aarde naar Proxima Centauri te
reizen.
Reistijd
Deze ster staat op $4,243$ lichtjaren verwijderd van de aarde; dit aantal lichtjaren noemen we
$L$ . De lichtsnelheid
bedraagt $c = 299.792.458$ meter per seconde. Een jaar is $365$ dagen, met $24$ uur per dag, $60$ minuten
in een uur en $60$ seconden in een minuut. Het aantal seconden in een jaar wordt $S$ gemoemd, daarmee is
$S = 60 \times 60 \times 24 \times 365 = 31.536.000$ .
De afstand van de aarde tot Proxima Centauri noemen we $x$. In meters wordt dit:
$$
x = L \times c \times S = 4,243 \times 299.792.458 \times 31.536.000 = 40.114.403.776.135.584
$$
We kunnen de eerste helft van de reis (halve afstand $x/2$ en halve tijd $t/2$) versnellen
met de versnelling van de zwaartekracht op aarde en de tweede helft van de reis vertragen met dezelfde
versnelling maar dan in tegengestelde richting. De versnelling van de zwaartekracht bedraagt $g=9,81\;
m/s^2$ (meter per seconde kwadraat). Volgens de (niet-relativistische) mechanica van Newton is dan:
$$
\frac{1}{2} x = \frac{1}{2} g \left(\frac{t}{2}\right)^2
$$
Dit levert de volgende rekensom op, de uitkomst vooralsnog in seconden:
$$
t = 2 \sqrt{x/g} = 2 \sqrt{40.114.403.776.135.584/9,81}
$$
Maar we kunnen beter delen door het aantal seconden in een jaar, dan krijgen we namelijk het aantal jaren
dat de reis duurt:
$$
t = 2 \frac{\sqrt{x/g}}{S} = \frac{2 \sqrt{40.114.403.776.135.584/9,81}}{31.536.000} = 4,055
$$
Afgerond vier jaar! Dat valt erg mee, op het eerste gezicht. Maar ho eens even! Hoeveel lichtjaar
was het ook weer tot proxima Centauri: $4,243$ en dit is meer dan $4,055$. Dit zou betekenen dat ons
ruimtevaartuig er korter over zou doen dan het licht. Maar dat kan natuurlijk niet, want er is niets in
het heelal wat sneller gaat dan licht. De berekening is dus onzin. Dat komt omdat we de relativiteitstheorie
buiten bechouwing hebben gelaten. In hoeverre is dit verantwoord? Om deze vraag te beantwoorden moeten we
berekenen hoe lang het duurt alvorens de snelheid van ons ruimteschip in de buurt komt van de lichtsnelheid.
Daarvoor hebben we de volgende formule (tijd $t$ in jaren):
$$
c = g\, t \, S \qquad \Longrightarrow \qquad t = c/(g\, S) \qquad \Longrightarrow \qquad t =
299.792.458 /( 9,81 \times 31.536.000) = 0,97 \approx 1 \, jaar
$$
Dus na ongeveer een jaar versnellen met de aardse versnelling van de zwaartekracht wordt de lichtsnelheid
bereikt en moet getwijfeld worden aan berekeningen met de wetten van Newton. Willen we dat onze berekeningen
nog enigszins geldig blijven, dan zit er niets anders op dan snelheid te minderen. We zouden de reis
bijvoorbeeld kunnen splitsen in acht stukken: versnellen, vertragen, versnellen, vertragen, enzovoort.
De formule voor de reistijd wordt dan:
$$
\frac{1}{8} x = \frac{1}{2} g \left(\frac{S\,t}{8}\right)^2 \qquad \Longrightarrow \qquad
t = 4 \frac{\sqrt{x/g}}{S} = 2 \times 4,055 \approx 8 \; jaar
$$
En ieder stuk (vertagen of versnellen) is vrijwel gelijk aan een jaar, zodat we ook met onze foute berekening
bijna binnen de lichtsnelheid blijven.
Brandstof
Wat betreft het volume van het ruimteschip kennen we alleen de diameter,
die ongeveer $250$ meter bedraagt. Aan de hand van de tekening achter in het boek,
en het gegeven dat het landingsvaartuig een diameter van
ongeveer $80$ meter heeft, kunnen we een schatting maken van de halve hoogte, zeg dat deze $80/5 = 16$
meter bedraagt. Beschouw de discus bij benadering als twee tegen elkaar geplakte kegels - met een inhoud
volgens de wiskunde van elk gelijk aan grondoppervlak maal een derde van de hoogte - dan levert dit een
half miljoen kunieke meter op, minder dan de $6$ miljoen kubieke meter van Jan Rein, maar toch aardig in
dezelfde orde van grootte:
$$
\mbox{Volume} = \frac{1}{4} \times \pi \times 250^2 \times \frac{1}{3} \times 16 \times 2 = 523.600 \; m^3
$$
Nemen we verder aan dat het gemiddelde soortelijk gewicht van de materialen aan boord dat van water is,
dan krijgen we als massa 523.600 ton, dat is minder dan de twaalf miljoen ton van Jan Rein (hij neemt
kennelijk een gemiddeld soortelijk gewicht van $2.000\; kg/m^3$) maar wederom in dezelfde orde van grootte.
Laten we als compromis een waarde aanhouden van 1 miljoen ton $= 10^9 \, kg$ , wat nog steeds
gigantisch is.
We kunnen nu de energie $E$ uitrekenen die nodig is om het ruimteschip met de versnelling van de
zwaartekracht naar Proxima Centauri te brengen. De energie die het schip heeft is bijna uitsluitend
kinetische energie. De formule die de natuurkunde ons daarvoor levert is: $E = 1/2\,m v^2$ , waarin
$m$ de massa is en $v$ de snelheid. De snelheid kunnen we berekenen met $v = g t/2$ , waarin $g$ de
eerder genoemde versnelling van de zwaartekracht en $t$ de totale reistijd. De uitkomst is gelijkwaardig
met die voor massa maal versnelling (= kracht) maal de afstand aarde - Proxima Centauri:
$$
E = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(g\frac{t}{2}\right)^2 =
2 \frac{1}{2} m \, g \times \frac{1}{2} g \left(\frac{t}{2}\right)^2 = m\,g\,x =
10^9 \, kg \times 9,81 \, m/s^2 \times 40.114.403.776.135.584 \, m \approx 4 \times 10^{26} \, J
$$
Dit is de energie berekend in Joules $J = kg\,m^2/s^2$ . De uitkomst is nauwelijks te bevatten. Laten
we het eerst omzetten in Megaton. Een Megaton is
ongeveer $4,2 \times 10^{15}$ Joule. Dus de energie die we nodig hebben is ongeveer $10^{11}$ Megaton,
honderd miljard waterstofbommen, dus nog steeds nauwelijks te bevatten. Maar omdat de massa $M$ van het
ruimteschip een onzekere factor is, nemen we een ander besluit: we vullen de waarde gewoon niet in en
zien straks wel wat er komt. Dan is:
$$
E = M \times 9,81 \, m/s^2 \times 40.114.403.776.135.584 \, m \approx 4\times 10^{17} \times M
$$
Aangenomen wordt dat de Iarganen kernfusie tot in de puntjes beheersen. Hoe kernfusie verantwoordelijk
is voor de energie van de zon wordt beschreven in de volgende webpagina:
Eén reactie tussen 4 waterstof atomen levert volgens deze referentie een energie van $4,28 \times 10^{-12}$
Joule op. We gaan nu uitrekenen hoeveel liter water er nodig is om genoeg waterstof atomen bij elkaar te brengen.
Het getal van Avogadro is $6,022 \times 10^{23}$ .
Dit is het aantal waterstof atomen in één gram waterstof, dus in 18 gram water (
molecuulgewicht $H_2O \; : \;2\times 1 + 16$).
De fusie energie in 1 kilogram water is dus $4,28 \times 10^{-12}/2 \times 6,022 \times 10^{23} \times 10^3/18
\approx 7\times 10^{13}$ Joule. Dit is ongeveer zeventien Kiloton aan (atoom)energie. Stellen we nu het aantal liters water dat nodig is om de hele rit van
brandstof te voorzien gelijk aan $N$, dan is:
$$
N \times 7 \times 10^{13} = M \times 4\times 10^{17}
\qquad \Longrightarrow \qquad N = 5496 \times M
$$
Vijf duizend keer meer dan de totale massa van het ruimteschip!
Zelfs kernfusie gaat dus helemaal niet werken.
In de aandrijving van het ruimteschip, het zogenaamde zonnewiel, wordt materie "omgeklapt". Welnu, als
een mensheid in staat is om materie om te klappen, dan moet zo'n mensheid ook in staat zijn om de energie
welke in materie is opgeslagen in zijn geheel te benutten: door deze materie "eenvoudig" te vernietigen.
De vernietiging van één waterstof atoom levert: het atoomgewicht maal de massa van een
proton maal de lichtsnelheid in het kwadraat.
Hiermee is:
$$
\mbox{Energie waterstofatoom} = 1,007825 \times 1,672.623.1 \times 10^{-27} \times (299.792.458)^2
\approx 1,5\times 10^{-8}\, J
$$
De energie in 1 kilogram water is dus $1,5\times 10^{-8}\times 2 \times 6,022 \times 10^{23} \times 10^3/18
\approx 10^{16}$ Joule.
De rekensom van hierboven wordt nu (met twee waterstof atomen in een molecuul water):
$$
N \times 10^{16} = M \times 4\times 10^{17}
\qquad \Longrightarrow \qquad N = 39 \times M
$$
Een lading water bijtanken die 40 keer meer bedraagt dan het totale gewicht; zelfs dat is onmogelijk.
Tenzij de relativiteitstheorie ons een helpende hand biedt, met name om de te overbruggen afstand te
verkleinen, moeten we voorlopig concluderen dat interstellaire reizen, inderdaad, onmogelijk zijn.