Normale verdeling
Zoals gezegd, een meer correcte beschouwingswijze zou uit kunnen
gaan van de in de statistiek zeer gebruikelijke normale verdeling met spreiding $\sigma$ :
$$
P(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}r^2/\sigma^2}
$$
De verwachtingswaarde van het boloppervlak is dan een convolutie integraal van de normale verdeling
met de functie $4\pi r^2$ :
$$
4\pi\overline{r^2} = \int_{-\infty}^{+\infty} P(\xi) \cdot 4\pi (r-\xi)^2\,d\xi =
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2} \cdot 4\pi (r-\xi)^2\,d\xi =
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2}4\pi (r^2-2r\xi+\xi^2)\,d\xi =
\\ 4\pi r^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2} -
4\pi \cdot 2r \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2}\xi\,d\xi +
4\pi \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2}\xi^2\,d\xi
$$
Voor de eerste term vinden we:
$$
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2} = 1
$$
De tweede term is gelijk aan:
$$
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2}\xi\,d\xi =
- \sigma^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2} d\left(-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2\right)=
- \sigma^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\left[e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2}\right]_{\xi=-\infty}^{\xi=+\infty}=0
$$
Berekenen we teslotte de derde term:
$$
\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2}\xi^2\,d\xi=
- \sigma^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \xi\;d\left[e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2}\right]=
- \sigma^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\left[\xi\;e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2}\right]_{\xi=-\infty}^{\xi=+\infty} +
\sigma^2 \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2} d\xi = 0 + \sigma^2\cdot 1
$$
Het eindresultaat is dus:
$$
4\pi \overline{r^2} =
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\xi^2/\sigma^2} \cdot 4\pi (r-\xi)^2\,d\xi =
4\pi (r^2+\sigma^2)
$$
Dit is precies dezelfde uitkomst als we op de eenvoudige manier hebben gevonden!