VierkantsAlgebra
Laten we nu enige aandacht schenken aan het op één na eenvoudigste element
in twee dimensies: de vierhoek. Het verloop van een willekeurige funktie binnen
een vierhoek kan worden benaderd door een bi-lineaire interpolatie tussen
de funktie-waarden in de hoekpunten of knooppunten. Stel dat $T$ zo'n funktieverloop
is, en $x,y$ de globale coördinaten. Probeer dan:
$$
T = A_T + B_T.x + C_T.y + D_T.x.y
$$
Beschouw de vierhoek, linksonder in beeld, waarbij de knooppunts-coördinaten
worden gedefinieerd door de tweede en derde kolom van de matrix die ontstaat
doordat $T$ wordt gespecificeerd, vertikaal voor de knooppunten en horizontaal
voor de basis-funkties $ 1,x,y,x.y $:
$$
\left[ \begin{array}{c} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \\ T_4 \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
1 & +\frac{1}{2} & 0 & 0 \\
1 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
1 & 0 & +\frac{1}{2} & 0 \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} A_T \\ B_T \\ C_T \\ D_T \end{array} \right]
$$
De laatste kolom van de matrix is nul. Dus $A,B,C$ en $D$ kunnen niet worden
gevonden op deze manier. In het algemeen kan een methode als gevolgd bij de
lineaire driehoek, niet worden gebruikt voor elementen van hogere orde.
Er is echter een andere oplossing. Neem aan dat dezelfde uitdrukking geldig is
voor de funktie $T$, als ook voor de coördinaten $x$ en $y$: hetgeen zeggen
wil dat we wederom een isoparametrische transformatie hebben. De volgende
stap is dan een geschikt moeder-element te vinden. Het bovenstaande werkt
in ieder geval niet. Misschien hebben we meer succes met het element rechts in
beeld:
$$
T = A_T + B_T.\xi + C_T.\eta + D_T.\xi.\eta
$$
Aangenomen wordt dat de lokale coördinaten binnen de moeder-vierhoek
liggen tussen $-\frac{1}{2} \leq \xi \leq +\frac{1}{2}$ en $-\frac{1}{2} \leq \eta \leq +\frac{1}{2}$:
het is een eenheids-vierkant. Dit geeft:
$$
\left[ \begin{array}{c} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \\ T_4 \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cccc} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & +\frac{1}{4} \\
1 & +\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \\
1 & -\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} \\
1 & +\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} & +\frac{1}{4}
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} A_T \\ B_T \\ C_T \\ D_T \end{array} \right]
\quad \mbox{ F.E } \leftarrow \mbox{ F.D. }
$$
Opgemerkt wordt dat bovenstaande matrix orthogonaal is (: de kolommen
staan loodrecht op elkaar). Dit betekent ook dat de "conditie" optimaal is
(: bij het bepalen van de inverse gaan weinig decimalen verloren). Bovendien
is, afgezien van schaalfactoren, de inverse gelijk aan de getransponeerde:
$$
\left[ \begin{array}{c} A_T \\ B_T \\ C_T \\ D_T \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cccc} +\frac{1}{4} & +\frac{1}{4} & +\frac{1}{4} & +\frac{1}{4} \\
-\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} \\
+1 & -1 & -1 & +1
\end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \\ T_4 \end{array} \right]
\quad \mbox{ F.D } \leftarrow \mbox{ F.E. }
$$
Uitgeschreven:
$$ \begin{array}{l}
A_T = \frac{1}{4} ( + T_1 + T_2 + T_3 + T_4 ) \\
B_T = \frac{1}{2} ( - T_1 + T_2 - T_3 + T_4 ) \\
C_T = \frac{1}{2} ( - T_1 - T_2 + T_3 + T_4 ) \\
D_T = 1 ( + T_1 - T_2 - T_3 + T_4 )
\end{array} $$
$A_T,B_T,C_T,D_T$ zijn gelijk aan lokale partiële afgeleiden:
$$
T(0) = A_T \quad ; \quad \frac{\partial T}{\partial \xi}(0) = B_T \quad ; \quad
\frac{\partial T}{\partial \eta}(0) = C_T \quad ; \quad \frac{\partial^2 T}{\partial \xi \partial \eta} = D_T
$$
Deze coëfficienten vormen een Eindige Differentie formulering:
$$
T = T(0) + \frac{\partial T}{\partial \xi}(0).\xi + \frac{\partial T}{\partial \eta}(0).\eta
+ \frac{\partial^2 T}{\partial \xi \partial \eta}.\xi.\eta
$$
Vormfunkties worden gevonden als volgt:
$$
\left[ \begin{array}{cccc} 1 & \xi & \eta & \xi.\eta \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{cccc} +\frac{1}{4} & +\frac{1}{4} & +\frac{1}{4} & +\frac{1}{4} \\
-\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} \\
-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} & +\frac{1}{2} \\
+1 & -1 & -1 & +1
\end{array} \right]
$$
Uitgeschreven:
$$ \begin{array}{l}
N_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \xi - \frac{1}{2} \eta + \xi.\eta =
( \frac{1}{2} - \xi).( \frac{1}{2} - \eta)\\
N_2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \xi - \frac{1}{2} \eta - \xi.\eta =
( \frac{1}{2} + \xi).( \frac{1}{2} - \eta)\\
N_3 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \xi + \frac{1}{2} \eta - \xi.\eta =
( \frac{1}{2} - \xi).( \frac{1}{2} + \eta)\\
N_4 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \xi + \frac{1}{2} \eta + \xi.\eta =
( \frac{1}{2} + \xi).( \frac{1}{2} + \eta)
\end{array} $$
Deze coëfficienten vormen een Eindige Elementen formulering:
$$
T = N_1.T_1 + N_2.T_2 + N_3.T_3 + N_4.T_4
$$
Iedere vorm-funkie $N_k$ heeft waarde $1$ in hoekpunt $(k)$ en is nul in alle
andere hoekpunten. Globale en lokale coördinaten in een willekeurige vierhoek
staan met elkaar in verband door middel van de isoparametrische transformatie:
$$ \begin{array}{l}
x = N_1.x_1 + N_2.x_2 + N_3.x_3 + N_4.x_4 \\
y = N_1.y_1 + N_2.y_2 + N_3.y_3 + N_4.y_4
\end{array} $$
De Eindige Differentie representatie hiervan is:
$$ \begin{array}{l}
x(\xi,\eta) = A_x + B_x.\xi + C_x.\eta + D_x.\xi.\eta \\
y(\xi,\eta) = A_y + B_y.\xi + C_y.\eta + D_y.\xi.\eta
\end{array} $$
$$ \begin{array}{ll}
A_x = \frac{1}{4} ( x_1 + x_2 + x_3 + x_4 ) & ; \quad
A_y = \frac{1}{4} ( y_1 + y_2 + y_3 + y_4 ) \\
B_x = \frac{1}{2} ( x_2 + x_4 ) - \frac{1}{2} (x_1 + x_3) & ; \quad
B_y = \frac{1}{2} ( y_2 + y_4 ) - \frac{1}{2} (y_1 + y_3) \\
C_x = \frac{1}{2} ( x_3 + x_4 ) - \frac{1}{2} (x_1 + x_2) & ; \quad
C_y = \frac{1}{2} ( y_3 + y_4 ) - \frac{1}{2} (y_1 + y_2) \\
D_x = ( + x_1 - x_2 - x_3 + x_4 ) & ; \quad
D_y = ( + y_1 - y_2 - y_3 + y_4 )
\end{array} $$
De oorsprong van het lokale $(\xi,\eta)$ coördinatensysteem wordt bepaald
door $\xi=0$ en $\eta=0$.
Dus door $(x,y)(O) = (A_x,A_y) = (\overline{x},\overline{y})$ = zwaartepunt.
De $\xi$-as wordt gedefinieerd door $-\frac{1}{2} < \xi < +\frac{1}{2}$ en $\eta = 0$.
Dus door een (gestreepte) lijn $(x,y) = (A_x,A_y) + \xi. (B_x,B_y) $.
De $\eta$-as wordt gedefinieerd door $-\frac{1}{2} < \eta < +\frac{1}{2}$ en $\xi = 0$.
Dus door een (gestreepte) lijn $(x,y) = (A_x,A_y) + \eta. (C_x,C_y) $.
We leiden af dat het funktieverloop op de zijden van een vierhoek lineair
is:
$$ \begin{array}{l}
T(-\frac{1}{2},\eta) = (\frac{1}{2}-\eta).T_1 + (\frac{1}{2}+\eta).T_3 \\
T(+\frac{1}{2},\eta) = (\frac{1}{2}-\eta).T_2 + (\frac{1}{2}+\eta).T_4 \\
T(\xi,-\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}-\xi) .T_1 + (\frac{1}{2}+\xi) .T_2 \\
T(\xi,+\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}-\xi) .T_2 + (\frac{1}{2}+\xi) .T_4
\end{array} $$
Dit betekent dat funktiewaarden midden op de zijden het gemiddelde zijn van de
funktiewaarden in de hoekpunten. Hierbij is het triviaal dat:
$$
\frac{1}{2} (T_1+T_2) + \frac{1}{2} (T_3+T_4) = \frac{1}{2} (T_1+T_3) + \frac{1}{2} (T_2+T_4)
$$
Stel dat we nu, binnen het bestaande kader, een nieuwe vierhoek konstrueren,
ook met hoekpunten die genummerd zijn volgens $(1,2,3,4)$. De overgang van de
oude naar de nieuwe hoekpunten is als volgt gedefinieerd (zie figuur):
$$ \begin{array}{l}
\frac{1}{2} (T_1 + T_3) \Rightarrow T_1 \qquad \frac{1}{2} (T_2 + T_4) \Rightarrow T_2 \\
\frac{1}{2} (T_1 + T_2) \Rightarrow T_3 \qquad \frac{1}{2} (T_3 + T_4) \Rightarrow T_4
\end{array} $$
Voor de knooppuntswaarden van de funktie $T$ op de hoekpunten van de inwendige
vierhoek geldt nu, krachtens bovenvermelde eigenschap van gemiddelden:
$$
T_1 + T_2 = T_3 + T_4
$$
Evenzo voor de globale coördinaten $x$ en $y$, op grond van isoparametriek.
Overigens is ook rechtstreeks in te zien dat:
$$
x_1 + x_2 = x_3 + x_4 \qquad y_1 + y_2 = y_3 + y_4
$$
Meetkundig betekent dit dat de inwendige vierhoek vanzelf altijd een paralellogram is.
De Eindige Differentie representatie van de originele vierhoek wordt gebruikt
om die van de inwendige vierhoek af te leiden:
$$
T = A_T + B_T.\xi + C_T.\eta + D_T.\xi.\eta
$$
Omgeschreven naar de nieuwe hoekpunten:
$$ \begin{array}{l}
A_T = \frac{1}{4} (T_1+T_2+T_3+T_4) = \frac{1}{2} (T_1+T_2) = \frac{1}{2} (T_3+T_4) = T_0 \\
B_T = T_2 - T_1 = \partial T/\partial \xi \\
C_T = T_4 - T_3 = \partial T/\partial \eta \\
D_T = 0
\end{array} $$
De term $A_T$ is juist de gemiddelde waarde, gelokaliseerd in het middelpunt
of de lokale oorsprong als $T(0)$; we schrijven $T_0$.
Uit het feit dat de term met $D_T$ nul is, mag men het volgende konkluderen:
Door de middens van de zijden van een willekeurige vierhoek met elkaar te
verbinden, onstaat de zogenaamde inwendige vierhoek van het origineel.
Geen beperking van de algemeenheid is de volgende vergelijking, die een extra
relatie legt tussen de knooppuntswaarden van een willekeurige funktie $T$ op
het inwendige element:
$$ T_1 + T_2 = T_3 + T_4 $$
Niet alleen binnen eenvoudige driehoeken, maar ook binnen de inwendige vierhoek
van een willekeurig vierhoekig element heerst een lineair funktieverloop:
$$ T = T_0 + (T_2 - T_1).\xi + (T_4 - T_3).\eta $$
Voor de globale coördinaten geldt, insgelijks:
$$ \begin{array}{l}
x = x_0 + (x_2 - x_1).\xi + (x_4 - x_3).\eta \\
y = y_0 + (y_2 - y_1).\xi + (y_4 - y_3).\eta
\end{array} $$
Dank zij het lineaire verband is het mogelijk om $\xi$ en $\eta$ omgekeerd uit
te drukken in $x$ en $y$:
$$ \begin{array}{l}
\xi = [ + (y_4 - y_3)(x - x_0) - (x_4 - x_3)(y - y_0) ] / \Delta \\
\eta = [ - (y_2 - y_1)(x - x_0) + (x_2 - x_1)(y - y_0) ] / \Delta
\end{array} $$
Met:
$$ \Delta = (x_2 - x_1).(y_4 - y_3) - (x_4 - x_3).(y_2 - y_1) $$
Een interpretatie van $(\xi,\eta)$ als oppervlakte-coördinaten, zoals bij de
lineaire driehoek, ligt voor de hand.
We kunnen nu ook schrijven:
$$
T - T_0 = \frac{\partial T}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial T}{\partial y} (y - y_0)
$$
Waarbij:
$$ \begin{array}{l}
\partial T/\partial x = [ (T_2 - T_1).(y_4 - y_3) - (T_4 - T_3).(y_2 - y_1) ] / \Delta \\
\partial T/\partial y = [ (x_2 - x_1).(T_4 - T_3) - (x_4 - x_3).(T_2 - T_1) ] / \Delta
\end{array} $$
Dit geeft de differentiatie-matrix van het inwendige element van een vierhoek:
$$
\left[ \begin{array}{c} \partial/\partial x \\ \partial/\partial y \end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{cccc}
-(y_4 - y_3) & +(y_4 - y_3) & +(y_2 - y_1) & -(y_2 - y_1) \\
+(x_4 - x_3) & -(x_4 - x_3) & -(x_2 - x_1) & +(x_2 - x_1) \end{array}
\right] / \Delta $$
Daarmee kunnen we zeggen dat de gradiënt-operator, op een lineaire vierhoek,
wordt gerepresenteerd door een $2 \times 4$ differentiatie matrix.
Herhalen we tot slot:
$$ \begin{array}{l}
A_T = \frac{1}{2} (T_1+T_2) = \frac{1}{2} (T_3+T_4) \\
B_T = T_2 - T_1 \\
C_T = T_4 - T_3
\end{array} $$
Hieruit volgt dat omgekeerd:
$$ \begin{array}{l}
T_1 = A_T - \frac{1}{2} B_T \\
T_2 = A_T + \frac{1}{2} B_T \\
T_3 = A_T - \frac{1}{2} C_T \\
T_4 = A_T + \frac{1}{2} C_T
\end{array} $$
Precies de on-omkeerbare matrix die we vonden bij aanvang van dit hoofdstuk.
De cirkel wordt gesloten door op te merken dat het moeder-element van de
inwendige vierhoek reeds afgebeeld wordt in desbetreffende figuur links.