Eenpijpsmodel
In het midden-bundel gedeelte vereenvoudigen de 2-D vergelijkingen uit het
hoofdstuk "Poreus Continuum" zich tot:
$$ - c.G_P.\frac{dT_P}{dz} + a.(T_P - T_S) = 0 $$
$$ c.G_S.\frac{dT_S}{dz} + a.(T_S - T_P) = 0 $$
Gewoon optellen levert al direkt een eerste uitkomst, wanneer we integreren
over de lengte $L$ van het eenpijpsmodel. We vinden de globale wet van behoud
van energie: de warmte die door het primaire medium is afgestaan moet immers
gelijk zijn aan de warmte die door het sekundaire medium is opgenomen:
$$ - c.G_P.\frac{dT_P}{dz} + c.G_S.\frac{dT_S}{dz} = 0 \quad \Longrightarrow
\quad c.G_P.(T_{PL} - T_{P0} ) = c.G_S.(T_{SL} - T_{S0} ) $$
Het quotiënt van de temperatuurverschillen sekundair- en primairzijdig is
juist gelijk aan de massastroom-verhouding tussen primair en sekundair:
$$ \frac{G_P}{G_S} = \frac{T_{SL} - T_{S0}}{T_{PL} - T_{P0}} $$
Deel de basisvergelijkingen nu door respektievelijk $(c.G_P)$ en $(c.G_S)$.
Tel daarna op. Dit geeft:
$$ \frac{d(T_P-T_S)}{dz} - a/c. ( 1/G_P - 1/G_S ) (T_P - T_S) = 0 $$
Met als oplossing:
$$ T_P - T_S = (T_{P0} - T_{S0} ) . e^{ a/c ( 1/G_P - 1/G_S ) z }
\qquad \mbox{wanneer} \, G_P \neq G_S $$
Samen met de globale energiebalans leidt dit voor $G_P=G_S$ tot een singulier
stelsel. Daarom doen we het volgende.
Integreer één van de basis-vergelijkingen van $0$ tot $L$. Dit geeft:
$$ - c.G_P.(T_{PL} - T_{P0}) + a.\int_0^L (T_P - T_S) \, dz = 0 $$
De integraal wordt uitgewerkt met behulp van de zojuist gevonden oplossing:
$$ \int_0^L (T_P - T_S) \, dz =
(T_{P0} - T_{S0} ) . \int_0^L e^{ a/c ( 1/G_P - 1/G_S ) z } \, dz = $$
$$ = L . ( T_{P0} - T_{S0} ) \:
\frac{ e^{ a/c ( 1/G_P - 1/G_S ) L } - 1 }{ a/c (1/G_P - 1/G_S) L } $$
Definieer dimensieloze grootheden $P = a.L/(c.G_P)$ en $S = a.L/(c.G_S)$.
En hiermee de faktor $W_L$ als:
$$ W_L = \frac{e^{P - S} - 1}{P - S} \qquad \mbox{voor} \; P \neq S $$
Voor $P = S$ nemen we de limiet van deze uitdrukking, dat is juist de
afgeleide van de e-macht in het punt $0$:
$$ W_L = 1 \qquad \mbox{voor} \; P = S $$
Dan is, uitgedrukt in de dimensieloze grootheden $P$ en $S$:
$$ (T_{PL} - T_{P0}) - P.W_L.(T_{P0} - T_{S0}) = 0 $$
Hierin zijn $T_{PL}$ en $T_{S0}$ de respektievelijke intree-temperaturen van de
(tegenstroom) warmtewisselaar. Die zijn bekend. $T_{P0}$ en $T_{SL}$ zijn de
onbekende uittree-temperaturen. Op grond van de fysica liggen alle temperaturen
in de warmtewisselaar tussen $T_{S0}$ en $T_{PL}$. Het stelsel vergelijkingen
is lineair en ongevoelig voor toevoeging van een konstante term. Het is daarom
geen beperking van de algemeenheid wanneer we alle temperaturen normeren:
$$ T_P := \frac{T_P - T_{S0}}{T_{PL} - T_{S0}} \qquad ; \qquad
T_S := \frac{T_S - T_{S0}}{T_{PL} - T_{S0}} $$
Dan wordt de vergelijking hierboven vereenvoudigd tot:
$$ (1 - T_{P0}) - P.W_L.T_{P0} = 0 \quad \Longrightarrow
\quad T_{P0} = T_{P0} - T_{S0} = \frac{1}{1 + P.W_L} $$
Het axiale verloop van de temperaturen is te vinden door de basisvergelijkingen
te integreren van $0$ tot $z$ in plaats van $0$ tot $L$:
$$ T_P(z) = T_{P0} + P.W(z).(T_{P0}-T_{S0}) \quad ;
\quad T_S(z) = T_{S0} + S.W(z).(T_{P0}-T_{S0}) $$
Hierin is $ (T_{P0}-T_{S0}) = 1/(1+P.W_L) $. Bovendien geldt:
$$ W(z) = \frac{e^{(P-S).z/L}-1}{(P-S)} \quad \mbox{voor } P \neq S \qquad ;
\qquad W(z) = z/L \quad \mbox{voor } P = S $$
Door de faktor $z/L$ wordt gesuggereerd dat het goed is om ook de totale lengte
op $1$ te normeren. Het volgende BASIC programmaatje schetst de
temperatuurprofielen, bij variabele dimensieloze grootheden $P$ en $S$:
10 REM ** Eenpijpsmodel Tegenstroom Warmtewisselaar **
20 PRINT "P & S"; : INPUT P,S : REM Dimensieloze grootheden
30 TS0=0 : TPL=1 : REM Intree Temperaturen genormeerd
40 WL=1 : IF P<>S THEN WL=(EXP(P-S)-1)/(P-S)
50 TP0=1/(1+P*WL) : Z=0 : TP=TP0 : TS=0
55 N=100 : SCREEN(1) : CLS : REM Temperatuurgrenzen:
56 LINE(10,50)-(210,50) : LINE(10,150)-(210,150)
60 FOR K=2 TO N : Z=(K-1)/(N-1) : REM Lengte genormeerd
70 ZV=Z : W=Z : IF P<>S THEN W=(EXP((P-S)*Z)-1)/(P-S)
80 TPV=TP : TSV=TS : TP=TP0+P*W/(1+P*WL) : TS=S*W/(1+P*WL)
90 LINE(10+200*ZV,150-100*TSV)-(10+200*Z,150-100*TS)
100 LINE(10+200*ZV,150-100*TPV)-(10+200*Z,150-100*TP)
110 NEXT K : END